2023年新高考藝考生40天突破數(shù)學90分講義 專題14 導數(shù)的概念與運算（解析版）

專題14導數(shù)的概念與運算【題型歸納目錄】題型一：導數(shù)的定義題型二：求函數(shù)的導數(shù)題型三：導數(shù)的幾何意義1、在點P處切線2、過點P的切線3、公切線4、已知切線求參數(shù)問題5、切線的條數(shù)問題6、切線平行、垂直、重合問題7、最值問題【考點預測】知識點一：導數(shù)的概念和幾何性質1、概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．知識點二：導數(shù)的運算1、求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2、導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3、復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：【方法技巧與總結】1、在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．2、過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．【典例例題】題型一：導數(shù)的定義【方法技巧與總結】對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導數(shù)定義結構相同，然后根據(jù)導數(shù)定義直接寫出.例1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，即.故選：D例2．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】因為，，，所以，故選：A例3．（2023·全國·高三專題練習）設f(x)是可導函數(shù)，且，則（

）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】B【解析】由題設，.故選：B變式1．（2023·全國·高三專題練習）一個質點作直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關系式，，則當時，該質點的瞬時速度為（

）A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒【答案】B【解析】，當時，，故當時，該質點的瞬時速度為3米/秒.故選：B.變式2．（2023·全國·高三專題練習）某物體沿水平方向運動，其前進距離（米）與時間（秒）的關系為，則該物體在運動前2秒的平均速度為（

）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒【答案】C【解析】∵，∴該物體在運動前2秒的平均速度為（米/秒）．故選：C．變式3．（2023·全國·高三專題練習）設是可導函數(shù)，且，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】∵，∴.故選：B.題型二：求函數(shù)的導數(shù)【方法技巧與總結】對所給函數(shù)求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求導問題.例4．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則實數(shù)a的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，，，．故選：D．例5．（2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為所以例6．（2023·全國·高三專題練習）下列函數(shù)的導函數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以.變式4．（2023·浙江·高三專題練習）請用函數(shù)求導法則求出下列函數(shù)的導數(shù)．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】（1）因為，則；（2）因為，則；（3）因為，則；（4）因為，則；（5）因為，故.題型三：導數(shù)的幾何意義【方法技巧與總結】函數(shù)在點處的導數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別.（1）已知在點處的切線方程為.（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點既在曲線上又在切線上.1、在點P處切線例7．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.因為，，所以所求切線方程為，即.故選：B例8．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則，而，故函數(shù)在處的切線方程為，則.故選：C例9．（2023秋·甘肅武威·高三統(tǒng)考階段練習）曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以曲線在處的切線的斜率為，又因為當時，，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A.2、過點P的切線變式5．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】設切點為，則，所以，所以切線方程為，因為切線過點（1，3），所以，即，即，解得或，所以切線方程為或，故選：AB變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線l的方程為__________.【答案】【解析】設切點坐標為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為又直線l過點，所以，整理得，解得，所以，直線l的斜率，所以直線l的方程為，故答案為：.變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f（x）=x3－3x，則過點（1，－2）的切線方程為__________．【答案】和【解析】由函數(shù)，則，當點為切點時，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，當點不是切點時，設切點，則，即，解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即．故答案為：和．變式8．（2023·全國·高三專題練習）過點的直線l與曲線相切，則直線l的斜率為___________.【答案】3或【解析】因為，所以，，當為切點時，，當不為切點時，設切點為，，所以，所以切線方程為：，過點，所以即，即，解得或（舍），所以切點為，所以，綜上所述：直線l的斜率為3或，故答案為：3或變式9．（2023·全國·高三專題練習）過點與曲線相切的直線方程為______________.【答案】.【解析】設切點坐標為，由得，切線方程為，切線過點，，即，，即所求切線方程為.故答案為：.3、公切線變式10．（2023秋·廣東韶關·高三校考階段練習）已知函數(shù)在點處的切線為l，若l與函數(shù)相切，切點為，則__________．【答案】9【解析】由題意得，則，切線方程為，即，則，則，.故答案為：9.變式11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若直線函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________.【答案】【解析】設直線與函數(shù)的圖像相切的切點為，由可得，即切點為，則，所以切線方程為；聯(lián)立，可得，由題意可得，解得.故答案為：變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（為常數(shù)），直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1，則的值為_______.【答案】【解析】因為所以再由判別式為零得變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若經(jīng)過點存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（

）A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【解析】因為，所以，則，所以所以函數(shù)在處的切線方程為，由得，由，解得或，故選：D變式14．（2023·全國·高三專題練習）若直線與函數(shù)，的圖象分別相切于點，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，，則，，即．曲線在點處的切線方程為，曲線在點處的切線方程為，所以，可得，整理得，故選：B.4、已知切線求參數(shù)問題變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在點處的切線方程為，則_______.【答案】【解析】函數(shù)的導數(shù)為，所以，即函數(shù)在點處的切線斜率為，由切線方程為，可得，解得，，由切點，可得，解得，則，故答案為：．變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知直線與曲線相切，則___________.【答案】【解析】由，所以設切點為，則，，消去得，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，此時.故答案為：變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知直線是曲線的一條切線，則b＝___．【答案】2【解析】函數(shù)的定義域為，，令，則，所以切點為，代入，得，所以.故答案為：2.變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線在點處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】，，∴，∴．將代入得，∴．故選：C．變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】由，則，所以解得：，，所以.故選：D.變式20．（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則（

