專接本線性代數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習

了我們的歸屬，選擇了我們不愿面對的現(xiàn)實。那一刻，我們心痛鷹是世界上最長的鳥類，它一生的可達70歲要活那么長的它在40歲時必須做出卻重要的決定。開始飛翔，重新再度過30年的歲月！我們是人。Cramer 第一 行列 行列式性 第二 矩矩陣的概 矩陣的運 幾種特殊矩 逆矩 矩陣初等變 矩陣的 第三 線性方程 向量組的 第一 行列— 二階行列

代數(shù)和 a12a21稱為二階行列式，

=a11a225

13

52(1)32 2：設(shè)D3

問：當D=0，當D≠01二 三階行列

a23代數(shù)

a23

a23實線表示乘積項取“正”號，虛線表示乘積項取”負” 例1： (1)=

5=1×0×6+2×5×(1)+3×4×0—1×5×0—2×4×6—6

01

00的充分必要條件是 n一 排列與逆排列定義 由n個不同數(shù)碼1，2，3，……n組成的有序數(shù)組i1,i2,in，稱為一個（123443214級排列定義n級排列i1,i2,in中，如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面（isit則稱itis構(gòu)成一個逆序。一個n級排序中逆序的總數(shù)稱為iN(i1,i2,in例：N（21 所以213為奇排 N（2315 所以23154為奇排N（12…… N（371245二 n階行列例： a13a2Ka34a42a5L為5階行列式中帶負號項，求 D=

an

0

0

a11a22a33ann稱為0D=0

00

0

a3n

a11a22a33ann稱為

D=

0=a11a22a33ann稱為

n階行列式D=a的一 記為(1)N(i1i2in)N(j1j2jn

iji i i1iji i i 例

0 1：將行列式轉(zhuǎn)置，行列式的值不變。DT 1=

aij變成a

1=— 1=—

0

2 D1

kai an 0

k

aian0

1 寫成兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個數(shù)為所在行(列)Dbi1

bi2cian

bin D1

an2

D2

2

ci an

3

DD1D1

1

D

1+

5：將行列式某一行（列）k后加到另一行（列）

例：D=

a23=1

011011211021021102011201121210=1210=121021102110211010210210210202=—02004004002000xa aax aD=a a......aa xx(naa0x0 0xx(naa0x0 0x000一 行列式按某一行（列）展定義：nD=aij中去掉元素aij所在的第ijn-1階子式，稱為D中元素aij的式，記為Mij。 07

M

代數(shù)式概念：a的式M前添加(1)ij稱為元素a的代數(shù)式。 Aij=(1)ijMD

aaa100D235002

D=ai1Ai1ai2Ai2ainAinj=a1jA1ja2jA2janj

★n階行列式D=|aij|等于它的任意一行（列）各元素與其對應(yīng)代數(shù)式乘積的 15

解

13

0=a1jA1ta2jA2t...anjAnt(j0 例：

1A21+0A22(2A23 D,iaikAjkakiAkj0,ik

k

1.5法a11x1a12x2a21x1a22x211 12 推廣到n

xDj(j ★D0x12x24x3

xy2z例：5x1x22x3 5x2y7z3xx

2x5y4z ★當線性方程組的常 a11x1a12x2a1nxna 21a

a22

a2nxnan1x1an2x2annxnD 齊次線性方程組D

x1x22x33x4

x2x3xx

1 例：3xxx

D 1

2 2x13x2x3

1 1 x4x x k2xx

0k 2x1x23x3kx4

1D

= 13(5k

k 1 方程組有非零解D0k 方程組僅有零解D0k第一章— 1aa(ab)ab212350ab111310c314bc0 311362 （8）236 5526231aabaabaaaab

0 11111x2222x311111x2222x3333x 1

x0

x

三 法則解下列線性方程組

x1x2x3x41x xx1 (3)x

xx

x1x2x3x4行列式的內(nèi)容是求行列式值包括具體行列式的計算和個別抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和階兩種類型。主要方法是應(yīng)用括：行列式的定義（階行列式的值為取自不、不同列的個元素的乘積的、等的相關(guān)性質(zhì)。第二 矩（單位：萬元1234523445列的產(chǎn)值矩陣

由m×n個數(shù)aij(i1,2,.....m;j n)排成一個m行n列的矩陣表稱為一個

a1n

an

a

2n或

2n

mn

mnA,B,C…….m和列數(shù)nAmxn表示，或記作(aijmn00矩陣，記作OAanA為n

Amn如果兩矩陣A,B有相數(shù)與列數(shù)且對應(yīng)位置元素均相等則稱A與B相等記作一 矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘

