大學物理功和能課件講義

力的空間累積效應(yīng)功和能第4章4.1力的功動能定理abθdr元功功（變力作用曲線運動）一、力的功直角坐標系中功的表達式:（微元分析法）取微元過程，再求和解：[例]質(zhì)點在力作用下沿X軸正方向運動，則從x=1m運動到x=2m的過程中，力做的功A=.[例]如圖,質(zhì)點沿圓周運動,作用力(k為常量),則從原點O運動到A(0,2R)的過程中,力做的功為.XYＯＡ解：討論摩擦力作功一定是負的嗎？2）功是過程量，作功的多少與路徑有關(guān)1）功是標量,其正負取決于與的夾角

3）恒力的功等于力與位移的乘積

4）合力的功:

(1)對質(zhì)點合力的功等于各力作功之和。代數(shù)和!(2)對質(zhì)點系:各力作功之和各質(zhì)點的元位移不同合力作功不等于

一對內(nèi)力作功之和：

系統(tǒng)中任意兩質(zhì)點m1、m2的相互作用力質(zhì)點1相對質(zhì)點2的元位移質(zhì)點1受質(zhì)點2的力一對內(nèi)力的功等于一個力與相對位移的點積、(作用力－反作用力)中學已使用過這個結(jié)論。如：一對正壓力的功一對滑動摩擦力作功＜0中學熟知的例子兩質(zhì)點間的“一對力”做功之和等于其中一個質(zhì)點受的力沿著該質(zhì)點相對于另一質(zhì)點移動的路徑所做的功。二、功率——反映作功快慢程度的物理量平均功率：瞬時功率：單位：瓦特（W）當力和速度的方向一致時：例4.1

如圖，水平桌面上有質(zhì)點m

，桌面的摩擦系數(shù)為μ,

求兩種情況下從a到b摩擦力作的功:1）沿圓??；2）沿直徑。解：并非恒力，其方向在變化，討論：

1）是負功；

注意負號的來源。2）摩擦力作功與路徑有關(guān)。解:例4.2質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿

x軸正向作直線運動。求前三秒內(nèi)該力所作的功。三、質(zhì)點運動的動能定理思路：與推導(dǎo)動量定理和角動量定理相同，仍然由

牛頓第二定律出發(fā)。牛頓力學中定義質(zhì)點動能為由：元功牛Ⅱ◆標量◆狀態(tài)量質(zhì)點的動能定理合力的功質(zhì)點動能的增量質(zhì)點的動能定理四、質(zhì)點系的動能定理思考：為什么內(nèi)力之和一定為零，而內(nèi)力作功之和不一定為零呢？合力的功質(zhì)點動能的增量對第i質(zhì)點：所有外力做的功所有內(nèi)力做的功系統(tǒng)總動能的增量求和：(動能定理)Note:內(nèi)力不改變系統(tǒng)總動量，但改變系統(tǒng)總動能！四、質(zhì)點系的動能定理內(nèi)力之和一定為零，而內(nèi)力作功之和不一定為零1）內(nèi)力也能改變系統(tǒng)的總動能

2）質(zhì)點系的三個運動定理各司其職動量定理角動量定理動能定理討論3）動能是狀態(tài)量而功是過程量，由狀態(tài)量的變化求過程量可以簡化計算。4）動能定理只適用于慣性系，并且功和動能的計算必須統(tǒng)一到同一慣性系。

例4.3在光滑的水平桌面上固定有如圖所示的半圓形屏障，質(zhì)量為m的滑塊以初速v0沿屏障一端的切線方向進入屏障內(nèi)，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為，求當滑塊從屏障另一端滑出時摩擦力的功。1.萬有引力的功以M處為原點，一、保守力的定義4.2保守力的功勢能—與路徑無關(guān)重力作功地面2.彈簧的恢復(fù)力的功小球在x點時，受力則質(zhì)點從a→b的過程中，彈簧的恢復(fù)力作功：l0xoxaxbFab——也與路徑無關(guān)定義：作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力，稱為保守力。保守力的環(huán)流為零。所討論的力的共同特征：作功與路徑無關(guān)，只與始末(相對)位置有關(guān)

