特征向量計(jì)算

特征向量計(jì)算第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@主要內(nèi)容問(wèn)題的提出按模最大最小特征值計(jì)算計(jì)算實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的雅克比法QR法第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.問(wèn)題的提出在數(shù)學(xué)和物理中，需要處理線性方程組，方程組的特性就是其系數(shù)矩陣的特征，即求矩陣計(jì)算矩陣的特征值及其特征向量。如波導(dǎo)模式問(wèn)題其特征值就是代數(shù)方程cem@a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2·········································an1x1+an2x2+····+annxn=bn第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三φ(λ)是關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式

也稱(chēng)為矩陣A特征方程。它的n個(gè)根，稱(chēng)為A的特征值。λ是A的特征值時(shí)，相應(yīng)的方程的非零解x，稱(chēng)為對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量。cem@1.問(wèn)題提出第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三問(wèn)題：當(dāng)A的階數(shù)比較高時(shí)，化簡(jiǎn)特征方程很復(fù)雜，求解特征方程也困難。有些問(wèn)題只要求最大特征值及特征向量。有些問(wèn)題只要求最小特征值及特征向量。需要計(jì)算所有特征值及特征向量。cem@1.問(wèn)題提出第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.按模最大最小特征值求法迭代計(jì)算方法。冪法是求解最大特征值及特征向量的方法。設(shè)n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量x1,x2,…,xn，對(duì)應(yīng)的特征向量λ1,λ2,…,λn，并按模的大小排列有2種情況討論。cem@第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三（1）任取初始向量v0，由矩陣A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量線性表示設(shè)a1不等于0，從v0出發(fā)做一系列迭代cem@2.最大最小模(1)冪法第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三具體計(jì)算λ1主要求矩陣A的冪Ak與已知向量v0的乘積，故稱(chēng)冪法。是一種迭代法，其迭代的收斂速度取決于下面的比值因反復(fù)計(jì)算A與向量Ak-1v0的乘積，會(huì)出現(xiàn)各分量值過(guò)大或過(guò)小，計(jì)算機(jī)會(huì)溢出。如何解決？cem@2.最大最小模(1)冪法第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三方法：采用迭代向量“歸一化”，即把迭代向量的最大分量歸一化為1。計(jì)算步驟：任取一個(gè)初始向量構(gòu)造迭代序列取cem@2.最大最小模(1)冪法第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1：用冪法計(jì)算矩陣

模最大的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量解：cem@2.最大最小模(1)冪法第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）迭代序列cem@2.最大最小模(1)冪法第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法說(shuō)明三個(gè)向量大體上線性相關(guān)第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法上式方程的左邊可以作為λ1,λ2的特征向量。說(shuō)明：不止兩種情況，根據(jù)計(jì)算來(lái)判定初始向量的選取對(duì)迭代次數(shù)有影響。冪法的收斂速度是決定的，當(dāng)接近1時(shí)，收斂很慢，需要加速。思路：通過(guò)矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組進(jìn)行規(guī)范化正交組。第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法即稱(chēng)為Rayleigh商，并有用冪法計(jì)算特征根λ1，已經(jīng)迭代到第k次第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法對(duì)uk做一次Rayleigh商第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(2)反冪法設(shè)矩陣A是非奇異陣，則0不是A的特征值。則A-1存在A-1的特征值有A-1主特征值為1/

λ1及特征向量xn，就是A求模的最小特征值，用A-1代替A做冪法，叫反冪法第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(2)反冪法任給初始向量v0迭代計(jì)算A-1是不容易的事，可寫(xiě)成采用歸一化處理，步驟每進(jìn)行1次迭代，需要計(jì)算方程組

計(jì)算量很大，事先A進(jìn)行LU分解。第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(2)反冪法例2：用反冪法計(jì)算矩陣