A= 03 03

0 0

78 83

501

742

233二 數(shù)乘

1 1

2=2

222

222

=

2 2 矩陣運算律

AB

OmnlkABB3AO5kABkA7klAkl

ABCAB4AA6klAkA81A3A2B

A=

1 1

110

3A2B3 0

11 且且A2XA B 9 1

77

1B22322237

5 2

4

X=25

9

7

1

6

1 1驗 A

n

A為nn

a1n

a1naa

2n

2n

a3n

a3n

an

ann

an

ann

a1nA

aa=n

2n a3n

=n

an

an

ann例：A(aijA2

AA 設(shè)矩陣A=(aik)mxl

的列數(shù)與矩陣B=(akj

llcijai1b1jai2b2jailbljaikbkj(i1,2,...m;j1,2nmlkl列矩陣Ccij)mxnaikbkj)ABAk★Amxn

3 例1：A 2，B

AB 31 1 031 213

2(2)3

2(3)30

AB11(2)

1(2)(2)

1(3)(2)0 53115

3(2)1

3(3)10 BAABBAABBAAB

A31

B 05 5

1 AB=3

0

0=321(4)551例3：A 0

B 11 1 1211 1 021 201121 11 01114

1x

2X

1

x12

1

x12 xx

，則有

x=1

22

22 2x11 2x12x22

=1 4

22 2x11x21 2x12x22所以

1

x111,x211,x120,x22

所以x1 AB)C=A(BC

⑵(AB)C=AB⑶C(AB)=CA

⑷k(AB)=

=★ABA

(AT)T

(A

AT

(

BT

Ak1

Ak1

(Ak1

一、A

ann

aij

i

（i,j1,2,...,n

①

ka nn nn11 11

a1 ②

a2

a n

n

n11 11

③

a n

n

nnAAT1A00

9 9

9 B 求02 02

A 二 數(shù)量矩陣A

對角矩陣A中，元素

aAn a

（前提是可乘）一個矩陣B，其乘積等于以數(shù)aB

A

，B

b2l

ABBA

...

nlAB

...

060322例：A 060322

B

12BA 22

0000 1

三 單位矩陣（I或E：I

n階數(shù)量矩陣中元素a1A為單位矩陣，記作IE ImAmxnAmxn，AmxnIn★單位矩陣與任何矩陣左乘或右乘（前提是可乘）IAAAI四 三角形矩A

a2n

B

b nn陣

nn三 逆矩nAnBABBAIA稱BA（AA的逆矩陣是唯一的）A=（aij）AAA1A1

An1A①代 式求逆矩陣：A1A

An1... Aij是|A|中元素aij的代數(shù)

nn 例：A=

10

|A|= 020A

1A11

0

0

A13

12

2

1

A22

1

A23

02

1

1

0 227于是A1= A1 227

1AA二 對角矩陣的逆矩陣

72 1 72

12 0

0

0

1 0A=

...，其中aii0(i1,2

...

1a nna

1

10 10

nn

A00

9 9

A1 0 09 9 2nA滿足aA2bAcI0AA1（a,b,c常數(shù)，且c0）aA2bAcI

aA2bA c aA2bA (aAbIA AA1aAb 三、(AB)1B1

(A1)1A(AT)1(ABCAABCBAABOB一、（列㈡以一個非零的數(shù)k乘矩陣的某一行（列（列）的l倍加于另一行（列I施以一次初等變換⑴I

01 01 1 1 1 ⑵I(i(k 1 1

i11I(ij(l))

111

A00

1 1 1

交換A的第一行得 101 01

0 1 00

1 1

I3(12)A00

01 1

1 21 1A=00

1 1 1

A2加于第一列得22

1 1 1

1

3 21 21

300

1 2 1 1

011

（（Amn（aij）mnD I

Or(nr D

(mr00

(mr)(nr)例1：A= 2 2

5AD22

3

3

3A= 5

1

1 220001 220001

00000 00000 0

0

1 0000 0000 1

0000 0000

00 00例2：A 0化為矩陣D的形 1

1 1

1 1

1 0 A

00

20

2

000 000

2

2二 ②（ A

10 3×6矩陣（AI3）I33 (AI3) 0

0 2 000270027

1 12 2 12 12 2★①補充同階單位矩陣③將矩陣化成單位矩陣 例：A

3 1 4 1 0 3 2

3A1 21 1

1

1 2求逆矩陣方法 二階的用擴充單位矩陣法 三階的矩陣，若元素0較多用擴充單位矩陣法，否則用代數(shù)式一 K階子式A(aij)mnkk列(kmin(mnkk階子式： 例：A 0 0

