什么是誤差理論

什么是誤差理論1第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六主要內(nèi)容1測量誤差和不確定度估算的基礎(chǔ)知識2實驗數(shù)據(jù)有效位數(shù)的確定3作圖法處理實驗數(shù)據(jù)4數(shù)據(jù)的直線擬合（最小二乘法處理實驗數(shù)據(jù)）2第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六一、基本概念

測量物理實驗以測量為基礎(chǔ)：所謂測量就是借助儀器用某一計量單位把待測量的大小表示出來。即待測量是該計量單位的多少倍。完整的測量結(jié)果應(yīng)表示為：(單位)

以電阻測量為例

包括：測量對象測量對象的量值

測量的不確定度測量值的單位（X

=x

x表示被測對象的真值落在（x

x，x

x）范圍內(nèi)的概率很大，x的取值與一定的概率相聯(lián)系。）3第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六測量的分類直接測量和間接測量（按測量方法分）

直接測量就是把待測量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比較得出結(jié)果；

間接測量指利用直接測量的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系經(jīng)過計算從而得到被測量值的測量。等精度測量與不等精度測量（按測量條件分）

等精度測量是指在同一條件下進行的多次測量，每次測量的可靠程度相同；

不等精度測量是指在非同一條件下進行的多次測量，每次測量的可靠程度不相同。4第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六測量的要素測量對象測量手段（儀器、方法）測量結(jié)果測量單位測量條件5第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六測量誤差及其分類

誤差Δx＝測量結(jié)果x

－真值x0誤差特性：普遍性、誤差是小量由于真值的不可知，誤差實際上很難計算（有時可以用準(zhǔn)確度較高的結(jié)果作為約定真值來計算誤差）誤差的表示方法：－絕對誤差Δx

－相對誤差誤差分類－系統(tǒng)誤差 －隨機誤差6第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下多次測量同一物理量時，其誤差的大小和符號保持不變，或按某一確定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。主要來源：儀器誤差、方法（理論）誤差、環(huán)境誤差、人員誤差等分類及處理方法：

①已定系統(tǒng)誤差：必須修正電表、螺旋測微計的零位誤差；伏安法測電阻電流表內(nèi)接、外接由于忽略表內(nèi)阻引起的誤差。②未定系統(tǒng)誤差：要估計出分布范圍

（大致與B類不確定度SB

相當(dāng)）如：螺旋測微計制造時的螺紋公差等7第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六隨機誤差定義：消除或修正了一切明顯的系統(tǒng)誤差后，在相同條件下對同一物理量進行多次測量時，每次測量值的隨機漲落稱為隨機誤差。產(chǎn)生原因：實驗條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化，引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化。例如：電表軸承的摩擦力變動、環(huán)境因素的波動、操作讀數(shù)時的視差影響。特點：①小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大；②多次測量時分布對稱，具有抵償性——因此取多次測量的平 均值有利于消減隨機誤差。8第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)誤差與隨機誤差的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：產(chǎn)生的原因不同、誤差的性質(zhì)和處理的方法不同。前者是非統(tǒng)計量，處理方法針對具體的實驗情況來確定；后者是隨機量，在處理上有一套完整的統(tǒng)計方法。共同之處：系統(tǒng)誤差與隨機誤差都是測量誤差的一個分量9第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六精密度、準(zhǔn)確度、精確度精密度高：指隨機誤差小，測量的數(shù)據(jù)很集中。準(zhǔn)確度高：指系統(tǒng)誤差小，測量的平均值偏離真值小。精確度高：指隨機誤差和系統(tǒng)誤差都非常小，才能說測量的精確度高。10第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六隨機誤差的處理假定對一個量進行了n次測量，測得的值為xi(i=1,2，…，n)，可以用多次測量的算術(shù)平均值作為被測量的最佳估計值(假定無系統(tǒng)誤差)

