東南大學(xué)數(shù)模200920102A卷附答案分析

東南大學(xué)考試卷(A卷)姓名學(xué)號班級課程名稱數(shù)學(xué)建模與實驗考試學(xué)期09-10-2得分適用專業(yè)各專業(yè)考試形式閉卷考試時間長度120分鐘一．填空題：(每題2分，共10分)1.阻滯增長模型dχdt=0.5X(1-0,001X)的解為.2.3.4.X(0)=100用Matlab做常微分方程數(shù)學(xué)實驗，常用的命令有。整數(shù)m關(guān)于模12可逆的充要條件是：。根據(jù)MalthUS模型,如果自然增長率為2%，則人口數(shù)量增長為初值3倍所需時間為(假設(shè)初值為正)。名姓5.請補充判斷矩陣缺失的元素A=,、+31t2J號學(xué)1.．選擇題：(每題2分，

在下列LeSlie矩陣中,共10分)不能保證模最大特征值唯一的是(0 2 3、，3、(1.11.2(00()003、2.3.4.5.A.0.200B.0.20判斷矩陣能通過一致性檢驗的標(biāo)準(zhǔn)是CR<0.1CI<0.1模28倒數(shù)表中可能出現(xiàn)的數(shù)是A.12B.5線性最小二乘法得到的函數(shù)不可能為A.線性函數(shù)B.對數(shù)函數(shù)關(guān)于泛函極值問題，下面的描述正確的有C.0.20.40；D,以上都不對0JC.CR>0.1C.14樣條函數(shù)(CR<0.01(D.7(D.指數(shù)函數(shù)((00.40JI00.40J10))))A.泛函J(X)在X*處取極值的充要條件是泛函變分BJ(X*)=0；B.泛函J(X)在X*處取極值的充分條件是泛函變分BJ(X*)=0；C.泛函J(X)在X*處取極值的必要條件是泛函變分BJ(X*)=0；D.A,B,C均正確三．判斷題（每題2分，共10分）Hill密碼體系中，任意一個可逆矩陣都可以作為加密矩陣。 （）擬合函數(shù)不要求通過樣本數(shù)據(jù)點。 （）Matlab軟件內(nèi)置命令程序可以直接求解一般的整數(shù)線性規(guī)劃問題。 （）Volterra模型得到的周期解里，食餌與捕食者可以同時達到峰值。 （）一階線性齊次差分方程平衡點的穩(wěn)定性由系數(shù)矩陣譜半徑?jīng)Q定。 （）四．應(yīng)用題（共70分）1.（5分）某外貿(mào)進出口公司擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每包體積、重量、可獲利潤及集裝箱數(shù)目所受限制見下表：貨物（包）體積（立方米）重量（千克）利潤（千元）甲5220乙4510集裝箱限制24 —13問每個集裝箱中兩種貨物各裝多少包，可以使所獲利潤最大？試對該問題建立合適的數(shù)學(xué)模型，不需要求出具體結(jié)果。2（10分）深水中的波速V與波長λ、水深d、水的密度P和重力加速度g有關(guān)。用量綱分析法確定λ與其余變量V,d,P,g之間的關(guān)系。3.（15分）某種電熱水器加熱時間X與水溫y之間有如下的實驗數(shù)據(jù):X（分鐘）1520253035y(C)12.1613.9714.9615.4916.8試確定X與y的最佳擬合多項式的階數(shù)，確定該擬合函數(shù)表達式，并估計加熱1小時時的溫度。143（20分）如果在用層次分析法建模時構(gòu)造了某個判斷矩陣A=/13,4K/133 3 」計算矩陣A的最大特征值（保留到小數(shù)點后2位，采用其它方法計算不給分）；判斷該矩陣能否通過一致性檢驗？附表隨機一致性指標(biāo)值n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI0 0 0.580.90 1.121.241.32 1.411.451.49 1.51（20分）某企業(yè)根據(jù)去年（t=0）的統(tǒng)計得知，共有技術(shù)人員300名，其中技術(shù)員職稱（初級職稱）的有140名，助理工程師（中級職稱）100名，工程師（包括高級工程師，高級職稱）60名?