2023學年完整公開課版平面

8.4.1

平面課標闡釋思維脈絡1.了解平面的概念,會用圖形與字母表示平面.(數(shù)學抽象)2.能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關系.(數(shù)學抽象)3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實(基本事實也稱公理)及其推論.(邏輯推理、直觀想象)4.理解三個基本事實及推論的地位和作用.(邏輯推理)激趣誘思知識點撥在數(shù)學語言的研究中,通常按數(shù)學語言所使用的主要詞匯,將數(shù)學語言分為三種:文字語言、符號語言、圖形語言.例如“點A在直線l上”是利用文字來描述,以語言的形式表達出來的,因而稱其為該定理的文字語言;“A∈l”是用符號的形式將定理表達出來,因而稱其為符號語言;如果我們以圖例或實物來表示定理的條件和結論,則稱其為該定理的圖形語言.通過文字語言以優(yōu)美通暢的文字描述數(shù)學問題,言簡意賅,寓意深刻;通過符號語言表達數(shù)學問題,簡明扼要,國際通行;通過圖形語言表達數(shù)學問題,形象生動,記憶深刻.幾種語言各有特點,在學習立體幾何時,應充分發(fā)揮不同語言的教育功能.激趣誘思知識點撥知識點一、平面

平面的描述性概念幾何里所說的“平面”,就是從生活中一些物體中抽象出來的.平面是向四周無限延展的畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成橫向豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成豎向激趣誘思知識點撥記法(1)用希臘字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱,如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱,如平面AC,平面BD名師點析

平面的概念可從以下三個方面理解(1)“平面”是平的;(2)“平面”無厚度;(3)“平面”可以向四周無限延展.激趣誘思知識點撥微練習判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)平面的形狀是平行四邊形;(2)任何一個平面圖形都是一個平面;(3)兩個平面相交的畫法中,一個平面被另一個平面遮住時,被遮部分的線段應畫成虛線或不畫;(4)三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面.解:(1)不正確.平面常用平行四邊形表示,但不是平行四邊形,平面是無限延展的.(2)不正確.平面圖形與平面是兩個不同的概念,平面圖形具有大小、面積等屬性,而平面則沒有,平面是無限延展的,不可度量的.(3)正確.符合直觀圖畫法的規(guī)則.(4)正確.三角形、圓、平行四邊形都是平面圖形,都可以表示平面.激趣誘思知識點撥知識點二、點、直線、平面之間的位置關系

激趣誘思知識點撥知識點三、平面的基本性質1.平面的基本性質激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥2.三個推論

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明點、線共面例1證明:兩兩相交且不過同一點的三條直線共面.已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內.分析先由l1與l2確定一個平面,再證明l3在這個平面內.也可以證明l1,l2確定的平面α與l2,l3確定的平面β重合.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:方法一(納入平面法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α.∴直線l1,l2,l3在同一平面內.方法二(輔助平面法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1,l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個點A,B,C既在平面α內,又在平面β內.∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

證明點、線共面問題常用方法有:(1)先由部分點、線確定一個面,再證其余的點、線都在這個平面內,即用“納入平面法”;(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α,其余點、線確定另一個平面β,再證平面α與β重合,即用“輔助平面法”;(3)假設不共面,結合題設推出矛盾,用“反證法”.注意:在遇到文字敘述的結論時,一定要先根據(jù)題意畫出圖形,結合圖形寫出已知與求證,再證明.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

(1)如果把本例中的“不過同一點”刪掉,那么這三條直線是否共面?(2)如果把本例中“三條直線”改為“四條直線”,那么這四條直線是否共面?試證明你的結論.解:(1)不一定共面.①若三條直線兩兩相交,且過同一個點.這三條直線在同一個平面內相交,如圖.這三條直線不共面.如圖.②若三條直線兩兩相交,且不過同一個點,由【例1】可知,這三條直線共面.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(2)共面.已知:a,b,c,d四條直線兩兩相交,且不共點.求證:a,b,c,d四線共面.證明:①無三線共點情況,如圖.設a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因為a∩d=M,所以a,d可確定一個平面α.因為N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ?α,即b?α.同理,c?α,所以a,b,c,d共面.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測②有三線共點的情況,如圖.設b,c,d三線相交于點K,與a分別交于N,P,M且K?a,因為K?a,所以K和a確定一個平面,設為β.因為N∈a,a?β,所以N∈β.所以NK?β,即b?β.同理,c?β,d?β.所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明點共線例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點共線.分析證明P,Q,R三點既在平面ABC內,也在平面α內,即得P,Q,R共線.也可以證明點Q既在平面APR內,也在平面α內,即點Q在平面APR與平面α的交線PR上.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知點P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上,∴P,Q,R三點共線.(方法二)∵AP∩AR=A,∴直線AP與直線AR確定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三點共線.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

點共線:證明多點共線通常利用基本事實3,即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點分別在兩個平面內,證明點在相交平面的交線上;也可先選擇其中兩點確定一條直線,再證明其他點也在其上.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設A1C∩平面ABC1D1=E.則B,E,D1三點的關系為

.(填“共線”或“不共線”)

解析:如圖所示,連接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C?平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三點共線.答案:共線探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明線共點例3如圖所示,三個平面α,β,γ兩兩相交于不同的直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行,求證:a,b,c三條直線必過同一點.分析由a,b都在平面γ內且不平行,得a,b相交,再證明交點在c上,即證明交點在以c為交線的兩個平面α,β內.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ.∵直線a和b不平行,∴a,b必相交.

如圖所示,設a∩b=P,則P∈a,P∈b.∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交線c經(jīng)過點P.∴a,b,c三條直線必過同一點.反思感悟

證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點,再說明這個點在以另一條直線為交線的兩個平面內,即該點在另一條直線上,則可得三線共點.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點,G,H分別是CD和AD上的點,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點.證明:延長EH,FG,不妨設EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴四邊形EFGH為梯形,∴EH,FG共面,且EH與FG不平行.∵O∈EH,EH?平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG?平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三條直線相交于同一點O.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測轉化思想在文字語言、圖形語言與符號語言中的應用典例(1)用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.①三個平面α,β,γ相交于一點P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC;②平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.(2)用文字語言和符號語言表示下圖.分析(1)根據(jù)條件,先適當確定其中的某一個平面,再根據(jù)點、線、面的位置關系,將其附著于固定平面上,注意圖形的立體感,要將被遮擋部分用虛線表示.(2)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,應仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)①符號語言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;圖形表示如圖①所示.②符號語言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;圖形表示如圖②所示.

①

②(2)文字語言:平面α內的直線m和n相交于點A.符號語言:m?α,n?α,且m∩n=A.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛

用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形,有幾個平面且位置關系如何,有幾條直線且位置關系如何,圖中的直線和平面的位置關系如何,有幾點且在哪條直線或哪個平面上等,試著用文字語言表示,然后用符號語言表示.根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時,要注意實線和虛線的區(qū)別.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面,其中畫法正確的是(

)解析:選項A錯誤,理由是兩平面的交線沒畫出,且被遮擋的部分未用虛線畫出;選項B,C都錯誤,理由是被遮擋的部分未用虛線畫出.D正確.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.經(jīng)過空間任意三點作平面(

)A.只有一個B.可作兩個C.可作無數(shù)多個D.只有一個或有無數(shù)多個解析:當三點在一