洛倫茲變換的詳細(xì)推導(dǎo)

洛倫茲變換式教學(xué)內(nèi)容：1.洛倫茲變換式的推導(dǎo)；2.狹義相對(duì)論的時(shí)空觀：同時(shí)性的相對(duì)性、長(zhǎng)度的收縮和時(shí)間的延緩；重點(diǎn)難點(diǎn)：狹義相對(duì)論時(shí)空觀的主要結(jié)論?；疽螅?.了解洛倫茲坐標(biāo)變換和速度變換的推導(dǎo)；2.了解狹義相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性以及長(zhǎng)度收縮和時(shí)間延緩概念；3.理解牛頓力學(xué)中的時(shí)空觀和狹義相對(duì)論中的時(shí)空觀以及兩者的差異。三、洛倫茲坐標(biāo)變換的推導(dǎo)或據(jù)狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)來(lái)推導(dǎo)洛侖茲變換式。1.時(shí)空坐標(biāo)間的變換關(guān)系作為一條公設(shè)，我們認(rèn)為時(shí)間和空間都是均勻的，因此時(shí)空坐標(biāo)間的變換必須是線性的。對(duì)于任意事件P在S系和S'系中的時(shí)空坐標(biāo)(x，y，z，t)、(x'，y'，z'，t')，因S'相對(duì)于S以平行于x軸的速度v作勻速運(yùn)動(dòng)，顯然有y'=y,z'=z。在S系中觀察S系的原點(diǎn)，x=0；在S'系中觀察該點(diǎn)，x'=-vt'，即x'+vt'=0。因此x=x'+vt'。在任意的一個(gè)空間點(diǎn)上，可以設(shè)：x=k（x'+vt'），k是—比例常數(shù)。同樣地可得到：x'=k'（x-vt）=k'（x+(-v)t）根據(jù)相對(duì)性原理，慣性系S系和S'系等價(jià)，上面兩個(gè)等式的形式就應(yīng)該相同（除正、負(fù)號(hào)），所以k=k'。2.由光速不變?cè)砜汕蟪龀?shù)k

設(shè)光信號(hào)在S系和S'系的原點(diǎn)重合的瞬時(shí)從重合點(diǎn)沿x軸前進(jìn)，那么在任一瞬時(shí)t（或t'），光信號(hào)到達(dá)點(diǎn)在S系和S'系中的坐標(biāo)分別是：x=ct,x'=ct'，則：由此得到。這樣，就得到，。由上面二式，消去x'得到；若消去x得到，綜合以上結(jié)果，就得到洛侖茲變換，或洛侖茲反變換可見(jiàn)洛侖茲變換是兩條基本原理的直接結(jié)果。3.討論（1）可以證明，在洛侖茲變換下，麥克斯韋方程組是不變的，而牛頓力學(xué)定律則要改變。故麥克斯韋方程組能夠用來(lái)描述高速運(yùn)動(dòng)的電磁現(xiàn)象，而牛頓力學(xué)不適用描述高速現(xiàn)象，故它有一定的適用范圍。（2）當(dāng)|v/c|<<1時(shí)，洛侖茲變換就成為伽利略變換，亦即后者是前者在低速下的極限情形。故牛頓力學(xué)僅是相對(duì)論力學(xué)的特殊情形—低速極限。2.討論（1）在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=t1，但在不同地點(diǎn)發(fā)生，，則有：這就是同時(shí)的相對(duì)性。（2）在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=t1，而且在相同地點(diǎn)發(fā)生，，則有：即在S系中同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S’系中也同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生。（3）事件的因果關(guān)系不會(huì)顛倒，如人出生的先后假設(shè)在S系中，t時(shí)刻在x處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí)間后到達(dá)處，則由：得到因?yàn)関≯c，u≯c，所以Δ與Δt同號(hào)。即事件的因果關(guān)系，相互順序不會(huì)顛倒。（4）上述情況是相對(duì)的。同理在S’系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系看來(lái)同樣也是不同時(shí)的。（5）當(dāng)時(shí)，，回到牛頓力學(xué)。二、長(zhǎng)度收縮（洛倫茲收縮）假設(shè)一剛性棒AB靜止于S’系中，在S系中同時(shí)測(cè)量得。由洛倫茲坐標(biāo)變換式：得：即1.固有長(zhǎng)度觀察者與被測(cè)物體相對(duì)靜止時(shí)，長(zhǎng)度的測(cè)量值最大，稱為該物體的固有長(zhǎng)度（或原長(zhǎng)），用l0表示。即2.洛倫茲收縮（長(zhǎng)度縮短）觀察者與被測(cè)物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度的測(cè)量值等于其原長(zhǎng)的倍，即物體沿運(yùn)動(dòng)方向縮短了，這就是洛倫茲收縮（長(zhǎng)度縮短）。討論：（1）長(zhǎng)度縮短效應(yīng)具有相對(duì)性。若在S系中有一靜止物體，那么在系中觀察者將同時(shí)測(cè)量得該物體的長(zhǎng)度沿運(yùn)動(dòng)方向縮短，同理有即看人家運(yùn)動(dòng)著的尺子變短了。（2）當(dāng)v<<c時(shí)，有三、時(shí)間膨脹（時(shí)間延緩）由洛倫茲變換得，事件P1、P2在S系中的時(shí)間間隔為，事件P1、P2在S’系中的時(shí)間間隔為。如果在S’系中兩事件同地點(diǎn)發(fā)生，即，則有：1.固有時(shí)間（原時(shí)）的概念在某一慣性系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生的兩事件之間的時(shí)間間隔，叫固有時(shí)間（原時(shí)）。用表示，且：。2.時(shí)間膨脹在S系看來(lái)：，稱為時(shí)間膨脹。3.討論（1）時(shí)間膨脹效應(yīng)具有相對(duì)性。若在S系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生兩事件的時(shí)間間隔為Δt（稱為原時(shí)），則同理有就好象時(shí)鐘變慢了，即看人家運(yùn)動(dòng)著的鐘變慢了。（2）當(dāng)v＜＜c時(shí)，有（3）實(shí)驗(yàn)已證實(shí)μ子，π介子等基本粒子的衰變，當(dāng)它們相對(duì)實(shí)驗(yàn)室靜止和高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其壽命完全不同。例1:在慣性系S中，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，在軸上相距處，從另一慣性系S’中觀察到這兩個(gè)事件相距。問(wèn)由S’系測(cè)得此兩事件的時(shí)間間隔為多少？解：由題意知，在S系中，，即，。而在S’系看來(lái)，時(shí)間間隔為，空間間隔為。由洛倫茲坐標(biāo)變換式得：由（1）式得代入（2）式得例2:半人馬星座α星是離太陽(yáng)系最近的恒星，它距地球?yàn)閙。設(shè)有一宇宙飛船自地球往返于人馬星座α星之間。若宇宙飛船的速度為0.