中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點復(fù)習(xí)題型05 圓的相關(guān)證明與計算 類型一 圓的基本性質(zhì)證明與計算（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型五圓的相關(guān)證明與計算類型一圓的基本性質(zhì)證明與計算（專題訓(xùn)練）1.如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0為2，則弦SKIPIF1<0的長為（）A．4 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．2.如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)接三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)垂徑定理求出SKIPIF1<0，根據(jù)圓周角定理求出SKIPIF1<0，根據(jù)正弦的定義求出SKIPIF1<0，根據(jù)弧長公式計算求解．【詳解】解：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圓周角定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．3.設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）A．有最大值SKIPIF1<0π B．有最小值SKIPIF1<0π C．有最大值SKIPIF1<0π D．有最小值SKIPIF1<0π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣SKIPIF1<0)2+SKIPIF1<0π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣SKIPIF1<0)2﹣SKIPIF1<0]＝﹣2π(r﹣SKIPIF1<0)2+SKIPIF1<0π，∴當(dāng)r＝SKIPIF1<0時，S側(cè)有最大值SKIPIF1<0．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵．4.如圖，AB為SKIPIF1<0的直徑，C，D為SKIPIF1<0上的兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用互余計算出SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，如圖，SKIPIF1<0AB為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選B．【點睛】本題主要考查了同弦所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.5.如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，CD是SKIPIF1<0的直徑．若SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=SKIPIF1<0=8，∴cos∠ADC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為SKIPIF1<0，故選：A．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6.如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點C是弧AB中點，點D是優(yōu)弧AB上的一點，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】連接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根據(jù)垂徑定理求出AE=3，然后證明三角形OAC是等邊三角形，從而可以得到∠OAE=30°，再利用三線合一定理求解即可.【詳解】解：如圖所示，連接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中點，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∵OC⊥AB,∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴圓心O到弦AB的距離為SKIPIF1<0，故選C.【點睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.7.如圖，∠BAC＝36°，點O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點D，交邊AB于點E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OD，∵⊙O與邊AC相切于點D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴SKIPIF1<0，故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8.如圖，點C是以點O為圓心，AB為直徑的半圓上一點，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】如圖，過點C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點C作CH⊥AB于H．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝4，BC＝3，

∴AB＝SKIPIF1<0，

∴OC＝SKIPIF1<0AB＝SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0?AB?CH＝SKIPIF1<0?AC?BC，

∴CH＝SKIPIF1<0，

∴sin∠BOC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，

故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求出CH的長，屬于中考?？碱}型．9.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC，BC，則∠C的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【分析】直接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角進行判斷即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∴∠C=90°故選：B【點睛】此題主要考查了：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，靈活掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．10.如圖，SKIPIF1<0是⊙O的直徑，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在⊙O上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故選：B.【點睛】此題考查了圓周角定理：同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，鄰補角的定義.11.如圖，SKIPIF1<0內(nèi)接于圓，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的切線交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.【詳解】解：連接OC，∵CP與圓O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB為直徑，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故選B.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠COP.12.如圖，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是弦，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】先由圓周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根據(jù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑確定∠ADB=90°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答．【詳解】解：∵SKIPIF1<0是弦，若SKIPIF1<0∴∠DAB=∠BCD=36°∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑∴∠ADB=90°∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，靈活利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．13.如圖，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由SKIPIF1<0是圓O的直徑，可得∠A=∠D=90°，又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，則∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長，從而可求DC的長.【詳解】解：∵SKIPIF1<0是圓O的直徑，∴∠A=∠D=90°.又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理，得BC=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0.∵△BCD是等腰直角三角形，∴CD=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故選:D.【點睛】此題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14.如圖，四邊形SKIPIF1<0的外接圓為⊙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等邊對等角，可得SKIPIF1<0，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得SKIPIF1<0，利用角的和差運算即可求解．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、三角形的內(nèi)角和、等邊對等角，熟練應(yīng)用幾何知識是解題的關(guān)鍵．15.在SKIPIF1<0中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C．若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后利用垂徑定理和勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∵DE⊥AB，∴DC＝SKIPIF1<0＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．【點睛】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，屬于?？碱}型，正確得出CO的長、熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．16.如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半徑，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0【答案】見解析【解析】【分析】首先得出SKIPIF1<0，推出OA=OB，再利用OA-OC=OB-OD得出結(jié)果即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的切線，∴SKIPIF1<0，∵MA=MB，OM=OM，∴SKIPIF1<0，∴OA=OB，∵OC，OD都是⊙O的半徑，∴OC=OD，∴OA-OC=OB-OD，即AC=BD．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)及全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定．17.如圖，在SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為直徑的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0弦SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）求SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0的長度．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)先用勾股定理的逆定理證明△AEM為直角三角形，且∠AEM=90°，再根據(jù)MN∥BC即可證明∠ABC=90°進而求解；(2)連接BM，由AB是直徑得到∠AMB=90°，再分別在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．【詳解】解：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線．(2)如圖，連接SKIPIF1<0

SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圓中切線的證明，圓周角定理，直角三角形中銳角的三角函數(shù)的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定及銳角三角函數(shù)的定義是解決此類題的關(guān)鍵．18.如圖，圓SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，其切線SKIPIF1<0與直徑SKIPIF1<0的延長線相交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的度數(shù)；（2）若SKIPIF1<0，求圓SKIPIF1<0的半徑．【答案】（1）SKIPIF1<0的度數(shù)為SKIPIF1<0；（2）圓O的半徑為2．【解析】【分析】（1）如圖（見解析），設(shè)SKIPIF1<0，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得SKIPIF1<0的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；（2）如圖（見解析），設(shè)圓O的半徑為SKIPIF1<0，先根據(jù)圓周角定理得出SKIPIF1<0，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）如圖，連接OA設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0AE是圓O的切線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由三角形的內(nèi)角和定理得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0則由圓周角定理得：SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的度數(shù)為SKIPIF1<0；（2）如圖，連接AD設(shè)圓O的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0BD是圓O的直徑SKIPIF1<0由（1）可知，SKIPIF1<0則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不符題意，舍去）則圓O的半徑為2．【點睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，利用圓周角定理是解題關(guān)鍵．19.如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點，以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0長為半徑的圓與邊SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<