分形在數(shù)字全息顯示中的應(yīng)用

分形在數(shù)字全息顯示中的應(yīng)用2023/6/161第一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日要目混沌和分形的概念的引入分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識分形所描述的自然現(xiàn)象分形圖形的產(chǎn)生分形圖形在數(shù)字全息顯示中的應(yīng)用.Fractal2023/6/162第二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日混沌與分形Chaos&Fractal什么是混沌?混沌是一種非周期性的動力學(xué)過程,混沌是研究無序中的有序。一些雜亂無章,表面看似無序的現(xiàn)象,其實卻隱藏著豐富多彩的內(nèi)涵和一定的規(guī)律性。20世紀(jì)永遠(yuǎn)被銘記的三大科學(xué)成就是：相對論、量子論和混沌理論。相對論消除了關(guān)于絕對空間和時間的幻象;量子論消除了關(guān)于可控測量過程的牛頓式的迷夢，質(zhì)疑了微觀世界的物理因果律;混沌理論則否定了包括巨觀世界拉普拉斯﹙Laplace﹚式的決定型因果律,即關(guān)于決定論的可預(yù)測性。2023/6/163第三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日混沌的故事英文混沌一詞chaos

來源于希蠟詞χαο?,它含有模糊，籠統(tǒng)，混亂的意思。在我國古代有許多有關(guān)混沌的故事：《山海經(jīng)》——

“

有神鳥，其狀如黃囊，赤如丹火，六足四翼，混沌無面目，只識歌舞，實惟帝江也?！被煦绫闶侵腥A民族的始祖——黃帝?！肚f子》——

南海之帝為倏，北海之帝為忽，中央之帝為混沌。倏與忽時相遇于混沌之地，混沌待之甚善。倏與忽謀報混沌之德，曰：“人皆有七竅，以視聽食息，此獨(dú)無有，嘗試鑿之?！比砧徱桓[，七日而混沌死。混沌是初度和諧，是原始無知無識?；煦缡怯钪娴纳桑軐W(xué)構(gòu)架的開始。混沌是由確定性的規(guī)律生成，它是一種對初始條件非常敏感并有依賴性和回復(fù)性的非周期運(yùn)動。2023/6/164第四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日混沌現(xiàn)象的例子Sierpinski三角形二十世紀(jì)初，人們發(fā)現(xiàn)了Sierpinski三角形，它是根據(jù)一個很簡單的規(guī)則，作一些簡單的計算，所繪出的一幅奇妙的三角形圖案?？紤]一個填滿東西的三角形，從其中間挖掉一塊，使原三角形剩下三個相等的部分，且每一部分的面積是原來的1/4，對這三個三角形再類似于上述作法各從其中挖去一塊，于是便得到了九個三角形，依此類推以至無窮。2023/6/165第五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Sierpinski三角形Sierpinski三角形2023/6/166第六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Sierpinski三角形的兩個重要特性1，一個非常復(fù)雜且具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的圖形可以用很少的，非常簡單的規(guī)則產(chǎn)生。2，取Sierpinski三角形結(jié)構(gòu)的任何一部分，并且放大至足夠倍數(shù)，就會出現(xiàn)與原三角形一樣的結(jié)構(gòu)。這種特性稱為自相似性。具有上述兩個特性的圖形被稱為分形圖形。2023/6/167第七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Sierpinski三角形Sierpinski三角形2023/6/168第八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形分形“

Fractal“

這個名詞出自拉丁語”

Fractus”

