函數(shù)依賴公理體系

第2講函數(shù)依賴的公理體系第5章關系數(shù)據(jù)庫模式設計主要內(nèi)容阿姆斯特朗公理及推論X關于F的閉包及其計算最小函數(shù)依賴集候選鍵的求解方法一、阿姆斯特朗公理及推論是一系列推理規(guī)那么最早出現(xiàn)在1974年的論文里他人與1977年提出改進形式F=X→YF+侯選鍵X→Y在R中是否成立能從F導出的所有X→Y推導工具？問題引入：1、阿姆斯特朗公理設有關系模式R(U,F)，U={A1,A2,…,An}是R的屬性集，F(xiàn)是R的屬性集U上的FD集，X、Y、Z、W是U的子集。阿姆斯特朗公理為：A1自反律：假設YX，那么XYA2增廣律：假設XY，那么XZYZA3傳遞律：假設XY,YZ，那么XZArmstrong公理是正確的。方法：從函數(shù)依賴的定義出發(fā)A1自反律：假設YX，那么XY證：設u、v為r的任意兩個元組。假設u[X]=v[X]，那么u和v在X的任何子集上必然相等。由條件YX，所以有：u[Y]=v[Y]，由u、v的任意性，并根據(jù)函數(shù)依賴的定義，可得XY。2、定理5.13、阿姆斯特朗公理的推論合并規(guī)那么：假設XY且XZ，那么XYZ分解規(guī)那么：假設XY，且ZY，那么XZ偽傳遞規(guī)那么：假設XY且WYZ，那么WXZ增廣律傳遞律證：XYWX→ZWX→WYWY→Z作用：將一個FD分解成假設干個右邊是單屬性的FD。用于確定關系的主鍵。4、定理5.2如果Ai(i=1,…,n)是關系模式R的屬性,那么XA1A2…An成立的充分必要條件是XAi(i=1,…,n)均成立。二、X關于F的閉包及其計算例：關系模式R(A,B,C)，其函數(shù)依賴集為F={A→B，B→C}，求函數(shù)依賴集F的閉包F+。F+=A→，AB→

，AC→

，ABC→

，B→

，C→A→A，AB→A，AC→A，ABC→A，B→B，C→CA→B，AB→B，AC→B，ABC→B，B→C，A→C，AB→C，AC→C，ABC→C，B→BC，A→AB，AB→AB，AC→AB，ABC→AB，BC→

，A→AC，AB→AC，AC→AC，ABC→AC，BC→B，A→BC，AB→BC，AC→BC，ABC→BC，BC→C，A→ABC，AB→ABC，AC→ABC，ABC→ABC，BC→BC，1、X關于F的閉包設有關系模式R(U,F)和屬性集U={A1,A2,…,An}的子集X。那么稱所有用阿姆斯特朗公理從F推導出的函數(shù)依賴X→Ai的屬性Ai組成的集合稱為X關于F的閉包，記為XF+，通常簡記為X+。即XF+={Ai|用公理從F推出的X→Ai}集合元素對比F+和X+設有關系模式R(U，F(xiàn))，U={A1,A2,…,An}是R的屬性集，F(xiàn)是R的屬性集U上的函數(shù)依賴集，X、Y是U的子集，那么XY能用Armstrong公理從F導出YX＋。該定理把判定XY是否能由F根據(jù)Armstrong公理導出的問題求出X＋，判定Y是否為X＋的子集的問題。2、定理5.3算法5.1

求屬性集X關于函數(shù)依賴集F的閉包X＋輸入：關系模式R的全部屬性集U,U上的函數(shù)依賴集F，U的子集X。輸出：X關于F的閉包X＋。計算方法：3、X關于F的閉包X＋的計算〔1〕X(0)=X?！?〕從F中找出滿足條件VX(i)的所有函數(shù)依賴V→W，并把所有的V→W中的屬性W組成的集合記為Z；也即從F中找出那些其決定因素是X(i)的子集的函數(shù)依賴，并把由所有這樣的依賴的被決定因素組成的集合記為Z?！?〕假設ZX(i)，那么轉〔5〕。〔4〕否那么，X(i+1)=X(i)Z，并轉〔2〕?！?〕停止計算，輸出X(i)，即為X+。3、X關于F的閉包X＋的計算〔續(xù)〕例5.4R(U),U={A,B,C,D,E,G}，R上的FD集F={AB→C,C→A,BC→D,ACD→B，D→EG,BE→C,CG→BD,CE→AG}，X=BD，求X＋，BD→A是否成立？(1)X〔0〕=BD。(2)X〔1〕=BDEG(3)X〔2〕=BCDEG(4)X〔3〕=ABCDEGX＋=ABCDEGA∈BD＋，故BD→A成立4、舉例Z=EGBD=X(0)一個函數(shù)依賴集F的閉包F＋通常包含很多函數(shù)依賴，有些函數(shù)依賴是無意義的，如平凡的函數(shù)依賴，還有一些是可以推導出的，即無關的函數(shù)依賴。如果將每一個函數(shù)依賴看作是對關系的一個約束，要檢查F＋中的每一個函數(shù)依賴對應的約束，顯然是一件很繁重的任務。如果能找出一個與F等價的、包含較少數(shù)目函數(shù)依賴的函數(shù)依賴集G，那么可以簡化此工作。最小函數(shù)依賴集的概念由此而提出。三、最小函數(shù)依賴集定義5.5設F和G是兩個函數(shù)依賴集，如果F＋＝G＋，那么稱F和G等價。如果F和G等價，那么稱F覆蓋G，同時也稱G覆蓋F。1、函數(shù)依賴集的等價與覆蓋定理5.7F＋＝G＋的充要條件是FG＋和GF＋。F＋=G＋FG＋X→Y所有FG＋定理GF＋X→Y能否由G根據(jù)公理導出？YXG+

