藥學(xué)高數(shù)微分方程

藥學(xué)高數(shù)微分方程1第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三實例2:質(zhì)量為m的物體從空中自由落下,物體下落距離s與時間t的函數(shù)關(guān)系.

兩端對t

積分設(shè)初速度和初始位置都是零,t=0,v=0,s=0得C1=0,C2=0,于是s=1/2·gt2據(jù)牛頓第二定律,2第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程(ordinarydifferentialequation).

未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程為偏微分方程方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù),稱為微分方程的階(order).使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解(solutionofdifferentialequation).N(t)=CektN(t)=N0ekts=1/2·gt

23第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三如果方程的解中含有任意常數(shù),且所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同,則稱為通解(generalsolution).確定任意常數(shù)的解為特解(particularsolution).定通解中常數(shù)的條件為初始條件(initialcondition)當(dāng)t=t0時N(t0)=N0,t=0,v=0,s=0

微分方程的解的圖形稱為積分曲線.一族曲線N(t)=CektN(t)=N0ekts=1/2·gt

24第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)：一階微分方程

一、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程:分離變量得:例求微分方程的通解:解:分離變量得:兩邊積分得:5第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三例9-1求微分方程的通解:解:分離變量得:簡化為6第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三解:當(dāng)y≠±1時分離變量得兩端積分,得arcsiny=x+C

y=sin(x+C)

y=±1也是方程的解,但不是特解.稱為奇解.

其圖形稱為通解所對應(yīng)的積分曲線族的包絡(luò).例9-2求微分方程的通解:2/2-/2-27第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三例9-3

求微分方程的通解解:變形得分離變量

兩邊積分得8第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三變量代換形如的微分方程稱為齊次方程:令,則y=ux

9第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三例9-4求微分方程滿足

的特解解:令,則y=ux由初始條件:C=1故特解為10第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三四、建立微分方程的幾種方法(一)直譯法例9-10放射性元素衰變符合一級速率過程(衰變速度與存留的質(zhì)量成正比).某放射性元素初始量為M0,求其衰變規(guī)律.解:設(shè)t時刻該放射性元素的量為M(t),比例系數(shù)為k(k>0),則在時刻t的消耗量為M0-M(t).11第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三分離變量鐳的質(zhì)量M關(guān)于時間t的變化規(guī)律為:當(dāng)變量關(guān)于時間的變化率與變量的量成正比時,這個變量總是按指數(shù)規(guī)律變化的.如:化學(xué)中的一級反應(yīng),早期腫瘤的生長模型,藥物的分解等(指數(shù)生長模型)積分得:12第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三例9-11一顆質(zhì)量為m的子彈以200m/s的速度打進(jìn)一塊木板,2秒鐘后以40m/s的速度穿出該木板.已知木板對子彈的阻力大小與子彈的速度平方成正比.求子彈在木板中的運動速度解:設(shè)子彈在木板中的運動速度為v(t),由牛頓第二定律13第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三由初始條件14第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三例9-12警方在上午10:30發(fā)現(xiàn)一具尸體,測得其溫度是22℃,其所在房間的溫度是12℃,一小時后警方又測了一次尸體的溫度,這時降為17℃.假設(shè)尸體所在房間的溫度不變,此人死亡時的溫度為37℃,求此人的死亡時間.解:設(shè)t時刻尸體的溫度為T(t),則由牛頓冷卻定律得分離變量得15第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三由T(1)=17,求得k=ln2由T(t0)=37,求得

死亡時間大約在上午9:11左右16第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x及y=C

17第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條