用標(biāo)準(zhǔn)偏差

σx

表示測得值的分散性σx按貝塞耳公式求出：

σx大，表示測得值很分散，隨機誤差分布范圍寬，測量的精密度低；

σx小，表示測得值很密集，隨機誤差分布范圍窄，測量的精密度高；

σx可由帶統(tǒng)計功能的計算器直接求出。11第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六隨機誤差的處理舉例例：用50分度的游標(biāo)卡尺測某一圓棒長度L，6次測量 結(jié)果如下（單位mm）： 120.08,120.14,120.06,120.10,120.06,120.10則：測得值的最佳估計值為測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差12第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六測量誤差與不確定度不確定度的權(quán)威文件是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)、國際計量局(BIPM)等七個國際組織1993年聯(lián)合推出的GuidetotheexpressionofUncertaintyinmeasurement

不確定度表示由于測量誤差存在而對被測量值不能確定的程度。不確定度是一定概率下的誤差限值。不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即隨機誤差分量和未定系統(tǒng)誤差的聯(lián)合分布范圍。由于真值的不可知，誤差一般是不能計算的，它可正、可負也可能十分接近零；而不確定度總是不為零的正值，是可以具體評定的。13第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六隨機變量的分布

正態(tài)分布：大量相對獨立微小因素共同作用下得到的隨機變量服從正態(tài)分布。物理實驗中多次獨立測量得到的數(shù)據(jù)一般可以近似看作服從正態(tài)分布。

μ表示x出現(xiàn)概率最大的值，消除系統(tǒng)誤差后，通常就可以得到x的真值。σ稱為標(biāo)準(zhǔn)差，是曲線的拐點ξ表示隨機變量x在〔x1，x2〕區(qū)間出現(xiàn)的概率，稱為置信概率。

實際測量的任務(wù)是通過測量數(shù)據(jù)求得μ和σ的值。

P(x)xσ小σ大14第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六隨機變量的分布實際測量次數(shù)有限，可用n次測量值的來估算μ、σ:可以證明平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是單次測量的sx值的倍此時可用來表示實驗結(jié)果但是由于測量次數(shù)n小，測量值的平均值將不符合正態(tài)分布，而是符合t分布（t分布從的性質(zhì)得到一種分布。其中自由度ν=n－1。n小時，t分布偏離正態(tài)分布較多。n大時趨于正態(tài)分布）。此時，的置信概率不是0.683，需乘以與置信水平ξ、自由度ν有關(guān)系數(shù)，得到置信水平為ξ的結(jié)果：的值可查表15第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六二、直接測量量不確定度的估算總不確定度分為兩類不確定度：

A類分量SA——多次重復(fù)測量時用統(tǒng)計學(xué)方法估算的分量；

B類分量SB——用其他方法（非統(tǒng)計學(xué)方法）評定的分量。這兩類分量在相同置信概率下用方和根方法合成總不確定度：（物理實驗教學(xué)中一般用的總不確定度，置信概率取為95%）16第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六二、直接測量量不確定度的估算簡化處理方法：－A類分量SA的估算：

實驗中用到的，列表如下

當(dāng)5＜n≤10時，可簡化認(rèn)為SA=Sx（置信概率95%）－B類分量SB=儀

,認(rèn)為SB主要由儀器的誤差特點來決定

－不確定度合成：17第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六二、直接測量量不確定度的估算結(jié)果表示：－以測量列x的平均值再修正掉已定系統(tǒng)誤差項Δ0得到被測對象的量值。－由A、B類不確定度合成總不確定度則：18第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六關(guān)于儀器誤差限△ins一般取基本誤差限或示值誤差限（儀器誤差限）電表△ins=k%·量程電阻箱△R=a%·R+nRba----電阻箱的級別

R----取用的電阻值

n-----所用的旋鈕個數(shù)

Rb---常數(shù)，對于0.1級電阻箱,Rb=0.001Ω大多數(shù)情況下把△ins簡化為（許多儀器誤差的成因分析和各分量限值的計算相當(dāng)復(fù)雜）非隨機分量的B類不確定度SB19第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六關(guān)于單次測量儀器精度較低，隨機誤差小，多次測量相同對測量結(jié)果的準(zhǔn)確度要求不高因條件的限制，不可能進行多次測量不確定度用極限誤差表示：1、取儀器的允差2、根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)、測量對象、環(huán)境條件、測量者感官靈敏度估計一個極限誤差。（二者取一便可）20第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六直接測量量不確定度估算過程（小結(jié)）求測量數(shù)據(jù)列的平均值修正已定系統(tǒng)誤差

