《直線與平面垂直的判定》同步測試【高中數(shù)學(xué)人教版】

《直線與平面垂直的判定》同步測試1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是（）A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β解析：選BA中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C、D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B．2．若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線（）A．平行 B．相交C．異面 D．以上皆有可能解析：選D在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B與底面ABCD所成的角相等，此時兩直線平行；A1B1，B1C1與底面ABCD所成的角相等，此時兩直線相交；A1B1，BC與底面ABCD所成的角相等，此時兩直線異面．故選D．3．下列四個命題中，正確的是（）①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面垂直；②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；③若一條直線平行于一個平面，另一條直線垂直于這個平面，則這兩條直線互相垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有惟一一個平面與另一條直線垂直．A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：選D①②不正確．4．如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是（）A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定解析：選C∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l．同理BC⊥l．又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC．∵AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC．5．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是（）A．60° B．45°C．30° D．120°解析：選A∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°．6．已知直線l，a，b，平面α，若要得到結(jié)論l⊥α，則需要在條件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個條件是________．答案：a，b相交7．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角等于________．解析：因為PA⊥平面ABC，所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB，所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直線PB與平面ABC所成的角等于45°．答案：45°8．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是________．解析：如圖，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．又AC?平面PAC，∴BD⊥AC．∴平行四邊形ABCD為菱形．答案：菱形9．如圖，在四面體A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，且EF＝eq\r(2)．求證：BD⊥平面ACD．證明：取CD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G．又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，∴FG∥BD，EG∥AC．∵AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1．∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG．∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD．10．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．解：如圖，取CD的中點F，連接EF交平面ABC1D1于O，連接AO，B1C．由ABCD-A1B1C1D1為正方體，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面ABC1D1，D1C1?平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1．∵E，F(xiàn)分別為A1B1，CD的中點，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面AC1，即∠EAO為直線AE與平面ABC1D1所成的角．在Rt△EOA中，EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(\r(2),2)，AE＝eq\r(A1E2＋AA\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2