福建省龍巖市湖山中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

福建省龍巖市湖山中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=2x2﹣mx+5，m∈R，它在（﹣∞，﹣2]上單調(diào)遞減，則f（1）的取值范圍是（）A．f（1）=15 B．f（1）＞15 C．f（1）≤15 D．f（1）≥15參考答案：C【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】由函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以判斷出函數(shù)圖象的形狀及單調(diào)區(qū)間，再由函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2]上單調(diào)遞減，我們易構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式，解不等式得出m的范圍，最后求（1）的取值范圍即可得到結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2x2﹣mx+5的圖象是開口方向朝上，以直線x=為對稱軸的拋物線，若函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2]上單調(diào)遞減，則﹣2≤即m≥﹣8∴f（1）=7﹣m≤15故選C．2.已知α∈（π，π），cosα=﹣，則tan（﹣α）等于（）A．7 B． C．﹣ D．﹣7參考答案：B【考點】GR：兩角和與差的正切函數(shù)；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】由α的范圍及cosα的值，確定出sinα的值，進(jìn)而求出tanα的值，所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將tanα的值代入計算即可求出值．【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，則tan（﹣α）===．故選B3.已知冪函數(shù)的圖像過點，則＝（

）

A．

B．1

C．

D．2

參考答案：A4.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若都是單位向量，則；③向量與相等，則所有正確命題的序號是()A.① B.③ C.①③ D.①②參考答案：A【分析】根據(jù)零向量的定義、單位向量的概念和相等向量的概念，對三個命題的真假性逐一進(jìn)行判斷，由此得出正確選項.【詳解】.根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量與互為相反向量，故③錯誤．所以選A.【點睛】本小題主要考查零向量的定義，考查單位向量的概念以及考查相等向量的概念.屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|+|x+2|，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù)f（x）圖象上的是（）A．（a，﹣f（a）） B．（a，﹣f（﹣a）） C．（﹣a，﹣f（a）） D．（﹣a，f（a））參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】利用點的坐標(biāo)是否滿足函數(shù)解析式，判斷即可．【解答】解：因為f（﹣a）=|﹣a+2|+|﹣a﹣2|=|a+2|+|a﹣2|=f（a），所以D正確；故選：D．6.（5分）下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數(shù)圖象的是（） A． B． C． D． 參考答案：B考點： 函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用函數(shù)定義，根據(jù)x取值的任意性，以及y的唯一性分別進(jìn)行判斷．解答： B中，當(dāng)x＞0時，y有兩個值和x對應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿足函數(shù)的定義，故選：B點評： 本題主要考查函數(shù)的定義的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同族函數(shù)”.下面函數(shù)解析式中能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B結(jié)合“同族函數(shù)”的定義可得：當(dāng)函數(shù)為“同族函數(shù)”時，函數(shù)肯定不是單調(diào)函數(shù)，選項中所給的函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，不合題意，本題選擇B選項.

8.函數(shù)是（

）A．最小正周期為的偶函數(shù)．

B.最小正周期為的奇函數(shù)．C.最小正周期為的偶函數(shù)．

D.最小正周期為的奇函數(shù)．參考答案：D9.已知a、b、l表示三條不同的直線，表示三個不同的平面，有下列四個命題：

①若且則；②若a、b相交，且都在外，，則；③若，則；④若則.其中正確的是（

）A．①②

B．②③C．①④

D．③④參考答案：B10.函數(shù)的定義域為（

）A．

B．

C．

D．或參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則這個數(shù)列的前項和的計算公式為：

．參考答案：12.設(shè)，，則______．參考答案：【分析】由，根據(jù)兩角差正切公式可解得．【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識的考查．13.一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為_______．參考答案：1214.不論k為何實數(shù)，直線（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通過一個定點，這個定點的坐標(biāo)是．參考答案：（2，3）【考點】恒過定點的直線．【分析】直線方程即k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定經(jīng)過2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0的交點，聯(lián)立方程組可求定點的坐標(biāo)．【解答】解：直線（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，根據(jù)k的任意性可得，解得，∴不論k取什么實數(shù)時，直線（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都經(jīng)過一個定點（2，3）．故答案為：（2，3）．15.關(guān)于下列命題：

①若是第一象限角，且，則;

②函數(shù)是偶函數(shù)；

③函數(shù)的一個對稱中心是；

④函數(shù)在上是增函數(shù)．

寫出所有正確命題的序號：____．參考答案：②③16.已知△ABC為等邊三角形,,設(shè)點P,Q滿足,,,若,則

參考答案：略17.設(shè)，則的最小值為______.參考答案：【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值。【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，故所求的最小值為。【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.計算：（8分）參考答案：119.已知函數(shù)f（x）定義在[﹣4，4]上的奇函數(shù)，且在[﹣4，4]上單調(diào)遞增，若f（m+1）+f（m﹣3）＜0，求m的取值范圍．參考答案：【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f（x）定義在[﹣4，4]上的奇函數(shù)，∴不等式f（m+1）+f（m﹣3）＜0等價為f（m+1）＜﹣f（m﹣3）=f（3﹣m），∵在[﹣4，4]上單調(diào)遞增，∴不等式等價為，即，即﹣1≤m＜1，即實數(shù)m的取值范圍是[﹣1，1）．【點評】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．20.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意，點都在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；（3）已知數(shù)列{cn}滿足，若對任意，存在使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）將點代入函數(shù)的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和；（3）利用分組求和法與裂項法求出數(shù)列的前項和，由題意得出，判斷出數(shù)列各項的符號，得出數(shù)列的最大值為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，然后解不等式可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）將點代入函數(shù)的解析式得到.當(dāng)時，，即，解得；當(dāng)時，由得，上述兩式相減得，得，即.所以，數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，；（2），，因此，①，②由①②得，所以；（3）．令為的前項和，則.因為，，，，當(dāng)時，，令，，令，則，當(dāng)時，，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，，則，即，那么當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時，則.因此，數(shù)列的最大值為.又，函數(shù)單調(diào)遞增，此時，函數(shù)的最大值為．因為對任意的，存在，.所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列前項和求數(shù)列通項，同時也考查了錯位相減法求和以及數(shù)列不等式恒成立問題，解題時要充分利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項或最小項的值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.21.（12分）已知函數(shù)f（x）=（a，b，c∈N）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明．參考答案：考點： 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）通過f（x）是奇函數(shù)得到c=0，再根據(jù)f（1）=2，f（2）＜3，得不等式組，解出即可；（2）由（1）得到函數(shù)的解析式，設(shè)0＜x1＜x2＜1，作差得到f（x1）＞f（x2），從而得到函數(shù)的單調(diào)性．解答： （1）∵函數(shù)f（x）=（a，b，c∈N）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴c=0，由f（1）=2，得a+1=2b①由f（2）＜3，得＜3②由①②得＜3③變形可得（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，又a∈Z，∴a=0或a=1，若a=0，則b=，與b∈Z矛盾，若a=1，則b=1，故a=1，b=1，c=0，∴f（x）=；（2）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．證明：設(shè)0＜x1＜x2＜1，則f（x1）﹣f（2x2）=﹣=，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＜0，x1x2＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．點評： 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．22.設(shè)=（1+cosx，1+sinx），=（1，0），=（1，2）．（1）求證：（﹣）⊥（﹣）；（2）求||的最大值，并求此時x的值．參考答案：【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；向量的模．【分析】（1）