高中數(shù)學選修2-3計數(shù)原理概率知識點總結

選修

2-3

定理概念及公式總結第一章基數(shù)原理分類計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有

n

類辦法，在第一類辦法中有m1

種不同的方法，在第二類辦法中有m2

種不同的方法，……，在第

n類辦法中有mn

種不同的方法那么完成這件事共有N=m1+m2+……+mn

種不同的方法分步計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成

n

個步驟，做第一步有

m1

種不同的方法，

做第二步有

m2

種不同的方法，……，做第n

步有

mn

種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×……mn

種不同的方法分類要做到“不重不漏”，分步要做到“步驟完整”兩個計數(shù)原理的區(qū)別:如果完成一件事，有

n

類辦法，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能獨立完成這件事,用分類計數(shù)原理，如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要完成所有步驟才能完成這件事，是分步問題,用分步計數(shù)原理.

4.排列:從

n

個不同的元素中取出

m

個(m≤n)元素并按一定的順序排成一列,叫做從

n

個不同元素中取出

m

個元素的一個排列.（1）排列數(shù):

從

n

個不同的元素中取出

m

個(m≤n)元素的所mn有排列的個數(shù).用符號

A

表示（2）排列數(shù)公式:

A

n(n

1)(n

2)

(n

m

1)mn用于計算，nn!(n

m)!或

Amn,

m

N

,

m

n用于證明。nAn= n! = nn

1

3

2

1 =n(n-1)!規(guī)定

0！=15.組合：一般地，從n

個不同元素中取出m

m

n

個元素并成一組，叫做從n

個不同元素中取出m

個元素的一個組合（1）組合數(shù):

從n

個不同元素中取出m

m

n

個元素的所有組n合的個數(shù)，用C

m

表示（2）組合數(shù)公式:m

nnmACmAm

m!

n(n

1)(n

2)(n

m

1)用于計算，n!mnm!(n

m)!或C

(n,

m

N

,且m

n)用于證明。（3）組合數(shù)的性質：n nm nm①

C

C

．規(guī)定：0nC

1；②

Cmn1＝

C+m m1n nC .n④

C

n

1③Cn1

C1

nn n6.二項式定理及其特例：（1）二項式定理n n n nna

b

C

a

Ca

b

C

a b

C

b

n

N

0

n

1

n1

r

nr

r

n

n

nr0,1,2,

,n展開式共有

n+1

項，其中各項的系數(shù)C

r

叫做二項式系數(shù)。n 1 r

r

nnn（2）特例：(1

x)

1

C

x

C

x

x

.7.二項展開式的通項公式：

Tnrn

r

rr

1

C

a b（為展開式的第

r+1項）8．二項式系數(shù)的性質：（1）對稱性：在a

bn

展開式中，與首末兩端

“等距”的兩nnm nm2n個二項式系數(shù)相等,即C

C

，直線r

是圖象的對稱軸．2（2）增減性與最大值：當r

n

1

時，二項式系數(shù)逐漸增大，由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值。n

22當n

是偶數(shù)時，在中間一項Tnn的二項式系數(shù)C

2

取得最大值；n1

n1當n

是奇數(shù)時，在中間兩項Tn

1

，Tn

3

的二項式系數(shù)Cn

2

，

Cn

2

取2 2得最大值．9.各二項式系數(shù)和：（1）n0 1 2n n n nC

C

C

C

2n

，53140 2n n n n n n（2）C

C

C

C

C

C

2n1

．10.各項系數(shù)之和：（采用賦值法）例：求2

x

3

y9

的各項系數(shù)之和解：

2

x

3

y9

a

x

9

a

x

8

y

a

x

7

y

2

a

y

90 1 2 9令

x

1,

y

1

，則有2

x

3

y9

a

a

a

a

2

39

1

，0 1 2 9故各項系數(shù)和為-1第二章

概率知識點：1、隨機變量：如果隨機試驗可能出現(xiàn)的結果可以用一個變量X

來表示，并且

X

是隨著試驗的結果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機變量．

隨機變量常用大寫字母X、Y

等或希臘字母ξ、η等表示。2、離散型隨機變量：在上面的射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量

X

所有可能的值能一一列舉出來，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量

X

可能取的值為x1,x2,.....

,xi

,......,xnX取每一個值xi

的概率p1，p2,.....

,

p

i

,......,

p

n，則稱表為離散型隨機變量

X

的概率分布，簡稱分布列4、分布列性質①

pi≥0,

i=1，2，…

n；②

p1

+p2

+…+pn=1．5、二點分布：如果隨機變量

X的分布列為：其中

0<p<1，q=1-p，則稱離散型隨機變量

X

服從參數(shù)

p的二點分布6、超幾何分布：一般地,

設總數(shù)為N

件的兩類物品，其中一類有

M

件，從所有物品中任取n(n≤N)件,這n

件中所含這類物品件數(shù)

X

是一個離散型隨機變量，則它取值為

m

時的概率NCnCm

Cnm為P(

X

m)

M

N

M

(0

m

l

,

l為n和M中的較小的一個)

，7、條件概率：對任意事件

A

和事件B，在已知事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作

P(B|A)，讀作

A

發(fā)生的條件下B的概率8、公式：P(A)P(B

|

A)

P(A

B)

,P(A)

0.9、相互獨立事件：事件

A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。P(B|A)

P(B)10、n

次獨立重復試驗：在相同條件下，重復地做n

次試驗，各次試驗的結果相互獨立，一般就稱它為

n

次獨立重復試驗11、二項分布：

設在

n

次獨立重復試驗中某個事件A

發(fā)生的次數(shù)設為X．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是

p，事件A

不發(fā)生的概率為

q=1-p，那么在n

次獨立重復試驗中，事nkk

nkP(X

k)

Cp

q（其中件A

恰好發(fā)生

k

次的概率是k=0,1,

……,n）于是可得隨機變量

X

的分布列如下：這樣的離散型隨機變量X

服從參數(shù)為n，p

二項分布，記作

X～B(n，p)

。12、數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量X

的概率分布為則稱E(

X

)

x1

p1

x2

p2

xn

pn

為離散型隨機變量

X的數(shù)學期望或均值（簡稱為期望）．13、方差:

D(

X

)

(

x1

E(

X

))

p1

(

x2

E(

X

))

p2

(

x

n

E(

X

))

p

n

叫隨2 2 2機變量X

的方差，簡稱方差。14、集中分布的期望與方差一覽：15、正態(tài)分布：若正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為1e ,x

(

,

)f(x)

2

2

(x

)

22的圖像，其中解析式中的實數(shù)、是參數(shù)，且

0

，、分別表示總體的期望與標準差．期望為與標準差為的正態(tài)分布通常記作N

(2, )

，正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)的圖象稱為正態(tài)曲線。16、正態(tài)曲線基本性質：曲線在x軸的上方，并且關于直線

x=對稱．曲線在x=時處于最高點，并且由此處向左、右兩邊無限延伸時，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“