53A0 0 子式 Am×nAr0r+1階子式行列式值都ArrA)rA=0rA)0⑴r(A)r(AT ⑵0rmin(m,rA)min(mnA 例：A 0 01

0 0

r(A)

B 00 00

r(B) C 01 01

r(C)

D 0

r(D)二 000100120--044513A3r(A)

1 1

A

2

2

r(A)110113110113312

1112213r(A)

4A

3 1 5

512 12第二章（1）nA0A=0。二填空題如果A是一個mn矩陣，那么，A有 列；當m=1時，1n矩陣是 陣；當n=1時，m1矩陣是 A

a20

4,B

b 當A=B時 如果矩陣A滿足AT=A，那么A 設(shè)A是三角矩陣，且A=0，那么的對角線上的元 數(shù)k乘矩陣A是把k乘以A 設(shè)A是一個mn矩陣，Ｂ是一個n5矩陣，那么AＢ是 矩陣，第i行第j列 設(shè)A、B是兩個上三角矩陣，那么，(AB)T是 （kA－lB） 陣，其中k、l是常數(shù)。設(shè)A是一個三階方陣，那么2A A

03 2

1（1）

（2）

0 6

3

1（3）0

01

3 70

（4）2nABAB＝BA（1）(AB)2A22AB（2）A2B2(AB)(A

1A

,B

ABA

1A

2,B

驗證：AB)TBT

A

2 0 求 四 1（1） 2

00

（3）

0 0 五

45

7

（2）

111

44

11

22六

5

77

3

1X

89 689 132 132

112

2 （3） 1X0

（4）X 1

1

4七x1x2x3 x1x23x3（1）2xxx （2）2xxx xxx

八判斷rA≥rAr

2 1010

（2）

3

（3） 400

32的數(shù)值運算。下面的表格分類列出了逆矩陣、伴隨矩陣 、、三者之間 同樣若可逆則有第三章a11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2n

b2an1x1an2x2annxnbn

Ax

a1n

a2n b2稱為系數(shù)矩陣，b 稱為常數(shù)項矩陣

...

an

ann

bnx1 x2xn元未知量矩陣

Ax xn

b1

a2nb2（Ab）=

b n n2x12x2x3（消元法）x2x4x 5x7x

解：①×（1）+②，①×（5 ②×（3 2

9292x12x2x3

3x22x3

3x21

xx ①— 2x12x2

2x1

x1x xx x

xxxx

2xx3xx

（Ab）=

16 31

22

16 0

02 02

1 08

08

0

00 00

02 2

12

1 0 01 0 1

0 1

x1=1

x2=3

x3★消元法求解過程=x15x2x3x4x2xx3x

3x18x2x3x4x19x23x37x4解：對方程組的增廣矩陣（Ab）

（Ab

0 0 70 70

448 48

1

11 4

44

00000 00000 00000000 00000000

0 03 3

x x

133x13

7

42x4

7 7xxxcxc（c，c為任意常數(shù)）則方程全部解

x3x

x

1

1

31（A

4

4

41100230006 14 100230006

2 920023 30000 1 920023 30000

3 r（A）=3，r（Ab）=4，r（A）r（Ab，所以無解

r(A)r(Ab)

rA)rAb) rA)r x1x2x33a取何值時線性方程組ax1x2x3

xxax

1a

（A11

11 a1

00

10

1a1a2a11a

x1當a1時，r（A）r（Ab）=3，方程組有唯一解x2ax x 當a1時，r（A）r（Ab）1<3x11c1設(shè)x=c，x= （c，c為任意常數(shù)，于是 x

x 3x齊次線性方程組 r（A）=n時僅有零解r（A）<n有（無窮解）m<n是（方程個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)）x1x25x3x4xx2x3x 3x1x28x3x4x13x29x37x4

