廣東省湛江市廉江第二中學2022年高三數(shù)學文上學期期末試題含解析

廣東省湛江市廉江第二中學2022年高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（

）.

(A)5

(B)-6

(C)10

(D)-l0參考答案：B2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.(0,+∞) B.(－∞,0) C.(3,+∞) D.(－∞,－3)參考答案：D試題分析：因為，所以或，由于函數(shù)在上遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性得性質(zhì)可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D.考點：1、函數(shù)的定義域；2、函數(shù)的單調(diào)性.3.已知是函數(shù)的一個零點,若,,則(

)A、f(x1)<0,f(x2)<0

B．f(x1)<0,f(x2)>0

C．f(x1)>0,f(x2)<0

D．f(x1)>0,f(x2)>0參考答案：B4.命題p：函數(shù)在[1，4]上的值域為；命題．下列命題中，真命題的是(

)A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．p∨q參考答案：B【考點】復合命題的真假；函數(shù)的值域．【專題】簡易邏輯．【分析】根據(jù)條件分別判斷兩個命題的真假即可得到結(jié)論．解：∵在[1，]上為減函數(shù)，在[，4]上為增函數(shù)，∴當x=1時，y=1+2=3，當x=4時，y=4+=，即最大值為，當x=時，y=+=+=2，即最小值為2，故函數(shù)的值域為[2，]，故命題p為假命題．若a＞0，則a+1＞a，則log（a+1）＜loga，故命題q為假命題，則￢p∨q為真命題．故選：B．【點評】本題主要考查復合函數(shù)命題的真假判斷，分別判斷命題p，q的真假是解決本題的關鍵．5.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則PA=（）（A）3（B）（C）（D）參考答案：B試題分析：連結(jié)交于點，取的中點，連結(jié)，則，所以底面，則到四棱錐的所有頂點的距離相等，即為球心，半徑為,所以球的體積為，解得，故選B．

6.已知（x2+2x+3y）5的展開式中x5y2（）A．60 B．180 C．520 D．540參考答案：D【考點】DB：二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用分步相乘原理，可以得出x5y2的系數(shù)．【解答】解：（x2+2x+3y）5可看作5個（x2+2x+3y）相乘，從中選2個y，有C52種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C32?C11種選法；∴x5y2的系數(shù)為32C52?C32?2?C11=540，故選：D【點評】本題考查了二項式定理的靈活應用問題，也考查了分步相乘原理的應用問題，是基礎題目．7.已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R都有f(x＋2)—f(x)＝f(1)若函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關于x＝－2對稱，且f(0)＝8，則f(99)＋f(100)＝A．0

B．6

C．8

D．16參考答案：C8.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，所得圖象的函數(shù)解析式是

A． B．

C． D．參考答案：A【知識點】平移變換.

C4解析：將函數(shù)的圖象向左平移個單位得，函數(shù)圖像，再將這個函數(shù)圖像向上平移一個單位得，圖像.故選A.【思路點撥】由平移變換的意義得正確選項.

9.已知復數(shù)z=（1+i）2+i2010，則復數(shù)z的虛部是（）A.

i

B.-1

C.

2i

D.2參考答案：D略10.已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．11

B．12

C．13

D．14

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”．則下列有關說法中：①對于圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；②函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)；③存在圓O，使得是圓O的一個太極函數(shù)；④直線所對應的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù)；⑤若函數(shù)是圓的太極函數(shù)，則．所有正確的是___________．參考答案：②④⑤考點：函數(shù)的圖象.【易錯點睛】本題考查了對新定義的理解，函數(shù)奇偶性的應用，命題真假的判斷，函數(shù)的圖象應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．屬于中檔題.根據(jù)新定義得關于圓心對稱的函數(shù)為太極函數(shù).本題的前兩個很容易得出結(jié)論，第三個需要判斷對稱和性的單調(diào)性，第四要判斷含參直線過定點．本題難度較大，考查的知識點較多.12.已知向量不共線，，，如果，則k=______．參考答案：【分析】由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。【詳解】由題意，向量，所以，則且，解得.【點睛】本題主要考查了向量的共線條件的應用，其中解答中熟記向量共線條件，列出關于的關系式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題。13.以點M（2，0）、N（0，4）為直徑的圓的標準方程為．參考答案：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5【考點】圓的標準方程．【分析】根據(jù)題意，設要求圓的圓心即點M、N的中點為C（x，y），半徑為r，由點M、N的坐標結(jié)合中點坐標公式可得C的坐標，又由2r=|MN|，結(jié)合兩點間距離公式可得r的值，由圓的標準方程計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設要求圓的圓心即點M、N的中點為C（x，y），半徑為r，又由點M（2，0）、N（0，4）；則有，解可得，又有2r=|MN|==，則r2=5；故要求圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故答案為：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．14.設數(shù)列{an}滿足a2+a4=10，點Pn（n，an）對任意的n∈N*，都有向量=(1,2)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn=