，F(xiàn)規(guī)定技術(shù)員每年可以有30%晉升為助理工程師，又有10%的技術(shù)員因各種原因調(diào)離該企業(yè)，余下60%留任原崗位，助理工程師每年要有40%留任，30%晉升工程師，30%調(diào)離,工程師則每年有60%留任，40%調(diào)離或退休。同時，該企業(yè)計劃每年向社會招聘80名大學(xué)生一補充技術(shù)員隊伍?，F(xiàn)要求（1）建立合適的數(shù)學(xué)模型，以便可以預(yù)測今后若干年內(nèi)該企業(yè)中的各類技術(shù)人員的人數(shù)分布情況；（只要求建立數(shù)學(xué)模型，不要求具體結(jié)果）（2）在（1）的基礎(chǔ)上，建立合適的數(shù)學(xué)模型，以便可以預(yù)測今后若干年內(nèi)該企業(yè)中的技術(shù)人員總量情況。（只要求建立數(shù)學(xué)模型，不要求具體結(jié)果）2參考答案一．填空題：（每題2分，共10分）.阻滯增長模型［dx=05x（1_0001x）的解為x（t）=1000∕（1+9exp（-0.5t））。<dt 'X（0）=100.用Matlab做常微分方程數(shù)學(xué)實驗，常用的命令有ode45,ode23等等。（寫歐拉法等方法而非Matlab命令的不給分（本題著重考察數(shù)學(xué)實驗有沒有認(rèn)真做！）.整數(shù)m關(guān)于模12可逆的充要條件是：m和12沒有質(zhì)數(shù)公因子。.根據(jù)MalthUS模型,如果自然增長率為2%，則人口數(shù)量增長為初值3倍所需時間為（假設(shè)初值為正)50ln3≈54.9311191 二 3一.請補充判斷矩陣缺失的元素A=31+。一一2+21V121J二．選擇題：（每題2分，共10分）.C；2.A;3.B; 4.C. 5.C三．判斷題（每題2分，共10分）1.×;2..√;3.×;4.×;5.×（應(yīng)考慮譜半徑=1的特殊情況四．應(yīng)用題（共70分）1）.中間關(guān)鍵步驟不能少，否則不給分！2）開頭計算錯誤，但整體思路、算法正確適當(dāng)給一些分。1.（5分）解：設(shè)x1、x2分別為每個集裝箱中甲乙兩種貨物的托運包數(shù)，f為總利潤，則該問題可以視為整數(shù)線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型為：maxf=20x+10X12S.t5x+4x≤242 目標(biāo)函數(shù)1分，每個約束條件各1分2x+5x≤1312x,x≥0,x,x∈Z12 12常見錯誤：沒有非負(fù)、整數(shù)約束，未寫ILP標(biāo)準(zhǔn)形式2（10分）解：問題的物理量有：波速V與波長λ、水深d、水的密度P和重力加速度g。令φ（λ,v,d,p,g）=0.取g1=λ,g2=v,g3=d,g4=p,g5=g基本量綱為M,L,T,各物理量的量綱為:[g1]=L,[g2]=LT-1,[g3]=L,[g4]=M-1L-3,[g5]=LT-2。-00量綱矩陣為：A=110-1λVAy=0的一個基本解系為：010](M11-31IIL,r(A)=3,00-2」VTJ 2分 2分dPgy=（1,-2,0,0,1》,y=（0,-2,1,0,1》， 2分12從而得到兩個無量綱量兀=λv-2g,兀=v-2dg,

122分注：此處有且僅有兩個無量綱量（形式可以有所不同），并且只有一個含有λ，否則后面

