新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步4平行關(guān)系4.1直線與平面平行學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)

§4平行關(guān)系最新課標(biāo)從點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，歸納出性質(zhì)定理和判定定理，能用已獲得的結(jié)論證明直線與平面、平面與平面平行.4.1直線與平面平行[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一直線與平面平行的性質(zhì)文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與________平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α))?l∥a圖形語(yǔ)言eq\x(狀元隨筆)定理中有三個(gè)條件：①直線l和平面α平行，即l∥α；②直線l在平面β內(nèi)，即l?β；③平面α，β相交，即α∩β＝a.三個(gè)條件缺一不可．要點(diǎn)二直線與平面平行的判定文字語(yǔ)言如果________一條直線與此________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言______________eq\x(狀元隨筆)1.定理中的三個(gè)條件“l(fā)?α，a?α，l∥a”缺一不可．2．該定理告訴我們，要證明平面外的一條直線與此平面平行，關(guān)鍵是在此平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行．這是處理空間位置關(guān)系的一種常用方法，即將直線與平面的平行關(guān)系(空間問(wèn)題)轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系(平面問(wèn)題)．3．判定定理給我們提供了一種畫線面平行的方法：通常把表示直線的線段畫在表示平面的平行四邊形外，并且使它與平行四邊形內(nèi)的一條線段平行或與平行四邊形的一條邊平行．[教材答疑][教材P218思考交流](1)不正確．如(2)不正確．如(3)正確．假設(shè)α內(nèi)存在直線與直線l平行則該直線要么在平面α內(nèi)，要么和平面α平行．所以假設(shè)不成立．(4)不正確．如(5)不正確．如l與a相交或異面．如圖：(6)不正確．如l與a不平行．如圖：[基礎(chǔ)自測(cè)]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．()(2)若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.()(3)若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α.()2．下列結(jié)論正確的是()A．過(guò)直線外一點(diǎn)，與該直線平行的平面只有一個(gè)B．過(guò)直線外一點(diǎn)，與該直線平行的直線有無(wú)數(shù)條C．過(guò)平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無(wú)數(shù)條D．過(guò)兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行3．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無(wú)數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交4．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系為________．題型一線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用——師生共研例1如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，在DE上任取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求證：AP∥GF.要證AP∥GF，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，只需證AP∥平面BDE，即只需證AP與平面BDE內(nèi)的某一條直線平行.方法歸納(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理作為線線平行的依據(jù)，可以用來(lái)證明線線平行．(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過(guò)已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過(guò)程應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．簡(jiǎn)記為“過(guò)直線，作平面，得交線，得平行”．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．題型二直線與平面平行的判定——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1中位線模型要證BC1∥平面A1CD，從平面A1CD內(nèi)尋找一條直線與BC1平行．例2如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.方法歸納“要證線面平行，先證線線平行”，三角形的中位線，梯形的中位線是證明線線平行的主要工具．當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”字樣的條件時(shí)，要想到中位線，如中點(diǎn)不夠，往往需要再“找”或“作”中點(diǎn)，即“由中點(diǎn)想中位線，取中點(diǎn)連中位線”．微點(diǎn)2平行四邊形模型例3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.方法歸納使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般遵循“先找后作”的原則，即現(xiàn)有的平面中沒(méi)有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時(shí)，我們?cè)倏紤]添加輔助線．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.(2)已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ，如圖所示．求證：PQ∥平面CBE.題型三直線與平面平行判定、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用——師生共研例4如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，試判斷點(diǎn)M在何位置．方法歸納判定和性質(zhì)之間的推理關(guān)系是由線線平行?線面平行?線線平行，既體現(xiàn)了線線平行與線面平行之間的相互聯(lián)系，也體現(xiàn)了空間和平面之間的相互轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形EFGH為空間四面體A-BCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．求證：AB∥平面EFGH.易錯(cuò)辨析判斷直線與平面平行時(shí)忽略直線在平面內(nèi)的情形致誤例5已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與直線a，b都平行的平面()A．有且只有一個(gè)B．有兩個(gè)C．沒(méi)有或只有一個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)解析：過(guò)點(diǎn)M作直線a′∥a，過(guò)點(diǎn)M作直線b′∥b，則直線a′，b′確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M且與a，b都平行的平面只有一個(gè)；當(dāng)a?α或b?α?xí)r，過(guò)點(diǎn)M且與a，b都平行的平面不存在．答案：C易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得解題時(shí)易忽略a?α或b?α的情況，從而錯(cuò)選A直線與平面的位置關(guān)系的分類要清晰，一種分法是直線在平面內(nèi)與不在平面內(nèi)(包括直線與平面平行和相交)；另一種分法是直線與平面平行(無(wú)公共點(diǎn))和直線與平面不平行(直線在平面內(nèi)和直線與平面相交)§4平行關(guān)系4．1直線與平面平行新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一交線l?βα∩β＝a要點(diǎn)二平面外平面內(nèi)l?α，a?α，且l∥a?l∥α[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)×2．解析：過(guò)平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無(wú)數(shù)條，只要直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，就是直線與平面平行．答案：C3．解析：因?yàn)閍∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.答案：D4．解析：由線面平行的性質(zhì)得，AB∥CD，AB∥EF，由基本事實(shí)4得CD∥EF.答案：平行題型探究·課堂解透題型一例1證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，又E是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OE.∵AP?平面BDE，OE?平面BDE，∴AP∥平面BDE.∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，∴AP∥GF.跟蹤訓(xùn)練1證明：∵AB∥平面MNPQ，且過(guò)AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又過(guò)AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.∴四邊形MNPQ為平行四邊形．題型二例2證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則DF∥BC1.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.例3證明：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB.∵OF綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OF綊BE，∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.跟蹤訓(xùn)練2(1)證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED，ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點(diǎn)，則EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，則BE∥MO.又MO?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.(2)證明：作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖所示，即PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.題型三例4解析：過(guò)F，B，M作平面FBMN交AE于點(diǎn)N，如圖．因?yàn)锽F∥平面AA1C1C，BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN.所以四邊形BFNM是平行四邊形．所以MN＝BF＝1