其意為“碎化，分裂”。1975年美國IBM公司的B.Mandelbrot創(chuàng)造出分形這一名詞。Fractal2023/6/169第九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形幾何的概念的提出B.Mandelbrot揭示了分形的本質(zhì)和特征。他把1，數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)維的概念，2，客觀事物中一種固有的自相似與無限可分的特征，3，計算機(jī)強(qiáng)大的迭代運(yùn)算功能，結(jié)合起來，從而形成了分形幾何的概念。分形概念的提出，為準(zhǔn)確地描述客觀世界和自然景觀提供了一個有效的數(shù)學(xué)模型和工具。B.Mandelbrot2023/6/1610第十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的自相似性分形圖形可看成是一種與整體有相似性的若干局部所構(gòu)成的圖形。它的任何一局部都與整體有嚴(yán)格的幾何相似性，即比例的自相似性，并且在任意尺度上有無窮細(xì)節(jié)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和無限可分。2023/6/1611第十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Koch雪花曲線分形的自相似性1904年瑞典數(shù)學(xué)家科赫(H.vonKoch1870-1924)提出一種描述雪花的方法:先畫一個等邊三角形，把邊長為原來三角形邊長的三分之一的小等邊三角形選放在原來三角形的三條邊上，由此得到一個六角星；再將這個六角星的每個角上的小等邊三角形按上述同樣方法變成一個小六角星……如此一直進(jìn)行下去，就得到了雪花的形狀。雪花的每一部分經(jīng)過放大都可以與它的整體一模一樣。這個被稱作數(shù)學(xué)怪物科赫曲線恰是分形圖形自相似的例子。2023/6/1612第十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Koch雪花曲線Koch雪花曲線VonKoch(1870-1924)2023/6/1613第十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日歐氏幾何與分形幾何Koch曲線處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)，其長度為無窮大。歐氏幾何是建立在公理之上的邏輯體系。其研究的是在旋轉(zhuǎn)、平移、對稱變換下各種不變的量，如角度、長度、面積、體積，其適用范圍主要是人造的物體。分形幾何由遞歸、迭代生成，主要適用于自然界中形態(tài)復(fù)雜的物體。分形幾何不再以分離的眼光看待分形中的點(diǎn)、線、面，而是把它看成一個整體。

2023/6/1614第十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Koch

=ProgrammeBASICKoch=ProgrammeBASIC=

DIMx(4096),y(4096)

'nombredepoints.Au-delà,onnedistingueplusrien

n=1

co=.5:si=SQR(3)/2

'cosinusetsinusdelarotation

x(0)=100:y(0)=350:x(1)=500:y(1)=350

'c?téinitial

WHILE1

CLS

MOVETOx(0),y(0)

'pointdedépart,puis1,4,16,...,...,4npoints

FORi=1TOn

LINETOx(i),y(i)

NEXTi

WHILE

INKEY$="":WEND

FORi=nTO1STEP-1

'onboucleendécroissant

x(4*i)=x(i):y(4*i)=y(i)

'sinononécraselesvaleurs

NEXTi

n=4*n

'onsubdivise

FORi=0TOn-4STEP4

dx=(x(i+4)-x(i))/3:dy=(y(i+4)-y(i))/3

'oncoupeen3

x(i+1)=x(i)+dx:x(i+3)=x(i)+2*dx

'onpartdu1/3etontermineaux2/3

y(i+1)=y(i)+dy:y(i+3)=y(i)+2*dy

x(i+2)=co*dx-si*dy+x(i+1)

'onobtientlenouveaupoint,

y(i+2)=si*dx+co*dy+y(i+1)

'sommetdutriangleéquiltéral

NEXTi

'parrotationde60°.

WEND2023/6/1615第十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Koch曲線分形的自相似性koch2023/6/1616第十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Koch曲線之VisualBasic源程序ConstPI=3.14159PrivateSubKoch_Click()ScaleTop=50ScaleLeft=0ScaleWidth=100ScaleHeight=-50CallFractal(0,10,100,10)EndSubSubFractal(aXAsSingle,aYAsSingle,bXAsSingle,bYAsSingle)If(bX-aX)*(bX-aX)+(bY-aY)*(bY-aY)<10ThenLine(aX,aY)-(bX,bY)ElseDimcXAsSingle,cYAsSingleDimdXAsSingle,dYAsSingleDimeXAsSingle,eYAsSingleDimlAsSingleDimalphaAsSinglecX=aX+(bX-aX)/3cY=aY+(bY-aY)/3eX=bX-(bX-aX)/3eY=bY-(bY-aY)/3CallFractal(aX,aY,cX,cY)CallFractal(eX,eY,bX,bY)l=Sqr((eX-cX)*(eX-cX)+(eY-cY)*(eY-cY))alpha=Atn((eY-cY)/(eX-cX))If(alpha>=0And(eX-cX)<0)Or(alpha<=0And(eX-cX)<0)Thenalpha=alpha+PIEndIfdY=cY+Sin(alpha+PI/3)*ldX=cX+Cos(alpha+PI/3)*lCallFractal(cX,cY,dX,dY)CallFractal(dX,dY,eX,eY)EndIf