無法求解！由BaCkingham定理得^（λ，%d，P，g）=0與某一方程①（兀,兀）=0等價。12由隱函數(shù)定理可得兀=f（兀）12v2 v2（ ）λ=—兀=—fVv-2dgZo g1g3.（15分）解：因為自變量為等距分布，故采用差分表確定擬合多項式階數(shù)：注：1.因指定采用多項式形式，故其它擬合函數(shù)一律不給分！.最佳階數(shù)應(yīng)由差分表確定！主觀認(rèn)定或散點圖認(rèn)定均不給分。.采用代入部分點求解參數(shù)的方法不給分，應(yīng)為不符合擬合原則！2分y12.160013.970014.960015.490016.8000dy1.81000.99000.53001.3100d2y-0.8200-0.46000.7800d3y0.36001.2400 4分二階差分波動為1.24，一階差分波動為0.82，根據(jù)差分表確定最佳多項式的次數(shù)為1。 1分假設(shè)X與y之間的關(guān)系為：y=a1X+a2。根據(jù)最小二乘法，求解本問題的正規(guī)方程：ATAr=ATy。其中，1A=1520253035貝°AtA=r=(3375a1a2y=,ATy=12.1613.9714.9615.4916.8(1888.5)I73.4J5分，解此正規(guī)方程可得：(0.216)r=19.276)1111?，71251，?11255J，故最佳多項式為：y=0.216X+9.276。4分當(dāng)加熱1小時，即X=60時，代入擬合函數(shù)計算可得此時溫度22.236℃。.（20分） 1分注：本題如果采用和法、根法等不能保證精度的算法求解得到的λ只能作為其它算法maX的初值，不能作為最終結(jié)果使用，否°不給分。解法一：A的特征多項式：f（入）=det（λI—A）=λ3—3λ2—2.25，用牛頓迭代公式λk+1C λ3—3λ2—2.25=λ—kk 一，可根據(jù)根的隔離方法得出隔離區(qū)間，從中k3λ2—6λkk取初值，建議取為3,解出λ=3.2174（取3.15?3.25均可算對），代入驗證maxCR=0.19>0.1,所以A的不一致程度不在容許范圍之內(nèi)。解法二：A為3階矩陣，對應(yīng)的RI=0.58CI由層次分析法一致性檢驗可知，當(dāng)隨機一致性比率CR= <0.1時可以認(rèn)為RIλ—nA的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，其中一致性指標(biāo)CI=max1 。因此如果A的不一n—1致程度在容許范圍之內(nèi)，則3≤λ <0.1X0.58x（3—1）+3=3.116max將λ的上界3.116代入A的特征多項式：f（λ）=det（λI—A）=λ3—3λ2—2.25,max直接計算可知f（3.116）=—1.1237<0，因為f（s）>0，從而由連續(xù)函數(shù)介值定理可以知道λ>3.116，因此假設(shè)不成立，所以A的不一致程度不在容許范圍之內(nèi)。max 兩問各10分5．（20分）常見錯誤：.將本模型混同為Leslie模型。.不知所云,生搬硬套書上定崗定編模型,轉(zhuǎn)而求解平衡點、穩(wěn)定域等概念。解：假設(shè)第n年技術(shù)人員分布情況用向量X=Q,X,X）表示，總?cè)藬?shù)為n 1,n2,n3,nN=￡X,調(diào)入企業(yè)人數(shù)為R=80,退出企業(yè)人數(shù)為W.內(nèi)部一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為n n,i ni=1'0.60.30、P=00.40.3,調(diào)入分布向量Y=（1,0,0）,退出向量攻=（0.1,0.3,0.4）.0（0 0 0.6J則W=Xwτ.nn關(guān)于人數(shù)分布情況的演化規(guī)律可以用下面的模型描述：X=XP+RrXn=(1n40,100,60)，即即0X=0.6X+80n,1n—1,1X=0.3X+0.4Xn,2n—1,1n—1,2X=0.3X+0.6Xn,3n—1,2n—1,3或者由遞推法可以知道:X=140,X=100,X=600,1 0,2 0,3X=XP+Rr=(XP+Rr)P+Rr=XP2+Rr(P+1)n n-10 n—20 0 n—20 0XP3+Rr(P2+P+1)=??.=xP〃+RrnEn-30 0 0 OOPk0 16分X=XPn+Rr2Pkn0