導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用一、求函數(shù)的極值、最值極小值f(x1)極小值f(x3)極大值f(x2)最小值f(x3)最大值f(b)1.若函數(shù)f（x）有導(dǎo)數(shù)，它的極值可在方程（x）=0的根處來考查，求函數(shù)y=f（x）的極值方法如下：（1）求導(dǎo)數(shù)（x）；（2）求方程（x）=0的根；（3）檢查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符號(hào)，如果左負(fù)右正，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左正右負(fù)，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得極大值.2.設(shè)y=f（x）是一多項(xiàng)式函數(shù)，比較函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］內(nèi)所有的極值，以及f（a）和f（b），最大者為最大值，最小者為最小值.●知識(shí)梳理1.函數(shù)f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則

A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<2.已知f（x）=2x3－6x2+m（m為常數(shù)）在［－2，2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［－2，2］上的最小值是

A.－37 B.－29C.－5 D.以上都不對(duì)3.已知函數(shù)y=x3+ax2+bx+27在x=－1處有極大值，在x=3處有極小值，則a+b=________.4.設(shè)函數(shù)f（x）=x3－－2x+5.若對(duì)任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.AA－12m∈（－∞，）

☆激活雙基●典例剖析【例1】

（2004年天津，20）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值.（1）討論f（1）和f（－1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；（2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程.f（－1）=2是極大值，f（1）=－2是極小值切線方程為9x－y+16=0.評(píng)述：過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.【例2】設(shè)函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函數(shù)，在［0，2］上是減函數(shù)，x=2是方程f（x）=0的一個(gè)根.（1）求n的值；（2）求證：f（1）≥2.n=0評(píng)述：此題往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn).再證f（1）≥2時(shí)，首先將f（1）化成關(guān)于m的式子，知道m(xù)的范圍，便可證之.(3)若方程有三個(gè)根，它們分別為求的取值范圍.

【例3】

對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D）若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱f（x）為D上的閉函數(shù).①f（x）在D上為單調(diào)函數(shù)；②存在閉區(qū)間［a，b］D，使f（x）在［a，b］上的值域也是［a，b］.（1）求閉函數(shù)y=－x3符合上述條件的區(qū)間［a，b］；（2）若f（x）=x3－3x2－9x+4，判斷f（x）是否為閉函數(shù).評(píng)述：這類問題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，很能考查學(xué)生的分析問題、探索問題的潛在的能力.1.函數(shù)y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值為()A.11B.2C.12D.102.已知f（x）=ax5－bx3+c（a>0）在x=±1處有極值，且極大值為4，極小值為0，則a=

、b=

、c=

?！粞芯縿?chuàng)新A3523.（2005年北京西城區(qū)模擬題）如果函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（－3，－）內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（－，3）內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（4，5）內(nèi)單調(diào)遞增；④當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）有極小值；⑤當(dāng)x=－時(shí)，函數(shù)y=f（x）有極大值.則上述判斷中正確的是________.③

4．已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)。（I）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（II）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。二、函數(shù)的單調(diào)性2yx0.......觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：總結(jié):該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù),在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導(dǎo)數(shù)為正.而當(dāng)x=2時(shí)其切線斜率為0,即導(dǎo)數(shù)為0.函數(shù)在該點(diǎn)單調(diào)性發(fā)生改變.1．一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).

(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).2．由定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：

(1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間的任意兩個(gè)值，且x1<x2.

(2)作差f(x1)－f(x2)，并變形.

(3)判斷差的符號(hào)，從而得函數(shù)的單調(diào)性.根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性一般需兩步：

1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.解不等式f′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間;

解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.如：討論函數(shù)y=的單調(diào)性.2x-x2解:函數(shù)的定義域?yàn)?0,2).y′=,解不等式y(tǒng)′>0得:0<x<1,則函數(shù)的單增區(qū)間為(0,1).解不等式y(tǒng)′<0得:1<x<2,則函數(shù)的單減區(qū)間為(1,2).

