2023學年完整公開課版古典概型

10.1.3

古典概型課標闡釋思維脈絡1.了解隨機事件概率的含義及表示.(數(shù)學抽象)2.理解古典概型的特點和概率公式.(數(shù)學抽象、邏輯推理)3.了解古典概型的一般求解思路和策略.(數(shù)學抽象、邏輯推理)激趣誘思知識點撥古典概型也叫傳統(tǒng)概率,其定義是由法國數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)提出的.如果一個隨機試驗所包含的樣本點是有限的,且每個樣本點發(fā)生的可能性均相等,則這個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗,這種條件下的概率模型就叫古典概型.古典概型是概率論中最直觀和最簡單的模型,概率的許多運算規(guī)則,也是在這種模型下得到的.激趣誘思知識點撥知識點一、隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.激趣誘思知識點撥知識點二、古典概型1.有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;2.等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等.我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.名師點析

(1)由古典概型的定義可得古典概型滿足基本事件的有限性和等可能性這兩個重要特征,所以求事件的概率就可以不用通過大量的重復試驗,而只要對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可.(2)在古典概型中,每個基本事件發(fā)生的可能性都相等,稱這些基本事件為等可能基本事件.激趣誘思知識點撥微思考

請根據(jù)試驗一、試驗二的要求完成下列問題.(1)試驗一:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù),要求每個數(shù)學小組至少完成60次.(2)試驗二:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄朝上一面出現(xiàn)“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”的次數(shù),要求每個數(shù)學小組至少完成60次.問題①:根據(jù)兩個模擬試驗的結(jié)果,完成下表.

試驗材料試驗中出現(xiàn)的各種結(jié)果各結(jié)果之間有何關(guān)系試驗一質(zhì)地均勻的硬幣

試驗二質(zhì)地均勻的骰子

激趣誘思知識點撥問題②:上述試驗中出現(xiàn)的結(jié)果有什么特點?提示:問題①:{正面向上,反面向上}

互斥

{1,2,3,4,5,6}

互斥問題②:試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個;每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.激趣誘思知識點撥微練習下列試驗中,是古典概型的個數(shù)為(

)①種下一?；ㄉ?觀察它是否發(fā)芽;②向上拋一枚質(zhì)地不均的硬幣,觀察正面向上的概率;③正方形ABCD內(nèi)任意一點P,點P恰與點C重合;④從1,2,3,4四個數(shù)中,任取兩個數(shù),求所取兩數(shù)之一是2的概率;⑤在線段[0,5]上任取一點,求此點小于2的概率.A.0

B.1

C.2

D.3解析:只有④是古典概型.答案:B激趣誘思知識點撥知識點三、古典概型的概率公式一般地,設試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).名師點析

求解古典概型問題的一般思路(1)明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果,用適當?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗的可能結(jié)果(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果);(2)根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性;(3)計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù),求出事件A的概率.激趣誘思知識點撥微思考

