2023年北京石景山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

2023年北京市石景山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷

本試卷共9頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合A={x|~24x42},?={x|v+%-2<0},則A1B=

A.[-2,2]B.[-2,l]C.[0,l]D.[0,2]

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-1),則：=

i

A.-l-2iB.-2-iC.一l+2iD.2-i

3.ti知雙曲線--4_=is>0)的離心率是2,則/?=

4tr

A.12B.2J3C../3D—

2

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是

A./(x)=sinxB./(x)=2W

C./(x)=x3+xD.f(x)=-e*)

5.設(shè)尤>0,y>0,則"x+y=2"是"xyK1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知數(shù)列{a}滿足：對(duì)任意的〃都有〃〃,且a=3,則。=

"mnm+n210

A.34B.35C.36D.310

7.若函數(shù)/(x)=Asin(Gx+°)(A>0,o〉0,0<°<5的部分圖像如圖所示，則。的值是

A.2

3

B.2

6

c.2

4

Dn

8.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（單位；km/s）與燃料的質(zhì)量M（單位：

kg）,火箭（除燃料外）的質(zhì)量加（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是v=20001n（l+2）.當(dāng)燃料質(zhì)

m

量與火箭質(zhì)量的比值為“時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到wkm/s.若要使火箭的最大速度達(dá)到

2vokm/s,則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為

A.2產(chǎn)B.t2+tC.2tD/+2f

000000

9.已知直線/:h-y-2A+2=0被圓C:/+（），+=25所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件

的直線/有

A.6條B.7條C.8條D.9條

10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P為正方形ABC。所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，給出

下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)P總滿足PD.1DC,,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條直線；

②若點(diǎn)P到直線B8與到平面CD3G的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是拋物線；

③若點(diǎn)P到直線O"的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是

A.OB.lC.2D.3

2

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.向量a=(2sin0,cos6),b=(1,1),若aHb,貝！|tan6=.

12.拋物線C:『=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______,若拋物線C上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,則點(diǎn)

M到拋物線焦點(diǎn)的距離為_________.

13.若(x+j)"的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)〃的一個(gè)取值為_______.

fx3-3x,x<a

14.設(shè)函數(shù)f(x)=(

[-x,x>a

①若a=0,則/(x)的最大值為_________:

②若./?無最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

15.項(xiàng)數(shù)為"0^",422)的有限數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均不小于-1的整數(shù)，

滿足a-2k-2+a-2卜3+…+“-2+a=0,其中a#0.給出下列四個(gè)結(jié)論:

I23*-lkI

Bk=2,則“2=2；

港k=3,則滿足條件的數(shù)列｛/｝有4個(gè);

③i?在a\=1的數(shù)列｛a“｝；

④所有滿足條件的數(shù)列｛?。?，首項(xiàng)相同.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

3

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(本小題13分)

如圖，在△ABC中，AC=4,-2，C=｝，點(diǎn)。在BC邊上，cosNADB=L

63

(I)求AO的長(zhǎng)；

(II)若△AB。的面積為求A8的長(zhǎng).

4

17.（本小題13分）

某高?！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋

肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀

察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)

整理如下表.

株高增量（單位：厘米）(4,7](7,10](10,13](13,16]

第1組雞冠花株數(shù)92092

第2組雞冠花株數(shù)416164

第3組雞冠花株數(shù)1312132

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.

（I）從第1組所有雞冠花中各隨機(jī)選取I株，估計(jì)株高增量為（7,10】厘米的概率；

（II）分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中

恰有X株的株高增量為（7,10]厘米，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

（III）用“。=1”表示第么組雞冠花的株高增量為（4,10],“。=0”表示第k組雞冠

花的株

高增量為（10,⑹厘米，A=l,2,3,直接寫出方差2,0.,，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

夕9幻

5

18.（本小題14分）

如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面A8CC是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面為等腰直角

三角形，且NPA。=3,點(diǎn)F為棱PC上的點(diǎn)，平面ADF與棱PB交于點(diǎn)E.

（I）求證：EFIIAD；

（II）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面PCZ）與

平面AOFE所成銳二面角的大小.

條件①：AE-J1；

條件②：平面PADM

ABCD；條件③：PBLFD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（H）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分

別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

6

19.（本小題15分）

v2VL]

已知橢圓C.3.+產(chǎn)=1（4>b>。）過點(diǎn)。。），且離心率為--

,CVb2

（I）求橢圓。的方程；

（II）過點(diǎn)尸（-1,1）且互相垂直的直線h/2分別交橢圓。于M,N兩點(diǎn)及S,T兩點(diǎn).

求1PMi|/W|的取值范圍.

|PS||PT|

7

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=e'-l-/nsinx(weR).

(I)當(dāng)m=1時(shí)，

(i)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

71

(ii)求證：VXG(0,—),f(x)>0.

