河北省石家莊市辛集集英中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河北省石家莊市辛集集英中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知銳角α的終邊上一點P（sin40°，1+cos40°），則α等于（） A．10° B．20° C．70° D．80°參考答案：C【考點】任意角的三角函數(shù)的定義． 【分析】由題意求出PO的斜率，利用二倍角公式化簡，通過角為銳角求出角的大小即可．【解答】解：由題意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0， 點P在第一象限，OP的斜率 tanα===cot20°=tan70°， 由α為銳角，可知α為70°． 故選C． 【點評】本題考查直線的斜率公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力．2.《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，，，當陽馬體積的最大值為時，塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng).3.已知函數(shù)f（x）=，F(xiàn)（x）=f（x）﹣x﹣1，且函數(shù)F（x）有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（一∞，0] B．[1，+∞） C．（一∞，1） D．（0，+∞）參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】作出函數(shù)的圖象，x≤0，F(xiàn)（x）=ex﹣x﹣1，有一個零點0，x＞0，F(xiàn)（x）=x[x+（a﹣1）]，0是其中一個零點，利用函數(shù)F（x）有2個零點，可得1﹣a＞0，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，x≤0，F(xiàn)（x）=ex﹣x﹣1，有一個零點0，x＞0，F(xiàn)（x）=x[x+（a﹣1）]，0是其中一個零點，∵函數(shù)F（x）有2個零點，∴1﹣a＞0，∴a＜1．故選C．4.三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，則該三棱錐的外接球表面積為（）A．π B．π C．π D．π參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)已知條件得出△ABC的外接圓的半徑，利用勾股定理得出外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．【解答】解：∵AB=BC=，AC=6，∴cosC=，∴sinC=，∴△ABC的外接圓的半徑==，設(shè)三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為d，則R2=d2+（）2=（2﹣d）2+（）2，∴該三棱錐的外接球半徑為R2=，表面積為：4πR2=4π×=π，故選：D．5.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間是單調(diào)遞增的，若，，，則下列不等式中一定成立的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】定積分與微積分基本定理B13【答案解析】D

根據(jù)積分公式可知S1=x3=-=，S2=lnx=ln2，S3=ex=e2-e，

∵函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）是單調(diào)遞增，∴在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)遞減，∵e2-e＞＞ln2＞0，∴f（S3）＜f（S1）＜f（S2），故選D．【思路點撥】利用積分公式求出S1，S2，S3的大小，然后利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)即可判斷大?。?.函數(shù)的定義域為,對定義域中的任意的，都有,且當時,,那么當時,的遞減區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.計算機執(zhí)行下面的程序段后，輸出的結(jié)果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.當函數(shù)取極小值時，

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時不等式成立，若，則大小關(guān)系（）A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦的長為2，則該雙曲線的離心率等于

．參考答案：12.已知全集集合則_________參考答案：{2}13.已知，且，求的最小值.某同學(xué)做如下解答：

因為，所以┄①，┄②，

①②得，所以的最小值為24。判斷該同學(xué)解答是否正確，若不正確，請在以下空格內(nèi)填寫正確的最小值；若正確，請在以下空格內(nèi)填寫取得最小值時、的值___________.參考答案：25略14.等差數(shù)列前n項和為，已知，

，則=_______.參考答案：4028略15.已知A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當a從﹣1連續(xù)變化到1時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為

．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式．【分析】作出可行域，由直線截距的意義，結(jié)合圖象割補法可得圖形面積．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域是△AOB，（如圖）動直線x+y=a（即y=﹣x+a）在y軸上的截距從﹣1變化到1，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域是陰影部分．又△AOB是直角邊為2的等腰直角三角形，△BDE，△AGF是斜邊為1等腰直角三角形，∴區(qū)域的面積S陰影=S△AOB﹣2S△BDE=×2×2﹣2××=故答案為：．【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃，涉及平面圖形的面積，準確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．16.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上任意一點，則的最大值為

。參考答案：617.設(shè)是定義在上的函數(shù)，給定下列三個條件：（1）是偶函數(shù)；（2）的圖象關(guān)于直線對稱；（3）為的一個周期．如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個命題中真命題的個數(shù)有

個．參考答案：答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，，求和.參考答案：解：（1）由已知，根據(jù)正弦定理得，由余弦定理，得，故.因為，所以.（2）由，得，由，得，故由正弦定理得，.

19.（14分）如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，AC=.

（I）求直線B1C與平面ABB1A1所成角的大??；

（II）求二面角A—B1C—B的大小.參考答案：解析：解法一：（I）解：由直三棱柱性質(zhì)，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，∴AC⊥平面ABB1A1，∴∠CB1A為直線B1C與平面ABB1A1所成的角.由AB=BB1=1，可得AB1=.又AC=，∴tanCB1A==1.∴直線B1C與平面ABB1A1所成角的大小為45°.

…………7分

（II）解：過A做AM⊥BC，垂足為M，過M做MN⊥B1C，垂足為N，連結(jié)AN，由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC1B1，由三垂線定理，可知AN⊥B1C，∴∠ANM為二面角A—B1C—B的平面角，∴二面角A—B1C—B的大小為

…………14分解法二：

（I）解：建立如圖的空間直角坐標系A(chǔ)—xyz，由AB=B1B=1，AC=∴直線B1C與平面ABB1A1所成角的大小為45°.

…………7分

（II）解：設(shè)為平面BCC1B1的一個法向量，∴二面角A—B1C—B的大小為

…………14分20.（本小題滿分13分）如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)求證：BF∥平面ACGD；(2)求二面角D—CG—F的余弦值．參考答案：方法一：(1)設(shè)DG的中點為M，連接AM，F(xiàn)M.則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形．∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AB∥DE，……2分∵AB＝DE.∴MF∥AB，………………3分又MF＝AB，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM.……4分又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.…………6分(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則∠MNF為所求二面角的平面角．

………………8分連接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，.方法二：由題意可得，AD，DE，DG兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系．則A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(xiàn)(2,1,0)．………………2分(1)＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，………………4分∴＝，所以BF∥CG.又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.……6分(2)＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．設(shè)平面BCGF的法向量為n1＝(x，y，z)，則…………9分令y＝2，則n1＝(1,2,1)．則平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．………………11分由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角D-CG-F的余弦值為.………13分21.設(shè)橢圓的左頂點為（﹣2，0），且橢圓C與直線相切，（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點P（0，1）的動直線與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)O為坐標原點，是否存在常數(shù)λ，使得？請說明理由．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由a=2，將直線方程代入橢圓方程，由△=0，即可求得b的值，即可求得橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，可知當λ=2時，，當過點P的直線AB的斜率不存在時，直線即與y軸重合，此時，則，當λ=2時，等式成立，綜上所述，當λ=2時，．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知a=2，所以，由橢圓C與直線相切，聯(lián)立得，消去y可得：，由△=0，即，解得：b2=0（舍）或b2=3．∴橢圓的標準方程為．（2）當過點P的直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），聯(lián)立得，化簡（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，所以，所以=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1，=，=，=，∴當λ=2時，當過點P的直線AB的斜率不存在時，直線即與y軸重合，此時，