EndSub2023/6/1617第十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形藝術(shù)《分形藝術(shù)》是屬于計算機(jī)繪畫范疇。分形計算機(jī)繪畫與一般手工繪畫或者一般的計算機(jī)繪畫的不同之處在于，它充分利用數(shù)學(xué)公式，通過數(shù)學(xué)計算求得每一個象素的“數(shù)值”

,眾多象素組合起來構(gòu)成奇妙的圖形。因而這種繪畫表現(xiàn)的是美妙的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)世界的瑰麗圖景。

芒德勃羅特(B.B.Mandelbrot,1924-)提出的“分形”概念，對當(dāng)代科學(xué)和藝術(shù)都產(chǎn)生了深刻的影響。特別是對復(fù)平面上芒德勃羅特集合和朱麗亞集合的研究，產(chǎn)生了大批同時具有深刻科學(xué)內(nèi)涵和強(qiáng)烈美學(xué)感召力的分形圖片。2023/6/1618第十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形藝術(shù)分形藝術(shù)是代表著“數(shù)字化”時代的一種新型藝術(shù).尼葛洛龐帝(N.Negroponte)聲稱的“數(shù)字化生存”也包括了數(shù)字化藝術(shù)，它巧妙而自然地把科學(xué)和藝術(shù)結(jié)合在一起，為科學(xué)與藝術(shù)的溝通提供了一個活生生的實例。分形圖形在建筑裝飾、紡織印染、廣告設(shè)計、全息顯示防偽等方面都有許多實際的應(yīng)用價值，引起了科學(xué)界和藝術(shù)界重視。

2023/6/1619第十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日混沌游戲的分形圖形的數(shù)學(xué)模型Sierprinski三角形是一個著名的混沌游戲的分形圖形，可用迭代函數(shù)系統(tǒng)(IteratedFunctionSystemsIFS)模型來描述。仿射變換(AffineTransform)w(x1,x2)=(ax1+bx2+e,cx1+

dx2+f)其中a,b,c,d,e,f均為實數(shù)，則稱w為二維仿射變換.在直角坐標(biāo)中其形式為：2023/6/1620第二十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Sierprinski三角形的IFSIFSwabcdef10.5000.51120.5000.550130.5000.550502023/6/1621第二十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日IFS的吸引子(Attractor)吸引子是指相空間的一個點(diǎn)集或一個子空間，隨著時間的流逝，在暫態(tài)消亡之后，所有軌跡線都趨向于它。吸引子是穩(wěn)定的不動點(diǎn)。給定了一個IFS，也即是確定了其中仿射變換的個數(shù)及每個變換的六個參數(shù)，我們就可以在計算機(jī)上繪出其直觀的吸引子的形狀。2023/6/1622第二十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Sierprinski三角形一個程序：#include“Draw.h”voidDrawPoint(HWND);HWNDhWnd;HDChdc;Intx[3]={360,25,693};Inty[3]={10,490,490};Intvertex,px,py;VoidDrawPoint(HWNDhWnd){HDChDC;hDC=GetDC(hWnd);Vertex=random(3);px=px+(x[vertex]-px)/2;px=py+(x[vertex]-px)/2;SetPixe(hDC,px,px,RGB(200,0,0));ReleaseDC(hWnd,hDC);2023/6/1623第二十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的維數(shù)對于復(fù)雜的幾何形體，普通維數(shù)的概念可能隨尺度不同而改變。例如，直徑10厘米的球用1毫米粗的細(xì)線做成。從遠(yuǎn)處看，球是一點(diǎn)。離10厘米遠(yuǎn)，線球是三維的。在10毫米處，它是一維線團(tuán)。在1毫米處，每根線變成了圓柱體，整體又一次變成一維，如此等等，維數(shù)“交叉”反復(fù)從一個值到另一個值。當(dāng)球用有限數(shù)目像原子那么小的微物代表時，它變成零維。