（A

4 4

33

0 010 10

00 0010 00 00

400 0

0 0

r（A）24

0

00 0

x3xx

72 7

xcx

（ccx2

2x32x4

n定義：n維向量：nn維向量。一般用，，γ等希臘字母表示（α=（a1，a2，，an①行向量： ②

nbi稱為向量的第i個分量。

n n=

a1na2n中的每一行（a

（a

...a

i

mn m維行向量，每一列a2j（j1,2n）m a amj=③零向量0的向量。④負向量：α=（a1，a2，，an）

kk(a1,a2....an)(ka1,

加 α+β=(a1b1,a2b2 anbn減 α-β=(a1b1,a2b2 anbn運算規(guī)律（1）α+β=β+α （6）（7） 5例：12,4,1,1)23,1,2,2312(2a1j

b1 xaxa.......x

a2j(j

b21 2 n

anj bna 線性方程組有解與否，就相當于是否存在一組數(shù)，x1k1,x2k2.....,xnkn 使性關(guān)系式k1a1k2a2k3a3.....knan成立。如果存在，則方程組有解，否則，無解。β可以表示上述關(guān)系式時，稱向量β是向量組a1, an的線性組合，或者稱β由向量組a1, an線性表示線性表示定義：對于給定向量β，a1,a2......an，如果存在一組數(shù)k1,k2 kn,使=k1a1k2a2k3a3.....knan成立。則稱β是a1, an的線形組合，或稱β可 an1，1212

1

2

3線性表示的充分必要條件：以a1,a2......an為列向量的矩陣與以a1, an，β為列任何一個n維向量α=（a1,a2......an）都是n維向量組1 2

，

1

的線性組合（因為：a11a22 ann零向量是任何一組量的線性組合（因為：0=0a10a2 0an向量組a1, an中任一向量j(1

js)都是此向量的線性組合。（因為：j0a1......1aj 0as例：判此向量14,3,1,1124,3,0,11是否各為向量組11,2,1,5解：①設(shè)kk

對矩陣(T,TT1 2 4

2 1秩

3=秩

= 所以可由

1

11

1 1 11k12,k2 (T,T

，21秩

1

21= 因此：所以2不可由1,2111,2......n0的數(shù)k1k2knk11k22.....knn0成立，則稱 1,2......nk1k2kn0時，k11k22.....knn0成立，則稱 3 例：16,24

1與2 1 112,21

12 ①對于m維向量組1,2......n，其中j(1j,2j,...,mj)(j1,2n) ,......線性相關(guān)的充分必要條件是，以T,T ②對于n個n維向量j(1j,2j,...,nj)(j1,2,...,n)，則向量組 n線A

an

=0不滿秩（A0，滿秩 對矩陣(T,T,

，秩

所以：1,2,3 11

A)證明如果,無關(guān)，則,證明：存在一組數(shù)k1k2k3k1(k2(k3()(k1k3)k1k2)k2k3)k1k3

1由,kk12

因為 020，故方程僅有0k 3k

即當且僅當kkk0時才成立所以：,無關(guān)⑥向量組1, s(s2)線性相關(guān)的充要條件是：其中至少有一個向量是其余s⑦如果向量組1,2......s1,2......s線性無關(guān)，則可由1, s1、定義：n維向量組1,2......s中的一個線性無關(guān)的部分組j1,j2,.,jr(rsr已達到最大可能，即如果r個向量以外向量組中還有向量，那么任意r+1個向量構(gòu)成的部分均線性相關(guān)，則j1,j2,...,jr稱為向量組 s的一個極大例：二維向量10,1),21,0),31,1),40,23掌握定理：①如果j1,j2,...,jr是 充分必要條件是：1,2......s中的每一個向量可由j1,j2,.,jr②向量組 s的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)，稱為向量組的秩記r(1, 例：1(0,1),2(1,0),3(1,1),4 其秩r(1,2,3,4)2A的行向量組的秩稱為行秩，將矩陣A12,4,2),21,1,0),32,3,1),43,5,2的一個極大無關(guān)組，并把其余 解：對矩陣A=（T，TT

3

11 11

5

1

1 1220001 220001

000 0001由最后一個矩陣可知：1,2為一個極大無關(guān)組，3212,41Ax解的性質(zhì)：V1,V2是齊次線性方程組的兩個解，則V1V2②如果V是齊次線性方程組的解，則cV也是它的解（c為常數(shù)③如果V1,V2,...,Vs都是齊次線性方程組的解，則其線性組合：c1V1c2V2csVs也是它的解，其中c1c2cs基礎(chǔ)解系：齊次線性方程組的解向量組的一個極大無關(guān)組（V1,V2,...,Vsx1x25x3x4xx2x3x 3x1x28x3x4x13x29x37x4

解：對增廣矩陣（AO）施以初等行變換（AO）

300 00 0

1

2

10 4

1002100

40

0 00 0044044

8

0

0 0 0x3x

2 2即原方程組與

x3,

x2

2x3

3

1x

1

7

2010讓自由未知量010

3取值

得方程