2x-x21-x☆激活雙基1.函數(shù)y=x2（x－3）的減區(qū)間是()A.（－∞，0）B.（2，+∞）

C.（0，2）D.（－2，2）2.函數(shù)f（x）=ax2－b在（－∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，則a、b應(yīng)滿足()A.a<0且b=0B.a>0且b∈R

C.a<0且b≠0D.a<0且b∈R3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，則f［g（x）］()A.在（－2，0）上遞增B.在（0，2）上遞增C.在（－，0）上遞增D.在（0，）上遞增CBC4.在（a，b）內(nèi)（x）>0是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增的________條件.5.若函數(shù)y=－x3+bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是________充分b>0【例1】

設(shè)f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1處有極小值－1，試求a、b的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間.剖析：由已知x=1處有極小值－1，點(diǎn)（1，－1）在函數(shù)f（x）上，得方程組解之可得a、b.答：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－）和（1，+∞），減區(qū)間為（－，1）.評(píng)：極值點(diǎn)、最值點(diǎn)這些是原函數(shù)圖象上常用的點(diǎn).【例2】

已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.剖析：在R上為減函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在R上恒負(fù)答：a≤－3評(píng)：f（x）在R上為減函數(shù)（x）≤0（x∈R）

【例3】

若函數(shù)y=x3－ax2+（a－1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

剖析：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力【例4】已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)設(shè)φ(x)=g(x)－λf(x),試問：是否存在實(shí)數(shù)λ,使φ(x)在(－∞,－1)內(nèi)為減函數(shù)，且在

(－1，0)內(nèi)是增函數(shù).解：(1)由題意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ)若滿足條件的λ存在，則φ′(x)=4x3+2(2－λ)x∵函數(shù)φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＜－1時(shí)，φ′(x)＜0故當(dāng)λ=4時(shí)，φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)，在(－1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的λ存在.即4x3+2(2－λ)x＜0對(duì)于x∈(－∞,－1)恒成立∴2(2－λ)＞－4x2,∵x＜－1,∴－4x2＜－4∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4又函數(shù)φ(x)在(－1,0)上是增函數(shù)∴當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，φ′(x)＞0即4x2+2(2－λ)x＞0對(duì)于x∈(－1,0)恒成立∴2(2－λ)＜－4x2,∵－1＜x＜0,∴－4＜4x2＜0∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥41.下列各式正確的是()A.x－＞sinx

（x＞0）B.sinx＜x

（x＞0）

x＞sinx(0＜x＜)D.以上各式都不對(duì)2.函數(shù)f（x）=sin（3x－）在點(diǎn)（,）處的切線方程是()A.3x+2y+－=0B.3x－2y+－=0C.3x－2y－－=0D.3x+2y－－=03.已知函數(shù)y=ax3－15x2＋36x－24在x=3處有極值,則函數(shù)的遞減區(qū)間為()A.(－∞,1),(5,＋∞)B.(1,5)C.(2,3) D.(－∞,2),(3,＋∞)●創(chuàng)新研究BBC4.已知x∈R,求證：ex≥x+1.●創(chuàng)新研究5.已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x++2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.6.已知a、b為實(shí)數(shù)，且b＞a＞e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：ab＞ba.證法一：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,設(shè)f(b)=blna－alnb(b＞e),則f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴l(xiāng)na＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函數(shù)f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函數(shù)，

∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna＞alnb,∴ab＞ba.

設(shè)f(x)=(x＞e)，則f′(x)=＜0又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.證法二：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,7.已知一物體做圓周運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后t分鐘內(nèi)走過的路程，最初用5分鐘走完第一圈，接下去用3分鐘走完第二圈.（1）試問該物體走完第三圈用了多長時(shí)間？（結(jié)果可用無理數(shù)表示）（2）試問從第幾圈開始，走完一圈的時(shí)間不超過1分鐘？解：（1）設(shè)圓周長為l，

依題意有

設(shè)出發(fā)t分鐘后走完第三圈，

上式代入，得

所以走完第三圈需用時(shí)間為（2）設(shè)出發(fā)t分鐘后走完第x圈，

解得

依題意應(yīng)有當(dāng)時(shí),不等式成立,所以，從第16圈開始，走一圈所用時(shí)間不超過1分鐘.8.在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。拷夥ㄒ唬焊鶕?jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm,則∵BD=40