圓周角 省賽獲獎

24.1.4圓周角（1）九年級數(shù)學(xué)備課組5個命題：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧。以其中兩個命題為條件，能推出其他命題。ABCDMO垂徑定理的推論：1、復(fù)習(xí)提問:(2)圓心角，弧，弦，弦心距關(guān)系定理是什么？(1)什么是圓心角？在同圓或等圓中，如果①兩個圓心角，②兩條弧，③兩條弦，④兩條弦心距，有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。推論：∠ACB與

∠AOB有何異同點(diǎn)？你知道∠ACB這一類的角名字嗎？

頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角,叫圓周角。如∠ACB.圓周角的概念：BACO如下圖，你們能找出圓周角嗎？有什么特征？頂點(diǎn)兩邊√

歸納：一個角是圓周角的條件：

①頂點(diǎn)在圓上；

②兩邊都和圓相交.類比圓心角探知圓周角在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓心角相等.在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角有什么關(guān)系？為了解決這個問題,我們先探究一條弧所對的圓周角和圓心角之間有的關(guān)系.●O●O●OABCABCABC1.首先考慮一種特殊情況：當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的一邊(BC)上時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣?2.當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的內(nèi)部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會怎樣?過點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.●ODABC過點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣?3.當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的外部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會怎樣?圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;

90°的圓周角所對的弦是直徑．推論：·BC1OC2C3練一練1、如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如圖，△ABC是等邊三角形，動點(diǎn)P在圓周的劣弧AB上，且不與A、B重合，則∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB2.在⊙O中，一條弧所對的圓心角和圓周角分別為(2x+100)°和(5x-30)°，則x=__；1.如圖，在直徑為AB的半圓中，O為圓心，C、D

為半圓上的兩點(diǎn)，∠COD=50°，則∠CAD=______；20°25°3.AB、AC為⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°

，求∠BOC的度數(shù).⌒⌒4.如圖，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°，求∠A的度數(shù).∠BOC=140°∠A=21°例2.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）·ABCO求證：△ABC

為直角三角形.證明：CO=AB,以AB為直徑作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴點(diǎn)C在⊙O上.又∵AB為直徑,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO為AB邊上的中線，且CO=AB∴△ABC為直角三角形.小結(jié)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;

90°的圓周角所對的弦是直徑．推論