某汽車站每天均有3輛開往省城的分上、中、下等級的客車.某天王先生準備在該汽車站乘車去省城辦事,但他不知道客車的車況,也不知道發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車,他采取如下策略:先不上第一輛,如果第二輛比第一輛好則上第二輛,否則上第三輛,那么你能得出王先生能乘上上等車的概率嗎?提示:共有6種發(fā)車順序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車),所以他乘上上等車的概率為探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測樣本點的計數(shù)問題例1(2020山東濰坊高一檢測)將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次,觀察兩次出現(xiàn)的點數(shù)情況,則:(1)一共有幾個樣本點?(2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含幾個樣本點?分析先列出所有的樣本點,再確定個數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(方法一)(1)用(x,y)表示樣本點,其中x表示第1次骰子出現(xiàn)的點數(shù),y表示第2次骰子出現(xiàn)的點數(shù),則試驗的樣本空間:Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.共36個樣本點.(2)設A=“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”,則A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含10個樣本點.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(方法二)如下圖所示,坐標平面內(nèi)的數(shù)表示相應兩次拋擲后出現(xiàn)的點數(shù)的和,樣本點與所描點一一對應.(1)由圖知,樣本點的總數(shù)為36.(2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含10個樣本點(已用虛線圈出).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(方法三)一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹形圖表示.如下圖所示.(1)由圖知,共36個樣本點.(2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含10個樣本點(已用“√”標出).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.在列出樣本點時,應先確定樣本點是否與順序有關(guān).寫樣本點時,一定要按一定順序?qū)?這樣不容易漏寫.2.求樣本點總數(shù)的常用方法(1)列舉法:適合于較簡單的問題.(2)列表法:適合求較復雜問題中的樣本點數(shù).(3)樹形圖法:適合較復雜問題中樣本點的探求.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1袋中有2個標號分別為1,2的白球和2個標號分別為3,4的黑球,這4個球除顏色、標號外完全相同,4個人按順序依次從中摸出1個球,求樣本點的個數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:4個人按順序依次從袋中摸出1個球的所有可能結(jié)果用樹形圖表示如圖:共24個樣本點.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測古典概型的多種求解策略例2一個盒子中放有5個完全相同的小球,其上分別標有號碼1,2,3,4,5.從中任取一個,記下號碼后放回.再取出1個,記下號碼后放回,按順序記錄為(x,y).(1)求所得兩球標號的和為6的概率;(2)求所得兩球標號的和是3的倍數(shù)的概率.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:列出所有的樣本點,共25個,如圖所示.(1)設A=“所得兩球標號的和為6”,則由圖可直觀地看出A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},故所求概率為(2)設B=“兩球標號的和為3的倍數(shù)”,則B={(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4)},共9個樣本點,故所求概率為

.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.求解古典概型“四步法”探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.列表法求解樣本點個數(shù)的思路列表法就是利用表格的形式列出所有的樣本點,通常用來解決試驗中包含兩個或兩個以上的元素,且試驗結(jié)果比較多的問題.表格的行與列分別代表不同的元素,根據(jù)試驗的要求直接在表格中標出相應的結(jié)果,這種方法直觀、簡潔、不易出錯.3.用坐標系來表示樣本點多用于二維或三維問題,并且往往表達含有順序問題的樣本點,但要求元素不宜過多.4.樹形圖可以清晰準確地列出所有的樣本點,畫樹形圖求概率的基本步驟:(1)明確一次試驗的幾個步驟及順序;(2)畫樹形圖列舉一次試驗的所有可能結(jié)果;(3)明確樣本點,數(shù)出n(A),n(Ω);(4)計算隨機事件的概率P(A)=.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2甲、乙、丙三個盒中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干,甲盒中裝有2張卡片,分別寫有字母A和B;乙盒中裝有3張卡片,分別寫有字母C、D和E;丙盒中裝有2張卡片,分別寫有字母H和I.現(xiàn)要從3個盒中各隨機取出一張卡片.求:(1)取出的3張卡片中恰好有1張,2張,3張寫有元音字母的概率分別是多少?(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率是多少?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:根據(jù)題意,可畫出如下樹形圖:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測古典概型與其他統(tǒng)計知識的交匯問題例3(2019湖南高一期末)某校從高一年級某次數(shù)學競賽的成績中隨機抽取100名學生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)試估計這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1).(2)年級決定在成績[70,100]中用分層隨機抽樣抽取6人組成一個調(diào)研小組,對高一年級學生課外學習數(shù)學的情況做一個調(diào)查,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正、副2個小組長,求成績在[80,90)中至少有1人當選為正、副小組長的概率.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分析(1)由頻率分布直方圖能求出眾數(shù)、中位數(shù).(2)先求出成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100)這三組的頻率,由此能求出[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數(shù).(3)由(2)知成績在[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績在[80,90)有2人,分別記為d,e;成績在[90,100]有1人,記為f.由此利用列舉法能求出成績在[80,90)中至少有1人當選為正、副小組長的概率.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測成績在[50,70)內(nèi)的頻率為(0.005+0.035)×10=0.4,成績在[70,80)內(nèi)的頻率為0.03×10=0.3,(2)成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100]這三組的頻率分別為0.3,0.2,0.1,∴[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數(shù)分別為3,2,1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(3)由(2)知成績在[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績在[80,90)有2人,分別記為d,e;成績在[90,100]有1人,記為f.用x1,x2表示從[70,80),[80,90),[90,100]這三組中抽取的2人,則數(shù)組(x1,x2)表示這個試驗的一個樣本點.∴設A=“從抽取的6人中選出正、副2個小組長”,則A={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(a,e),(e,a),(a,f),(f,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(b,e),(e,b),(b,f),(f,b),(c,d),(d,c),(c,e),(e,c),(c,f),(f,c),(d,e),(e,d),(d,f),(f,d),(e,f),(f,e)}.記“成績在[80,90)中至少有1人當選為正、副小組長”為事件Q,則事件Q包含的樣本點有18個,∴成績在[80,90)中至少有1人當選為正、副小組長的概率探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