？作用：任一函數(shù)依賴集都可轉化成由右端只有單一屬性的依賴組成的集合。該結論是最小函數(shù)依賴集的根底。推論每一個函數(shù)依賴集F都被其右端只有一個屬性的函數(shù)依賴組成的依賴集G所覆蓋。滿足以下條件的函數(shù)依賴集F稱為最小函數(shù)依賴集。①F中每一個FD的右端都是單個屬性；②對F中任何FD:XA，F(xiàn)-{XA}不等價于F；③對F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，(F-{XA})∪{ZA}不等價于F。2、最小函數(shù)依賴集F沒有多余的FD每個FD左端無多余的屬性求解方法〔1〕用分解規(guī)那么將F中的所有函數(shù)依賴分解成右端為單個屬性的函數(shù)依賴；Armstrong公理的推論分解規(guī)那么：假設XY，且ZY，那么XZ求解方法〔續(xù)一〕〔2〕去掉F中冗余的函數(shù)依賴對于F中任一FD：XY①G=F-{XY}；②求X關于G的閉包XG+；③看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，那么在G中邏輯蘊涵XY，說明XY是多余的函數(shù)依賴，所以F=G；如果X+不包含Y，那么保存XY。求解方法〔續(xù)二〕〔3〕去掉左端多余的屬性對于F中左端是非單屬性的函數(shù)依賴〔XYA〕，假設要判斷Y是否是多余的屬性①G=(F-{XYA})∪{XA}；②求X關于F的閉包XF+；③如果A不屬于XF+，那么XA不在F+中，說明Y不是多余的屬性，接著判別X是否是多余的屬性；如果A屬于XF+，那么說明Y是多余的屬性，F(xiàn)=G。ABC，CA，BCD，ACDB，DEG，BEC，CGBD，CEAGF=ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGB，CGD，CEA,CEG①F1=例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集法1：3、舉例②F21=ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGB，CGD，CEA,CEG①F1=ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEA,CEG3、舉例〔續(xù)一〕例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集②F22=ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGD，CEA,CEG②F21=ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG3、舉例〔續(xù)二〕例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG②F22=③F3=ABC，CA，BCD，CDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG3、舉例〔續(xù)三〕例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集②F21=ABC，CA，BCD，DE，DG，BEC，CGB，CEGABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGBCGD，CEA,CEG①F1=3、舉例〔續(xù)四〕例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集法2：四、候選鍵的求解方法1、屬性分類對于給定的關系R〔U〕和函數(shù)依賴集F，可將其屬性分為4類：①L類：僅出現(xiàn)在F的函數(shù)依賴左部的屬性；②R類：僅出現(xiàn)在F的函數(shù)依賴右部的屬性；③N類：在F的FD左右兩邊均未出現(xiàn)的屬性；④LR類：在F的FD左右兩邊均出現(xiàn)的屬性。四、候選鍵的求解方法2、快速求解候選鍵的一個充分條件〔1〕假設X是L類屬性，那么X必為R的某一候選鍵的成員；〔2〕假設X是L類屬性，且X＋包含了R的全部屬性，那么X必為R的唯一候選鍵；〔3〕假設X是R類屬性，那么X不是任一候選鍵的成員；〔4〕假設X是N類屬性，那么X必包含在R的某一候選鍵中；〔5〕假設X是R的N類屬性和L類屬性組成的屬性集，且X＋包含了R的全部屬性，那么X是R的唯一候選鍵。四、候選鍵的求解方法3、候選鍵的一般求解方法①將所有屬性分為L、R、N和LR四類，并令X代表L和N類，Y代表LR類；②求XF+：假設XF+包含了R的全部屬性，那么X是R的唯一候選鍵，轉⑧；③在Y中取一屬性A，并求(XA)F+：假設(XA)F+包含了R的全部屬性，那么XA為的一個候選鍵；④重復③，直到Y中的屬性依次取完為止；⑤從Y中除去所有已成為主屬性的屬性A；四、候選鍵的求解方法3、候選鍵的一般求解法⑥在剩余的屬性中依次取兩個屬性、三個屬性，…，將其記為集合B，并求(XB)F+：假設(XB)F+包含了R的全部屬性，且自身不包含已求出的候選鍵，那么XB為R的一個候選鍵；⑦重復⑥，直到Y中的屬性按⑥的組合依次取完為止；⑧輸出候選鍵，算法結束。R的候選鍵：A、E、BC和CD四、候選鍵