2

(II)若/(x)在(0,?)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍.

2

8

21.(本小題15分)

若無窮數(shù)列{”“}滿足以下兩個(gè)條件，則稱該數(shù)列為7數(shù)列.

①4=1,當(dāng)心2時(shí),&-2|=|%+2|；

②若存在某一項(xiàng)a<-5,則存在ke{l,2,…,m-1},使得a=a+4（m>2且帆eN*）.

mk

(I)若02<0,寫出所有7數(shù)列的前四項(xiàng)；

(II)若42>0,判斷T數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；

(III)在所有的7■數(shù)列中，求滿足4“=-2021的機(jī)的最小值.

9

石景山區(qū)2023年高三統(tǒng)一練習(xí)

數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考

、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

（1）A（2）C(3)B(4)D(5)A

（6）B（7）A(8)D(9)B(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分,共25分)

⑴）-（12）（0,1）3(13)3(只要是3正整數(shù)倍即可)

(14)2(-oo,->/2)(15)①②?

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（本小題滿分13分）

解：（【）因?yàn)镹AOB+NA￡>C=7t,所以?05/4。。=-€0$/4。8=-1_

3

在△4OC中，因?yàn)镹A￡>Ce（0,兀），

所以sin/ADC=71-cos2ZADC=.

AC

在中，由正弦定理得，——

sinCsinZADC

4.3x1

所以AD^AC'SmC=------=3.

sinZADC2有

3"2

（H）的面積為S得打'nW『岳

因?yàn)镹AOB+NAOC=7T,所以sinNAZ)C=sinNAOB=-^―

3

又因?yàn)锳D=3,所以BD=

2.在△A3。中，由余弦定理

得

AB2=DA2+DB2-2DADB-cosZADB

=32+22-2x3x2xl=9.所以AB=3.

2

高三數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)（共8頁(yè)）

(17)(本小題滿分13分)

解(I)設(shè)事件A為“從第1組所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，株高增量為(7,10］

厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為(7,10］厘米.

所以P⑷估計(jì)為巴=L

402

(口)設(shè)事件8為“從第2組所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，株高增量為(7,10］厘

米”，設(shè)事件C為“從第3組所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，株高增量為(7,10］厘米”，根

據(jù)題中數(shù)據(jù)，尸(8)估計(jì)為吧_=LP(O估計(jì)為三=L

4054010

根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且

P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

P(X=1)=P(ABC+ABC+ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

p(X=3)=P(ABC)=P(4)P(B)P(O

P(X=2)=l-P(X=0)-P(X=l)-P(X=3).

9111

所以，P(X=0)估計(jì)為P(X=1)估計(jì)為_；

10025

P(X=3)估計(jì)為」；2(*=2)估計(jì)為巴.

50100

所以X的分布列為

X0123

2111293

P

1002510050

所以EX估計(jì)為0〉2+lx"+2x"+3,3=上

10025100505

(111)%<D&<D苞.

高三數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)(共8頁(yè))

(18)(本小題滿分14分)

解：(I)證明：因?yàn)榈酌鍭BCO是正方形，所以AD//8C,

8Cu平面PBC,AD<Z平面PBC,

所以AD//平面PBC

又因?yàn)槠矫鍭ZJF與PB交于點(diǎn)E.

ADu平面ADFE,平面PBCCl平面ADFE=EF,

所以EF//AD.

(II)選條件①②

側(cè)面為等腰直角三角形，且/幺。=匕

2

即PA=A￡>=2,PALAD

平面PAO1平面ABCD,

平面PADCl平面ABCD=AD,PAu平面PAD,

則PA±平面ABCD,又ABCD

為正方形，所以PA_LA8,PAJ_AO,4B1

AD.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,A。,AP方向分別為x軸,y軸,z軸正方向,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),BQ,0,0),0(0,2,0)

因?yàn)锳E=、1，所以點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，則印,0,1)

從而：PC=(2,2,-2),A￡>=(0,2,0),AE=(l,0,l),

設(shè)平面ADFE的法向量為：”=(x,y,z),

en-AE=x+z=0

則,_>

?-AD=2y=0

令x=l,可得"=(l,0,-l)

(方法2：因?yàn)镻A8為等腰三角形，則PBJ.AE,PB_L

--->

PB1平面ADFE,則PB=(2,0,-2)平面ADFE的法向量)

設(shè)平面PCD的法向量為："=(a,b,c),則

高三數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)(共8頁(yè))

n?PD=2y-2z=0

<--->

nePC=2x4-2y-2z=0

令y=l,可得n=(0,1,1)

所以18S』十四!1

2

\PB\\n\

則兩平面所成的銳二面角為1

3

選條件①③

側(cè)面PAO為等腰直角三角形，且即尸A=AO=2,PA_LAD

2

ADA.AB,PAQAB=A,可得4。，平面PAB,PBu平面PAB,則AD1PB.

