反證法與放縮法課件

2021/5/912021/5/922021/5/931．不等式的證明方法——反證法(1)反證法證明的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，然后由

出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行

，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明

不成立，從而證明原命題成立．(2)反證法證明不等式的一般步驟：①假設(shè)命題不成立；②依據(jù)假設(shè)推理論證；③推出矛盾以說明

，從而斷定原命題成立．此假設(shè)正確的推理假設(shè)假設(shè)不成立2021/5/942．不等式的證明方法——放縮法放縮法證明的定義：證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值

或

，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的．3．放縮法的理論依據(jù)主要有(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為

；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較．放大縮小不等量2021/5/952021/5/962021/5/972021/5/98(1)反證法適用范圍：凡涉及不等式為否定性命題，唯一性、存在性命題可考慮反證法．如證明中含“至多”，“至少”，“不能”等詞語的不等式．(2)注意事項(xiàng)：在對原命題進(jìn)行否定時(shí)，應(yīng)全面、準(zhǔn)確，不能漏掉情況，反證法體現(xiàn)了“正難則反”的策略，在解題時(shí)要靈活應(yīng)用．2021/5/991．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為 (

)A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0解析：“不全為0”是對“全為0”的否定，與其等價(jià)的是“至少有一個(gè)不為0”．答案：D2021/5/9102．證明：三個(gè)互不相等的正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則a，b，c不可能成等比數(shù)列．證明：假設(shè)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac.又∵a、b、c成等差數(shù)列∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.∴d2＝0，∴d＝0.這與已知中a、b、c互不相等矛盾．∴假設(shè)不成立．∴a、b、c不可能成等比數(shù)列．2021/5/9113．已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－a)，求證：a<b.證明：假設(shè)a<b不成立，則a＝b或a>b.當(dāng)a＝b時(shí)，－a＝－b則有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)與已知矛盾．當(dāng)a>b時(shí)，－a<－b，由函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)與已知矛盾．故假設(shè)不成立．∴a<b.2021/5/9122021/5/9132021/5/9142021/5/915(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失?。?2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的．2021/5/9162021/5/9175．設(shè)f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求證：|f(a)－f(b)|<|a－b|.證明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|∵0≤a≤1,0≤b≤1∴0≤a＋b≤2，－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1