對于分形，和普通維數(shù)（0，1，2，3）相對應(yīng)的維數(shù)稱為分形維數(shù)。2023/6/1624第二十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的維數(shù)我們生活在一個具有長度、寬度和深度的三維世界里：一個平面是二維的，一條直線是一維的，一個點(diǎn)是零維.2023/6/1625第二十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的維數(shù)1，Koch曲線則是1.2618維；2，Sierpinski三角形的維數(shù)大約是1.5850.2023/6/1626第二十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的維數(shù)上面所演示的Koch曲線則是1.2618維的。這條直線接近一個平面，因為它明顯地具有“高度”，然而它卻并不是一個平面，不是一個二維的曲線。它的維數(shù)只有1.2618。因為它高過一維，但卻不到二維。在Sierpinski三角形中，先作一個完全填充的三角形（二維）。然后從中間移去一個三角形，再在剩下的三角形中分別移去一個三角形。最終它的面積等于零了，于是，它的維數(shù)自然小于2，但是卻永遠(yuǎn)達(dá)不到1，因為，無論何處，它都不接近一條線。所以，它的維數(shù)也在2與1之間，經(jīng)過數(shù)學(xué)計算，它的真正維數(shù)大約是1.5850。2023/6/1627第二十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的維數(shù)的計算方法維(Dimension)是空間和客體的重要幾何參量.分形集的三個要素是形狀,概率,維數(shù).而分形圖形的分?jǐn)?shù)維比其形狀和概率來更易描述分形集合的不規(guī)整度或破碎度.通常是用一種近似公式來計算分形集的分?jǐn)?shù)維:

D=lna/lnb其中D是分形圖形集的分?jǐn)?shù)維數(shù),a是自相似的概率分片數(shù),b

是伸縮率.即一個有界集合可以分成a個大小為1/b倍的與原集相似的子集.對Koch曲線來說,首次是把它分成4個部分,每個部分都為原來大小的1/3,而每一部分又可以同樣地繼續(xù)再細(xì)分.于是Koch曲線的分?jǐn)?shù)維D(Koch)之a(chǎn)=4,b=3.則D=ln4/ln3=1.2619Sierpinski三角形其a=3,b=2,于是

D=ln3/ln2=1.5852023/6/1628第二十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖形的特征1,分形圖形具有無窮細(xì)微的結(jié)構(gòu)如Sierprinski三角形所描述的,在任意比例尺下(或任意放大后)仍包含有豐富,細(xì)緻的微結(jié)構(gòu),放大的越大,人眼可見的細(xì)節(jié)越多。2，分形圖形無法用經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法來描述它既不是滿足某一幾何條件的點(diǎn)的軌跡，也不是數(shù)學(xué)方程的解集。3，分形圖形具有自相似性如Sierprinski三角形，它的任意局部與全圖有嚴(yán)格的幾何相似性。4，分形圖形可用迭代(IFS)方式生成分形圖形雖然其固有的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，但其定義卻很簡明，而且往往可用迭代的方式生成。Sierprinski三角形其結(jié)構(gòu)雖然較復(fù)雜，但其模型僅由三個收縮仿射變換中的18個系數(shù)唯一確定。5,分形圖形具有分?jǐn)?shù)維2023/6/1629第二十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集與Mandelbrot集Julia集和Mondelbrot集是兩種典型的分形圖形集Julia集是由復(fù)平面上的一個二次映射的迭代行為所產(chǎn)生的圖形.Pc(z)=z^2+c,式中z,c是復(fù)平面C上的點(diǎn),c=a+ib,z=x+iy.引入到平面直角坐標(biāo)系中,則有:Pc(x+iy)=(x+iy