又因?yàn)镻B±FD,ADQFD=D,

則PB1平面ADFE,AEu平面AOFE,則PB1AE

因?yàn)镻A=AB,所以△PAB為等腰三角形，所以點(diǎn)E為P8的中點(diǎn)

又因?yàn)樗浴鱌A8為等腰直角三角形，

下面同①?

選條件②?

側(cè)面PAO為等腰直角三角形，且

2

即PA=AO=2,PA_LA。

平面抬。1■平面ABCD,

平面PADCl平面ABCD=A。，PAu平面PAD,

則PA1平面ABCD,ABCD

為正方形，所以PA1AB,PA1AD,

ABIAD.

又因?yàn)镻B±FD,ADC\FD=D,則PB±平面ADFE,AEu平面ADFE,

則PB1AE

因?yàn)镻A=A8,所以△PAB為等腰三角形，所以點(diǎn)E為PB的中點(diǎn).

下面同①②

高三數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)（共8頁(yè)）

（19）（本小題滿分15分）

解：（I）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（（kA）,故匕八4,

f1

€=_=_,/=加+,則4=2,

a2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+—=1-

43

（II）當(dāng)直線/i斜率不存在

l\：X=-l,/2：>'=1

分別代入橢圓方程得：例(-3-1,-3),S(-22,1),T/A,l)

所以：|PM|=：3-l=1l,|PN|=3，+l=5t,

2222

|「5|=竽-1,|27|=芋+1,

可得：IPMII/WIW

IPS||PT\4

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，同理可得，WM||PN|=4

2|PS||PT|3

當(dāng)/,/斜率均存在且不為。時(shí)，設(shè)直線/斜率為A,則直線/斜率為-1

1212

設(shè)直線"的方程為：y-\=k(x+l),M(x],yl\N(x2,y2)

y-l=Z(x+l)

由'±+其='

1431

得(3+4k2)x2+(8無2+8k)x+4爐+8k-8=0

A>0

弘2+弘

X|+X,=-------Z-

3+4k2

?4k2+8%-8

X]-X2=----------------

3+44

IPMi=J(西+1>+(3一ip=VTTF|XI+II，

\PN\=J?+1)2+(乃-1)2=V17FIX2+11,

高三數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)（共8頁(yè)）

同理可知：

設(shè)直線/的方程為：y-l=-]_(x+l)>S(x,y),T(x,y)

2k3344

:+x_8_8k_8k—8

34-3-2+4-3火2+4

4—8上一8k2

3公+4

IPS1=J(X3+1)2+(必-1)2=1+鏟臨+1|，

IPT1=J(%4+1)2+(y4T)2=J+5IX4+1|,

IPMIIPNI(1+^)1+1||+1|Ivx+x+1|

IPS||PTI(1+_)ix4-liix+|iW/4+X3+X4+II

37

~(4k2+3)+~

13+4燈3依+4_

4---------￡e

[fj4k2+3-4F+3

IPMIIPN|的取值范圍是34

綜上所述:

IPS||PTI4'3

(20)(本小題滿分15分)

解：(I)當(dāng)m=l時(shí)，r(x)=e'-cosx,

(i)r(0)=0,又/(0)=0,所以切線/方程為y=0.

(ii)f(x)=er-1-sinx

兀

解法一：yz(x)=ev-cosx,因?yàn)閄￡(0,Q),所以-cosx>-l,

所tAeA-cosx>0,所以f\x)=ev-cosx>0

所以f(x)在(0,：)單調(diào)遞增，所以/。)〉/(0)=0

2

解法二：令g(x)=ev-1-x,xG(0,,則g'(x)=ev-1>0

2

高三數(shù)學(xué)答案第6頁(yè)（共8頁(yè)）

,兀

所以，函數(shù)g(x)=e，-1-4在?_)單調(diào)遞增.

2

所以g(x)>g(。)=。，B|Jev-1-x>0.

令人(x)=x-sinx,xw(0,5),則"(x)=l-cosx>0.

所以，函數(shù)/z(x)=x-sinx在(o,_)單調(diào)遞增.

2

所以〃(x)>人(0)=0,BPx-sinx>

0.所以/(x)=ex-1-sinx>0.

(II)f(x)=ex-1-wsinx,/'(%)=ex-/zzcosx,

當(dāng)"7W1時(shí)，所以T72COSX2-COSX,

f(x)=e'-tncosx2e"-cosx，

由(I)知，f\x)>0,

所以/(x)在［0,會(huì)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)mWl時(shí)，/(x)=eX-l-msinx沒有極值

點(diǎn).當(dāng)機(jī)>1時(shí)，/\x)=e'-mcosx,

因?yàn)閥=e*與y=-mcosx在［o,-］單調(diào)遞增.

2

所以r(X)在?3