具有這種特征的力（嚴格說是一對力）

稱為保守力

證明：=0等價的數(shù)學表述：沿任意閉合的相對路徑移動一周保守力做功為零．二、勢能1.定義

保守力的功，均為系統(tǒng)始末位形函數(shù)的差。把這些由位形決定的函數(shù)，叫做勢能函數(shù)(Ep)

。保守力做功的特點——與路徑無關(guān)彈性力的功——保守力的功等于系統(tǒng)勢能的減少任一狀態(tài)的勢能值？若選末態(tài)為勢能零點，即令即為系統(tǒng)在狀態(tài)a的勢能◆勢能零點原則上任意選取；零點改變，則各點勢能值隨之改變，勢能差值與勢能零點的選擇無關(guān)。由功的定義定義:一點處的勢能等于保守力從該點到勢能零點的線積分值(1)萬有引力勢能由=EPa－EPb以r→∞時為萬有引力勢能零點，即令rEP引O由任一狀態(tài)勢能值的定義,可得兩物體相距r時的萬有引力勢能2.力學中常見的勢能函數(shù)[思考]設(shè)則(2)重力勢能0hEP以h=0處為重力勢能零點，則有EP重（h）

=

mgh(3)彈性勢能通常以彈簧原長(x=0)時為彈性勢能零點，xEP彈O同樣根據(jù)任一狀態(tài)勢能值的定義，可得彈簧伸長x

時彈性勢能:以彈簧原長(x=0)時為彈性勢能零點oxX[思考]設(shè)則有關(guān)勢能的幾點說明2、系統(tǒng)引入勢能的條件是系統(tǒng)內(nèi)物體間存在著保守力。對于系統(tǒng)內(nèi)的非保守力就不能引入勢能。

3、保守力所做的功等于系統(tǒng)勢能的減少。保守力做正功，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負功，系統(tǒng)勢能增加。系統(tǒng)具有勢能，就具有做功的本領(lǐng)。4、由于勢能和系統(tǒng)所處的相對位置(相對位移)有關(guān)，因而與參照系的選擇無關(guān)。1、勢能屬于產(chǎn)生保守力的整個物體系統(tǒng)，不屬于某一物體所有。質(zhì)點質(zhì)量為m,距地心為r，若選r=4R(R為地球半徑)處為勢能零點，則質(zhì)點位于r=2R處時，它與地球(質(zhì)量為M)所組成的系統(tǒng)的勢能為.

解:用萬有引力的線積分計算？[思考][例4-6][例4-7]兩質(zhì)點的質(zhì)量均為m,開始時兩者靜止，距離為a.在萬有引力作用下,兩者距離變?yōu)閎.在此過程中,萬有引力做的功A=.解：[思考]兩者距離為b時的速率？[例4-8]質(zhì)量為m的質(zhì)點在指向圓心的力F=k/r2的作用下，作半徑為r的圓周運動，若取Ep=0，則系統(tǒng)的機械能E=.解：牛Ⅱ：于是三、由勢能函數(shù)求保守力由勢能定義有保守力與相應(yīng)勢能的關(guān)系：例如彈性勢能：一、質(zhì)點系的功能原理（動能定理的變形）質(zhì)點系的動能定理機械能二、機械能守恒定律功能原理：外力與非保守內(nèi)力做功的代數(shù)和等于質(zhì)點系機械能的增量當4.3功能原理

機械能守恒定律說明1、只有保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但它們的總和始終保持不變。2、機械能守恒定律只適用于慣性系。3、運用守恒定律解題步驟選系統(tǒng)明過程查受力審條件定狀態(tài)列方程

例4.4一雪橇從高度為50m的山頂上點A沿冰道由靜止下滑,山頂?shù)缴较碌钠碌篱L為500m.雪橇滑至山下點B后,又沿水平冰道繼續(xù)滑行,滑行若干米后停止在C處.若摩擦因數(shù)為0.050,求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(點B附近可視為連續(xù)彎曲的滑道.忽略空氣阻力)已知：h=50m，=0.050，s=500m，求：s=？解:以雪橇、冰道和地球為一系統(tǒng)，代入已知數(shù)據(jù)有由功能原理得例4.5