)^2+a+ib=x^2–

y^2+a+i(2xy+b)x

n+1=xn^2–

yn^2+a,yn+1=2xnyn+

b式中a,b皆為實參數(shù).通過上面的關(guān)系式,對平面上任意起始點(diǎn)(x0,y0)進(jìn)行迭代,經(jīng)過數(shù)次迭代以后,某些起始點(diǎn)的軌跡將逐漸走向無窮遠(yuǎn),即以原點(diǎn)O為中心向四周無限擴(kuò)展.而其它一些點(diǎn)的軌跡將沒有此特性.在平面上這兩類點(diǎn)群的分界線就是Julia集.2023/6/1630第三十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集與Mandelbrot集Mandelbrot集Julia集2023/6/1631第三十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集Julia集2023/6/1632第三十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集分形圖形Julia集分形圖形2023/6/1633第三十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集分形圖形2023/6/1634第三十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Mandelbrot集Mandelbrot集是Julia集的延伸和擴(kuò)展.Mandelbrot集有非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu),其特征是由一個主要的心臟形結(jié)構(gòu)和一系列圓盤形的“芽苞”突起連接在一起,每個“芽苞”又被更細(xì)小的“芽苞”所環(huán)繞,依此類推.此外,還有更為精細(xì)的“發(fā)狀”似的分枝從“芽苞”向外長出.這些細(xì)發(fā)在它的每一段上都帶有與整個M集相似的微型樣本.M集的每個“芽苞”上的每一點(diǎn),都分別對應(yīng)著一個參數(shù)C的值.如果取一點(diǎn)并顯微該點(diǎn)盡可能小的鄰域,它存在無限細(xì)節(jié),放大后便得到一個分形圖.2023/6/1635第三十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Mandelbrot集1980年B.B.Mandelbrot用簡單的數(shù)學(xué)迭代方法畫出下面的分形圖形,引起人們的驚嘆.如此復(fù)雜的圖形竟然以如此簡單的迭代方法實現(xiàn).因而它被稱為數(shù)學(xué)恐龍.2023/6/1636第三十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Mandelbrot集Mandelbrot集分形圖形的演化2023/6/1637第三十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集與Mandelbrot集的關(guān)系Mandelbrot集的邊界有著極豐富的細(xì)節(jié).局部采樣縮進(jìn)放大,不論多少級地顯微下去,都可得到奇幻的有無限細(xì)節(jié)的分形圖形.2023/6/1638第三十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集與Mandelbrot集的關(guān)系在Mandelbrot集的某個芽苞上的某個點(diǎn),它對應(yīng)著參數(shù)C的值,當(dāng)顯微放大這一點(diǎn)的一個盡可能小的鄰域時由于存在無限細(xì)節(jié)的性質(zhì),會得到一個分形圖形.這時會發(fā)現(xiàn)一個奇異的現(xiàn)象:這個分形圖形與以該點(diǎn)C為參數(shù)的P的Julia集極其相似.打個比喻,Mandelbrot集是一本很大的書,而一個Julia集只是其中的一頁.根據(jù)C點(diǎn)在Mandelbrot集中的位置就能預(yù)測與之相關(guān)的Julia集的外形及大小.Mandelbrot集是一本可以查閱所有Julia集的詞典.2023/6/1639第三十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集與Mandelbrot集的關(guān)系12023/6/1640第四十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日J(rèn)ulia集與Mandelbrot集的關(guān)系2023/6/1641第四十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Newton/Nova

分形

Newton奠定了經(jīng)典力學(xué)、光學(xué)和微積分學(xué)的基礎(chǔ)。但是除了創(chuàng)造這些自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科外，他還建立了一些數(shù)學(xué)方法。例如，牛頓建議用一個逼近方法求解一個方程的根。你猜測一個初始點(diǎn)，然后使用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，用切線逐漸逼近方程的根。如方程Z^6+1=0有六個根，用牛頓的方法"猜測"復(fù)平面上各點(diǎn)最后趨向方程的那一個根，就可以得到一個怪異的分形圖形。和Julia分形一樣，能永遠(yuǎn)放大下去，并有自相似性。2023/6/1642第四十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Newton/Nova

分形2023/6/1643第四十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日Newton/Nova