概率問題常常與統(tǒng)計問題綜合考查,在此類問題中,概率與頻率的區(qū)別并不是十分明顯,通常直接用題目中的頻率代替概率進行計算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

從某校高二年級800名男生中隨機抽取50名測量其身高(單位:cm,被測學生的身高全部在155cm到195cm之間),將測量結(jié)果按如下方式分成8組:第一組[155,160),第二組[160,165),…,第八組[190,195],繪制成的頻率分布直方圖如圖所示,若從身高位于第六組和第八組的男生中隨機抽取2名,記他們的身高分別為x,y,則|x-y|≤5的概率為(

)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:由頻率分布直方圖,可知身高在[180,185)的人數(shù)為0.016×5×50=4,分別記為a,b,c,d;身高在[190,195)的人數(shù)為0.008×5×50=2,分別記為A,B,設第一次抽取的人記為x1,第二次抽取的人記為x2,則可用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點,M=“從身高位于第六組和第八組的男生中隨機抽取2名”,若x,y∈[180,185],則M={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6種情況;若x,y∈[190,195],則M={AB},共1種情況;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),則M={(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,B),(d,B)},共8種情況.所以樣本點的總數(shù)為6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的樣本點數(shù)為6+1=7,故P(|x-y|≤5)=.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分類討論思想的應用典例(2020江蘇徐州一中高二開學考試)《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每卦有三根線組成(“”表示一根陽線,“”表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:記八卦分別為1,2,3,4,5,6,7,8,則從八卦中任取兩卦,可能情況有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8),共28種取法.若兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線,可按取得卦的陽、陰線的根數(shù)分類計算:當有一卦陽、陰線的根數(shù)為3,0時,另一卦陽、陰線的根數(shù)為0,3,共有1種取法.當有一卦陽、陰線的根數(shù)為2,1時,另一卦陽、陰線的根數(shù)為1,2,共有3×3=9(種)取法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測所以兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的取法有1+9=10(種).則從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.標有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各一張,從這5張卡片中隨機抽取1張,不放回地再隨機抽取1張,則抽取的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(

)解析:如圖:樣本點的總數(shù)為20,其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包括的樣本點個數(shù)是10個,故所求概率答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.(2020江西高一月考)《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.”雙方從各自的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為(

)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:設齊王的上,中,下三個等次的馬分別為a,b,c,田忌的上,中,下三個等次的馬分別記為A,B,C,x1表示從齊王的馬匹中抽取的一匹馬,x2表示從田忌的馬匹中抽取的一匹馬,則數(shù)組(x1,x2)表示這個試驗的一個樣本點,設A=“從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽”,B=“田忌獲勝”,則A={(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c)},根據(jù)題意,其中B={(A,b),(A,c),(B,c)},則田忌獲勝的概率為

.故選A.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(2,6),則向量p與q共線的概率為

.

解析:∵試驗的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈1,2,3,4,5,6},∴n(Ω)=36,滿足條件的事件是使向量p=(m,n)與q=(2,6)共線,即6m-2n=0,∴n=3m,滿足這種條件的有(1,3),(2,6),共有2種結(jié)果,∴向量p與q共線的概率探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.現(xiàn)有5根竹竿,它們的長度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若從中一次隨機抽取2根竹竿,則它們的長度恰好相差0.3m的概率為

.

解析:從5根竹竿中一次隨機抽取2根有10種等可能結(jié)果,它們的長度恰好相差0.3