）A．1 B．0 C．－1 D．e【答案】B【解析】因為，所以，故又，所以．故選：B變式21．（2023秋·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)在處切線方程為，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．0【答案】B【解析】，則，解得：，所以，，所以切點坐標為，將其代入中，故，解得：.故選：B變式22．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）函數(shù)在處的切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)在處的切線的導數(shù)即為切線的斜率為，且切線與直線平行，則有，可得.故選：B5、切線的條數(shù)問題變式23．（2023·全國·高三專題練習）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：變式24．（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知點在函數(shù)圖象上方時，過此點可以作曲線的兩條切線，所以，故選：B．變式25．（2023·全國·高三專題練習）若過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】設切點為，由，所以，所以，所以切線方程為，即，因為切線過點，所以，解得或，所以過點作曲線的切線可以作2條，故選：C6、切線平行、垂直、重合問題變式26．（2023·全國·高三專題練習）對于三次函數(shù)，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，設，則，即……①又，即……②由①②可得，.故選：B.變式27．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）函數(shù)在處的切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)在處的切線的導數(shù)即為切線的斜率為，且切線與直線平行，則有，可得.故選：B變式28．（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設切點為，，切線與直線垂直，切線的斜率為，又，所以，，解得，，即切點，由點斜式可得，切線方程為：，即．故選：．變式29．（2023秋·青?！じ呷嗪煷蟾街行？茧A段練習）已知曲線y＝存在兩條互相平行的切線，請寫出一個滿足條件的函數(shù)：_______.【答案】（答案不唯一）【解析】兩條切線互相平行應先滿足在切點處的導數(shù)值相等，例如，，，，此時，，函數(shù)在處的切線方程為：；函數(shù)在處的切線方程為：；合乎題意，故答案為：（答案不唯一）變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)，所以，又因為曲線在處的切線與直線平行，所以，解得，故答案為：7、最值問題變式31．（2023·全國·高三專題練習）已知點P是曲線上任意的一點，則點P到直線的距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，即，所以，故選：D．變式32．（2023·全國·高三專題練習）若點在曲線上運動，點在直線上運動，兩點距離的最小值為_______【答案】【解析】設與直線平行且與曲線相切于點時，此時兩點距離的最小值為點到直線的距離，因為，所以，即得，，所以點到直線的距離為，所以兩點距離的最小值為．故答案為：變式33．（2023·全國·高三專題練習）若點P是曲線上一動點，則點P到直線的最小距離為________.【答案】【解析】設，，設直線與曲線相切，切點為，且直線與直線平行，則有，得，，即如圖所示：此時到直線的距離最小，.故答案為：【過關測試】一、單選題1．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以，又，所以切線方程為，即．故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)求導，得，所以，即函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為2，所以函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習）在曲線的所有切線中，與直線平行的共有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】由，令，得或，當時，曲線在點處的切線與直線重合，故在曲線的所有切線中，與直線平行的共有3條．故選:C.4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)存在與直線平行的切線，即在上有解，而，所以，因為，所以，所以．所以的取值范圍是．當直線就是的切線時，設切點坐標，可得，解得．所以實數(shù)的取值范圍是：．故選：B．5．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線斜率為（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點處的切線斜率為1．故選：C．6．（2023·全國·高三專題練習）曲線在處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，則，當時，，，所以切線方程為，即．故選：D．7．（2023·全國·高三專題練習）已知點P是曲線上任意的一點，則點P到直線的距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，即，所以，故選：D．8．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知P是曲線上的一動點，曲線C在P點處的切線的傾斜角為，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，因為曲線在M處的切線的傾斜角，所以對于任意的恒成立，即對任意恒成立，即，又，當且僅當，即時，等號成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）如圖，是可導函數(shù)，直線l：是曲線在處的切線，令，其中是的導函數(shù)，則(

)A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由圖可知，f(3)＝1，故A正確；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B錯誤；，則，故C正確；，，故D正確.故選：ACD.10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是1B．曲線的切線斜率可以是C．過點且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】AC【解析】因為函數(shù)，所以A.令，得，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；B.令無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯誤；C.因為在曲線上，所以點是切點，則，所以切線方程為，即，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；D.設切點，則切線方程為，因為點在切線上，所以，解得，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯誤；故選：AC11．（2023·全國·高三專題練習）（多選）設點P是曲線上的任意一點，P點處的切線的傾斜角為，則角的取值范圍包含（

）A．

B．

C．

D．【答案】CD【解析】，，依題意：，，∵傾斜角的取值范圍是，∴，故選：CD.12．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）過點的直線與函數(shù)的圖象相切于點，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，所以，由題意得直線的斜率，即，解得或故選:AD.三、填空題13．（2023·全國·模擬預測）函數(shù)的圖象在點處的切線方程是______．【答案】【解析】，，則，又，切點為，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是即.故答案為：.14．（2023·全國·高三專題練習）若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)__________.【答案】【解析】因為，所以，令，得，所以切點為