分形PaulDerbyshire研究牛頓分形圖形時，他把Julia集合的常值C加入進(jìn)去改變了一下算法，并用同樣的方法去估算Z，逼近答案，產(chǎn)生奇特的并稱之為“Nova”的分形圖形?！癗ova”類型分形圖形如下圖：2023/6/1644第四十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形幾何歐幾里得幾何學(xué)它無法描寫大自然中的云彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮并不光滑，閃電更不是沿著直線傳播的。自然界的許多圖樣都是如此地不規(guī)則和支離破碎。這些圖樣的存在，使我們?nèi)ヌ剿髂切┍粴W幾里得認(rèn)為是“無形狀可言的”形狀，去研究“無定形”的形態(tài)學(xué)。于是就產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。2023/6/1645第四十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形幾何分形幾何學(xué)它描述了大自然和我們周圍的許多不規(guī)則和支離破碎的形狀.分形理論是一門交叉性的學(xué)科，從振動力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計算機(jī)圖形學(xué)，從分子生物學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理科學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語言學(xué)、社會學(xué)等等，都與分形融合與關(guān)聯(lián)。分形理論對方法論和自然觀產(chǎn)生了強(qiáng)烈影響，從分形的觀點(diǎn)看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個世界是以分形的方式存在和演化著的.2023/6/1646第四十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形幾何自然界存在的一些形狀及其結(jié)構(gòu)諸如星系、閃電、泥裂、材料斷口、水系、晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹冠、支氣管、小腸絨毛、大腦皮層等等。盡是分形。2023/6/1647第四十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形幾何我們周圍見到的最不規(guī)則而復(fù)雜的現(xiàn)象：山巒和云團(tuán)的外形，星系在宇宙中的分布，金融市場價格的起伏等，獲取這種數(shù)學(xué)描述的一條途徑在于找到“模型”。需構(gòu)想或發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)則，使之能對實現(xiàn)的某些部分做“數(shù)學(xué)上的偽造”——做成山巒或云團(tuán)的照片、最深層空間的天體圖、報紙金融版的圖表等。這些現(xiàn)象需要的幾何遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結(jié)構(gòu)——特別是需要分形幾何學(xué)。分形幾何它與歐幾里得幾何相反，是沒有規(guī)則的。它們處處無規(guī)則。而在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個模樣——自相似。整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點(diǎn)，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。2023/6/1648第四十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形幾何自然界提供了許多分形實例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征。分形能偽造海岸線、山巒和云團(tuán)。以致用分形制作《星際旅行II》那樣的影片的一些場景。

“云團(tuán)不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進(jìn)”。所有這些自然結(jié)構(gòu)都具有不規(guī)則形狀，它們是自相似的。其部分放大便能進(jìn)一步揭示其深層結(jié)構(gòu)。

2023/6/1649第四十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形幾何模型所建立的簡單的幾何結(jié)構(gòu)，其與所生成的自然結(jié)構(gòu)特征相同。從山巒的分形模擬方法產(chǎn)生一種理論，以描述地球表面的地勢起伏。2023/6/1650第五十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形英國的海岸線有多長？1967年Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長？”的問題。長度與測量單位有關(guān)，以1km為單位測量海岸線，就會將短于1km的迂回曲折長度忽略掉；若以1m為單位測量，則能測出被忽略掉的迂回曲折，長度將變大；若測量單位進(jìn)一步地變小，測得的長度就會愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長度。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。他認(rèn)為海岸線的長度是不確定的，或者說，在一定意義上海岸線是無限長的。這就是因為海岸線是極不規(guī)則和極不光滑的。我們知道，經(jīng)典幾何研究規(guī)則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統(tǒng)上將自然界大量存在的不規(guī)則形體規(guī)則化再進(jìn)行處理，我們將海岸線折線化，得出一個有意義的長度。2023/6/1651第五十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日英國的海岸線有多長？Mandelbrot突破了這一點(diǎn)，長度也許已不能正確概括海岸線這類不規(guī)則圖形的特征。海岸線雖然很復(fù)雜，卻有一個重要的性質(zhì)——自相似性。從不同比例尺的地形圖上，我們可以看出海岸線的形狀大體相同，其曲折、復(fù)雜程度是相似的。海岸線的任一小部分都包含有與整體相同的相似的細(xì)節(jié)。

2023/6/1652第五十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界中的分形分形在自然界中普遍存在.大自然豐富多彩的面貌,人類社會中普遍存在的各種不規(guī)則現(xiàn)象，如流體湍動、曲折的海岸線、多變的天氣、動蕩的股市、經(jīng)濟(jì)收入分配關(guān)系、棉花的價格波動等等。Mandelbrot試圖通過分形幾何學(xué)統(tǒng)一去描述自然界和社會的一切現(xiàn)象.分形是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域--有時也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹、樹枝、小麥根系、海岸線等自然現(xiàn)象，而且在生物醫(yī)學(xué),天文、經(jīng)濟(jì)、氣象、電影制片等方面也有廣泛應(yīng)用。2023/6/1653第五十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日自然界的樹并不能沒有限制地分叉，整個樹木也不會是所謂超級樹的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能看到的小尺度的星系可延伸到1500萬到3000萬光年之遙。但仍然存在著尺度超過30000萬光年的大空白區(qū)。