，得出被測量值x用貝塞耳公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差sx

標(biāo)準(zhǔn)偏差sx

乘以因子來求得SA

當(dāng)5＜n≤10，置信概率為95%時，可簡化認(rèn)為SA

Sx

21第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六直接測量量不確定度估算過程（小結(jié)）根據(jù)使用儀器得出SB

:SB=儀由SA、SB合成總不確定度S

給出直接測量的最后結(jié)果：（單位）22第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六直接測量量不確定度估算舉例例：用螺旋測微計測某一鋼絲的直徑，6次測量值Di分別為：0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250;同時讀得螺旋測微計的零位x0為：0.004,單位mm，已知螺旋測微計的儀器誤差為Δ儀=0.004mm，請給出完整的測量結(jié)果。解：測得值的最佳估計值為

測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差

測量次數(shù)n=6，可近似有

則：測量結(jié)果為

D=0.246±0.005mm23第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六三、間接測量量的不確定度合成

實用公式24第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六間接測量量的不確定度合成過程1.先寫出（或求出）各直接測量量xi的不確定度2.依據(jù)關(guān)系求出或3.用或求出或4.完整表示出Y的值（單位）25第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六間接測量量的不確定度合成舉例例：已知金屬環(huán)的外徑

內(nèi)徑高度

求環(huán)的體積V和不確定度SV。解：求環(huán)體積

求偏導(dǎo)合成求SV

結(jié)果V=9.44±0.08cm3

26第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六

在實驗中我們所得的測量結(jié)果都是可能含有誤差的數(shù)值，對這些數(shù)值不能任意取舍，應(yīng)反映出測量值的精確度。所以在記錄數(shù)據(jù)、計算以及書寫測量結(jié)果時，應(yīng)根據(jù)測量誤差或?qū)嶒灲Y(jié)果的不確定度來定出究竟應(yīng)取幾位有效數(shù)字。四、實驗數(shù)據(jù)有效位數(shù)的確定27第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六1.直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度游標(biāo)類器具（游標(biāo)卡尺、分光計度盤、大氣壓計等）一般讀至游標(biāo)最小分度的整數(shù)倍，即不需估讀。28第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六1.直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度數(shù)顯儀表及有十進步式標(biāo)度盤的儀表（電阻箱、電橋、電位差計、數(shù)字電壓表等）一般應(yīng)直接讀取儀表的示值。29第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六1.直接測量量（原始數(shù)據(jù)）的讀數(shù)應(yīng)反映儀器的準(zhǔn)確度指針式儀表及其它器具，讀數(shù)時估讀到儀器最小分度的1/2～1/10，或使估讀間隔不大于儀器基本誤差限的1/5～1/3。30第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六直接讀數(shù)注意事項注意指針指在整刻度線上時讀數(shù)的有效位數(shù)。31第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六2.中間運算結(jié)果的有效位數(shù)用計算器或計算機進行計算時中間結(jié)果可不作修約或適當(dāng)多取幾位（不能任意減少）。加減運算的結(jié)果末位以參與運算的末位最高的數(shù)為準(zhǔn)

(假設(shè)參與運算的數(shù)全是測量結(jié)果)。如11.4+2.56=14.0

75-10.356=65乘除運算結(jié)果的有效位數(shù)，可比參與運算的有效位數(shù)最少的數(shù)多取一位(假設(shè)參與運算的數(shù)全是測量結(jié)果)。如4000×9=3.6×1042.000÷0.99=2.0032第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六3.測量結(jié)果表達式中的有效位數(shù)總不確定度S的有效位數(shù)，取1～2位首位大于2時，一般取1位首位為1、2時，一般取2位例：估算結(jié)果S=0.548mm時，取為S=0.6mmS=1.37時，取為S=1.433第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六3.測量結(jié)果表達式中的有效位數(shù)被測量值有效位數(shù)的確定