．參考答案：n2．【分析】運用向量的坐標運算和等差數(shù)列的定義得{an}等差數(shù)列，公差d=2，將a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n項和Sn．【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差數(shù)列，公差d=2，將a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn=n（1+2n﹣1）=n2．故答案為：n2．15.將四位同學等可能的分到甲、乙、丙三個班級，則甲班級至少有一位同學的概率是，用隨機變量ξ表示分到丙班級的人數(shù)，則Eξ=．參考答案：，

【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）由題意，利用相互對立事件的概率計算公式可得：四位學生中至少有一位選擇甲班級的概率為1﹣．（2）隨機變量ξ=0，1，2，3，4，則P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，即可得出ξ的分布列及其數(shù)學期望．【解答】解：（1）由題意，四位學生中至少有一位選擇甲班級的概率為1﹣=．（2）隨機變量ξ=0，1，2，3，4，則P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=，ξ的分布列為ξ01234PEξ=0+1×+2×+3×+4×=．故答案為：，．16.設定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集是__________________．參考答案：17.已知集合，集合，p：，q：，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某省2016年高中數(shù)學學業(yè)水平測試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制．各等級劃分標準為：85分及以上，記為A等；分數(shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等；分數(shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等；60分以下，記為D等．同時認定A，B，C為合格，D為不合格．已知甲，乙兩所學校學生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學生的成績，分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級為C，D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．（I）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；（Ⅱ）在乙校的樣本中，從成績等級為C，D的學生中隨機抽取兩名學生進行調(diào)研，求抽出的兩名學生中至少有一名學生成績等級為D的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出x=0.004，從而得到甲學校的合格率，由此能求出結(jié)果．（Ⅱ）由題意，將乙校樣本中成績等級為C，D的6名學生記為C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列舉法能求出隨機抽取2名學生，抽出的兩名學生中至少有一名學生成績等級為D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲學校的合格率為1﹣10×0.004=0.96，而乙學校的合格率為：1﹣=0.96，故甲乙兩校的合格率相同．（Ⅱ）由題意，將乙校樣本中成績等級為C，D的6名學生記為C1，C2，C3，C4，D1，D2，則隨機抽取2名學生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15個，其中“抽出的兩名學生中至少有一名學生成績等級為D”包含的基本事件有9個，∴抽出的兩名學生中至少有一名學生成績等級為D的概率p=．19.（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合（1）求拋物線的方程（2）已知動直線過點，交拋物線于兩點，坐標原點O為中點，求證；（3）是否存在垂直于x軸的直線m被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由。參考答案：（1）拋物線的焦點為，。所以拋物線的方程為-------3分（2）設由于O為PQ中點，則Q點坐標為（-4,0）當垂直于x軸時，由拋物線的對稱性知當不垂直于x軸時，設，由

所以--------------------------------------------------------------8分(3)

設存在直線m：滿足題意，則圓心，過M作直線x=a的垂線，垂足為E。設直線m與圓的一個交點為G，則.即當a=3時，此時直線m被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值。因此存在直線m：x=3滿足題意。-----------------------------------------------------12分20.（本小題滿分12分）記函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合.（1）求和；（2）若,求實數(shù)的取值范圍.參考答案：【知識點】集合的包含關系判斷及應用．A1

【答案解析】（1）A∩B={﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}，A∪B=R；（2）[4，+∞）．解析：（1）A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，則A∩B={﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}，A∪B=R；（2）C={x|4x+p＜0}={x|x＜﹣}，∵CA，∴﹣≤﹣1，得，p≥4，所以，實數(shù)P的取值范圍是[4，+∞）．【思路點撥】（1）由題意x2﹣x﹣2＞0，9﹣x2≥0，從而解出集合A、B，再進一步解出A∩B和A∪B，（2）化簡C={x|4x+p＜0}={x|x＜﹣}，由CA求實數(shù)P的取值范圍．21.在△中，角、、的對邊分別為，若，且.（1）求的值；（2）若，求△的面積.參考答案：解：（1）∵,

∴

∴

（2）由（1）可得在△中，由正弦定理

，

∴

,

∴.22.已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形，△ABC為腰長為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.

（1）試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點F與A的連線AF均與平面CDE平行，并給出詳細證明（2）求點B到平面AEC的距離參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）取BC和BD的中點H、G，利用面面平行的判斷定理證得平面CDE平行平面AHG即可求得結(jié)果；（2）分別求得三角形