分形已經(jīng)對文化有重要影響，而且已被看作是新藝術(shù)形式的成果。有些分形是對真實的模擬，而另一些卻完全是虛構(gòu)和抽象。數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家出乎意料地看到了這樣一種文化上的相互作用。

應(yīng)用分形最活躍的領(lǐng)域是在物理學(xué)和生命科學(xué).它們已幫助處理了一些非常老的問題，也解決了某些嶄新的困難問題。

分形圖最后的副產(chǎn)品是它對年青人的吸引,正在喚起他們對科學(xué)的興趣。曼德布羅特集和其他分形圖現(xiàn)在出現(xiàn)在T血衫和招貼畫廣告上，這將使青年人感受到數(shù)學(xué)的美麗和她的富于表現(xiàn)，感受到她們和真實世界之間深奧的關(guān)系。

自然界中的分形2023/6/1654第五十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日生命作為自然界最復(fù)雜的存在方式，必然有分形的參與。生命現(xiàn)象從宏觀到微觀的各個層次，都存在著分形現(xiàn)象。分形還全面體現(xiàn)在生物的生化組成、生理、病理、形態(tài)等各個方面。這種現(xiàn)象絕非偶然，而是與生命的本質(zhì)與特征密切相關(guān)。分形在生物醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域里的應(yīng)用研究異?；钴S。分形與生命2023/6/1655第五十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形的應(yīng)用分形分維的經(jīng)絡(luò)形態(tài)及解剖結(jié)構(gòu)肝臟超聲圖像分形特性的研究分形理論在醫(yī)學(xué)圖像邊緣增強(qiáng)和檢測中的應(yīng)用研究分形幾何在醫(yī)學(xué)圖像處理中的應(yīng)用分形與經(jīng)濟(jì)學(xué)分形與氣象學(xué)分形音樂2023/6/1656第五十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形音樂如果我們把一首音樂的音符音階隨時間的變化看成一種波動，則音樂可歸入科學(xué)中的噪音范疇。科學(xué)中的噪音的定義是指任何量Ｖ隨時間t的不可預(yù)測的變化?，F(xiàn)已發(fā)現(xiàn)每一種噪音的跟蹤軌跡都是一條分形曲線。音樂它的波動既有隨機(jī)性又有一定的相關(guān)性，音樂往往會給人一種悅耳的感覺。研究發(fā)現(xiàn)：幾乎所有的音樂節(jié)律都模仿一種噪音。2023/6/1657第五十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形音樂分形音樂是分形藝術(shù)的一個重要部分，分形音樂是由一個算法的多重迭代而產(chǎn)生。利用分形幾何的自相似特性來建構(gòu)一些帶有自相似小段的合成音樂。主題在帶有小調(diào)的多次的返復(fù)循環(huán)中重復(fù)，在節(jié)奏方面加上一些隨機(jī)變化，所創(chuàng)造的效果，無論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正的音樂。有人把著名的曼德勃羅集轉(zhuǎn)化為音樂，取名為《傾聽曼德勃羅集》（HearingtheMandelbrotSet），他們在曼德勃羅集上掃描，將其得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成鋼琴鍵盤上的音調(diào)，從而用音樂的方式表現(xiàn)出曼德勃羅集的結(jié)構(gòu)，極具音樂表現(xiàn)力。2023/6/1658第五十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形在數(shù)字全息顯示中的應(yīng)用數(shù)字點(diǎn)陣全息圖(DigitalDot

MatrixHologram)分形圖的編碼2023/6/1659第五十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字點(diǎn)陣全息圖數(shù)字點(diǎn)陣全息圖是由計算機(jī)控制的激光光束干涉點(diǎn)陣刻蝕而成.它是依賴計算機(jī)產(chǎn)生圖形并通過計算機(jī)精密地控制干涉激光束在記錄介質(zhì)上刻蝕點(diǎn)陣衍射光刪來實現(xiàn)。應(yīng)用混沌和分形的理論，以帶有無限變量重復(fù)碼的方式來產(chǎn)生一系列類似于萬花筒中觀察到的隨機(jī)花樣的圖案