Y＝y(tǒng)±S中，被測量值y的末位要與不確定度S的末位對齊（求出y后先多保留幾位，求出S，由S決定y的末位）例：環(huán)的體積不確定度分析結(jié)果最終結(jié)果為：V=9.44±0.08cm3即：不確定度末位在小數(shù)點后第二位，測量結(jié)果的最后一位也取到小數(shù)點后第二位。34第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六

作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標(biāo)紙作圖。1.選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能基本反映測量值的準(zhǔn)確度或精密度。根據(jù)表１數(shù)據(jù)U軸可選1mm對應(yīng)于0.10V，I軸可選1mm對應(yīng)于0.20mA，并可定坐標(biāo)紙的大?。源笥谧鴺?biāo)范圍、數(shù)據(jù)范圍）約為130mm×130mm。作圖步驟：實驗數(shù)據(jù)列表如下.

表1：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)五、數(shù)據(jù)處理方法作圖法處理實驗數(shù)據(jù)35第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六2.標(biāo)明坐標(biāo)軸：

用粗實線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號、單位,再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.連成圖線：

用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。一般不強求直線或曲線通過每個實驗點，應(yīng)使圖線線正穿過實驗點時可以在兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點處斷開。3.標(biāo)實驗點：實驗點可用“”、“”、“”等符號標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號）。36第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六5.標(biāo)出圖線特征：在圖上空白位置標(biāo)明實驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測電阻R大小：從所繪直線上讀取兩點A、B的坐標(biāo)就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線6.標(biāo)出圖名：

在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：至此一張圖才算完成37第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六不當(dāng)圖例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。38第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：39第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標(biāo)分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。40第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：41第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六定容氣體壓強～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)。實際作圖時，坐標(biāo)原點的讀數(shù)可以不從零開始。42第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六定容氣體壓強～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：43第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六用逐差法處理數(shù)據(jù)一次逐差.二次逐差.三次逐差。用逐差法處理數(shù)據(jù)的兩個條件1)函數(shù)可以寫成x的多項式形式,即y=a0+a1xy=a0+a1x+a2x2,y=a0+a1x+a2x2+a3x3.2)自變量x是等間距變化的

逐差法處理數(shù)據(jù)

44第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六逐差法在物理實驗中的應(yīng)用

驗證多項式.a）當(dāng)y=a0+a1x測得xi，yi（i=1，2，……………n）一次逐差有yi－yi-1=a1x則函數(shù)是線性函數(shù)

b）當(dāng)y=a0+a1x+a2x2測得xi，yi（i=1，2，……………n）二次逐差結(jié)果是恒量則：函數(shù)是y=a0+a1x+a2x2型函數(shù)

c）當(dāng)y=a0+a1x+a2x2+a3x3測得xi，yi（i=1，2，……………n）

三次逐差結(jié)果是恒量則：函數(shù)是y=a0+a1x+a2x2+a3x3型函數(shù)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差或?qū)嶒灁?shù)據(jù)的某些變化規(guī)律求物理量的數(shù)值45第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)據(jù)的直線擬合(最小二乘法)用最小二乘法進行直線擬合優(yōu)于作圖法。最小二乘法的理論基礎(chǔ)、最佳經(jīng)驗公式y(tǒng)=a+bx中a、b的求解

:

通過實驗，等精度地測得一組互相獨立的實驗數(shù)據(jù)xi，yi（i=1，2…n），設(shè)此兩物理量x、y滿足線性關(guān)系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)在yi上，設(shè)擬合直線公式為y=f(x)=a+bx，當(dāng)所測各yi值與擬合直線上各估計值f(xi)=a+bxi之間偏差的平方和最小，即時，所得擬合公式即為最佳經(jīng)驗公式。據(jù)此有解得46第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)據(jù)的直線擬合(最小二乘法)相關(guān)系數(shù)r：

最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出a、b外，還應(yīng)給出相關(guān)系數(shù)r，r定義為

r表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性的符合程度，r[-1，1]。|r|1，x、y間線性關(guān)系好，|r|0，x、y間無線性關(guān)系，擬合無意義。

物理實驗中一般要求r絕對值達到0.999以上(3個9以上)。其中47第四十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)據(jù)的直線擬合