模最小的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量解：矩陣A的LU分解

取初始向量第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值的雅克比法雅克比法是計(jì)算實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值及特征向量的主要迭代方法，其理論依據(jù)：對(duì)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，一定存在正交矩陣R，使如何找合適的正交陣R？cem@第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三最簡(jiǎn)單的實(shí)例分析。一條二次曲線坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)上面方程矩陣形式cem@3.雅克比法第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中如果令得到θ的值cem@3.雅克比法第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三得到比較兩矩陣其中cem@3.雅克比法第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三推廣到一般情況，例舉一個(gè)實(shí)例說(shuō)明例3橢球與坐標(biāo)平面OX1X2的交線是如果OX1,OX2軸旋轉(zhuǎn)П/4，得到二次橢圓曲線cem@3.雅克比法第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三橢球經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后，得到新方程變換前后方程寫(xiě)成矩陣形式cem@3.雅克比法第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三經(jīng)過(guò)變換后，矩陣A的變化情況：對(duì)角線元素的平方和由19增加到27.非對(duì)角線元素的平方和由10.5減少到2.5，矩陣所有元素的平方和未變。但轉(zhuǎn)換后的方程仍然保留y1y2和y2y3的乘積項(xiàng)，用類(lèi)似的方法再次變換，如與Oy2y3平面相截cem@3.雅克比法第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三橢圓方程轉(zhuǎn)換為：二次型矩陣對(duì)角線元素的平方和不斷增加（27.25）非對(duì)角線元素的平方和不斷減少（2.25）cem@3.雅克比法雅克比法的基本思想第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)A=(aij)為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣R(i,j)為平面旋轉(zhuǎn)陣，記為R1.記cem@3.雅克比法第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三平面旋轉(zhuǎn)陣R(i,j)有如下性質(zhì)R1TR1=I，即R1是正交陣如果A是對(duì)稱(chēng)陣，則(R1TAR1)T=R1ATR1=R1AR1,A1=R1AR1是對(duì)稱(chēng)矩陣，說(shuō)明對(duì)稱(chēng)矩陣經(jīng)過(guò)正交變換后仍然是對(duì)稱(chēng)陣。矩陣A經(jīng)過(guò)變換后的A1第i,j行列元素的變化如下3.雅克比法第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三如果取θ使得即同樣可以驗(yàn)證：3.雅克比法cem@第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三如果取大于或等于A非對(duì)角線元素的絕對(duì)值通過(guò)一次變換，非對(duì)角線元素的平方和說(shuō)明每次迭代非對(duì)角線元素的平方和不會(huì)超過(guò)

當(dāng)經(jīng)過(guò)k次迭代后對(duì)角線元素的平方和A變成對(duì)角陣3.雅克比法cem@第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三雅克比法的計(jì)算步驟：找出A矩陣非對(duì)角元素絕對(duì)值最大的元素aij，確定i，j用公式計(jì)算tan2θ，計(jì)算sinθ及cosθ計(jì)算以A1代入A，重復(fù)上面步驟，直到3.雅克比法cem@第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三Ak對(duì)角元素就是特征值，逐次變換矩陣Rk的乘機(jī)其列向量即所求的特征向量。具體計(jì)算：3.雅克比法cem@第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4用雅克比法求對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值及特征向量。解：3.雅克比法cem@第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.雅克比法cem@第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.QR方法對(duì)任意非奇異矩陣A，可以分解成一個(gè)正交陣Q和一個(gè)上三角陣R的乘積，稱(chēng)為A的QR分解。如R的對(duì)角元是正實(shí)數(shù)，分解是唯一的。若A是奇異的，則A有零特征值，取一個(gè)不等于A特征值的μ，則A-μI是非奇異的。QR方法的基本過(guò)程：A=A1，對(duì)A1進(jìn)行QR分解交換次序R1Q1為A2

是正交相似變換，有相同的特征值。cem@第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三非奇異矩陣A，借助施密特正交化過(guò)程，實(shí)行A的QR分解。記A的n個(gè)列為cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三正交性且范數(shù)為1正交規(guī)范向量，從上式依次計(jì)算cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三記cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例5對(duì)A作QR分解解：cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三記cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第四十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三A為n*n非奇異矩陣，設(shè)A1=A設(shè)A的n個(gè)特征值