分形圖像和探索應(yīng)用分形圖像制作數(shù)字像元全息圖時逐點(diǎn)的仿射對應(yīng)關(guān)系。d=λo/2sinθ光強(qiáng)周期分布光柵方程2023/6/1660第六十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日光柵點(diǎn)的編碼這種標(biāo)志的圖案是由一些極小的光柵點(diǎn)（約幾十至一百微米左右）組成的，而每一個光柵點(diǎn)又包含非常微細(xì)的光柵（小于一微米），在制作過程中，電腦按制作要求對光柵點(diǎn)逐點(diǎn)進(jìn)行編碼使每一個點(diǎn)上的光柵的方向或密度發(fā)生變化從而達(dá)到預(yù)定的視覺效果；對光柵點(diǎn)的編碼方式和方法是根據(jù)圖案的具體設(shè)計而定，他人極難模仿。譬如以分辨率為300dpi制作的圖案，在一平方厘米的面積內(nèi)就接近有1.4萬個光柵點(diǎn)，除了圖案的設(shè)計，若要仿制出同樣視覺效果的圖案必須要求這1.4萬個光柵點(diǎn)的編碼要與原圖案一致。2023/6/1661第六十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日光柵點(diǎn)的編碼j2023/6/1662第六十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日多通道全息圖編碼多通道編碼2023/6/1663第六十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日光柵點(diǎn)的編碼點(diǎn)陣光柵的取向與間距2023/6/1664第六十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日光柵的間距與方向光柵的間距光柵的方向2023/6/1665第六十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖案與點(diǎn)陣全息圖刻蝕分形圖案的設(shè)計分形圖案是在所編制的專用電腦程序上輸入有關(guān)的數(shù)據(jù)通過某一種算法來產(chǎn)生的在自然界并不存在但卻非常奇異和富有裝飾性的圖案。2023/6/1666第六十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形圖案分形圖案可以用點(diǎn)陣全息技術(shù)制作成為全息圖的一部分或整體，也可以疊加在原注冊商標(biāo)上作為背景圖案，由此而制成的標(biāo)志具有極好的防偽性能，只要我們保留這些數(shù)據(jù)不外泄，任何人都不能產(chǎn)生相同或相類似的分形圖案。另外，用點(diǎn)陣分形全息術(shù)制作的全息圖案，由于其特性所決定不能通過照相、復(fù)印或電腦掃描等手段來復(fù)制。

2023/6/1667第六十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日全息圖的分形圖案分形分形FRACTALFRACTAL+2023/6/1668第六十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日全息圖的分形編碼FRACTAL2023/6/1669第六十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日全息圖的分形編碼全息2023/6/1670第七十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日全息圖的顯示灰度和點(diǎn)光柵條紋2023/6/1671第七十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字點(diǎn)陣全息圖刻寫典型刻寫光路環(huán)形全息光柵2023/6/1672第七十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字點(diǎn)陣全息圖刻寫機(jī)d2023/6/1673第七十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字點(diǎn)陣全息圖刻寫機(jī)c中科院廣州電子所2023/6/1674第七十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日分形全息圖a2023/6/1675第七十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字全息圖模壓機(jī)b中科院廣州電子所2023/6/1676第七十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日點(diǎn)陣全息圖E-Beam2023/6/1677第七十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期日參考文獻(xiàn)1,M.F.Barnsley,R.L.Devaney,B.B.Mandelbrotetal.<TheScienceofFractalImages>Springer-Verlag,(1988),682,T.J.Wang,etal.,SPIE’sInternationalSymposiumonLaser,Optoelectronic&Microphotonics,Beijing(1996),T13,T.J.Wang,etal.,SPIE’Photonics’97West,Optoelectronics’97,SanJose,USA,(1997),694,張志三,<漫談分形>,湖南教育出版社,(1993),35,王東生,曹磊<混沌,分形及其應(yīng)用>中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,(1995),456劉華杰,<混沌之旅>山東教育出版社,(1997)7,王天及,李耀棠,楊世寧等,<分形圖形與激光防偽技術(shù)>,“

物理”

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