一半徑為的四分之一圓弧垂直固定于地面上，質(zhì)量為的小物體從最高點由靜止下滑至點處的速度為，求摩擦力所作的功。解：法二：應(yīng)用質(zhì)點動能定理求解法一：應(yīng)用功能原理求解選系統(tǒng)：物體圓軌道地球取點處為重力勢能零點，得法三：應(yīng)用牛二定律，解出摩擦力，然后由功的定義求例4.6一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P,另一端系一質(zhì)量為m的小球,小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上運動(不計摩擦)。開始小球靜止于點A,彈簧處于自然狀態(tài),其長度為圓環(huán)半徑R;當小球運動到圓環(huán)的底端點B時,小球?qū)A環(huán)沒有壓力。求彈簧的勁度系數(shù)。解：以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機械能守恒取圖中點為重力勢能零點即又所以機械能守恒在體育方面的應(yīng)用

碰撞的特點：

1、兩物體間相互作用時間很短，而碰撞前后，兩物體的運動狀態(tài)變化顯著。

2、兩物體碰撞時，相互作用的沖力很大，其它外力相對很小，可忽略不計，因此可認為總動量守恒。

碰撞

是指兩個或兩個以上的物體間的短促作用。4.4碰撞（collision）（五個小球質(zhì)量全同）一、完全彈性碰撞

（perfectlyelasticcollision）特點：系統(tǒng)的機械能（動能）完全沒有損失。兩球交換速度輕球反彈重球速度不變，輕球以兩倍于重球的速度前進。由動量守恒和機械能守恒：解得討論二、完全非彈性碰撞（perfectlyinelasticcollision）

特點：碰后兩物體以共同速度運動碰撞過程中損失的動能：由動量守恒：解得：機械能不守恒！動量守恒：碰撞定律：

碰撞后兩球的分離速度（v2-v1）與碰撞前兩球的接近速度（v10-v20）成正比。比值由兩球的質(zhì)料決定。

彈性碰撞：e=1完全非彈性碰撞：e=0非彈性碰撞：0＜e＜1定義:恢復(fù)系數(shù)三、非彈性碰撞（non-perfectlyelasticcollision）習4.1質(zhì)量為1kg的鋼球，系在長為l=0.8m的繩子的一端，繩的另一端固定。把繩拉至水平位置后將球由靜止釋放，球在最低點與質(zhì)量為5kg的鋼塊作完全彈性碰撞。求碰撞后鋼球升高的高度。解：本題分三個過程：第一過程：鋼球下落到最低點。以鋼球和地球為系統(tǒng)，機械能守恒。以鋼球在最低點為重力勢能零點：第二過程：鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動能和動量守恒：第二過程：鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動能和動量守恒：第三過程：鋼球上升。以鋼球和地球為系統(tǒng)，機械能守恒。以鋼球在最低點為重力勢能零點。解以上方程，可得代入數(shù)據(jù)，得習4.2一劈形物體質(zhì)量為m′,斜面傾角為θ,靜止于光滑的水平面上。在它的斜面上有一質(zhì)量為m的小物體，從高度h處由靜止無摩擦地下滑。問當小物體滑到水平面時，劈形物體的速度為多大？解設(shè)小物體相對于斜面的下滑速度為相對于地的速度為以兩個物體和地球為系統(tǒng)，有機械能守恒：劈形物體的速度為m′v2v′mθ(1)動量的水平分量守恒根據(jù)相對運動的速度變換公式可得由以上四式解得(2)(1)(3)(4)v′v2v1θ運動學關(guān)系：解：以m1

、m2和彈簧、地球為研究系統(tǒng)，開始時，彈簧被壓縮x0，由平衡條件得m2離開地面的條件為:系統(tǒng)機械能守恒習4.3用彈簧連接兩個木板m1、m2

，彈簧壓縮。求:給m1上加多大的壓力能使m2

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