2022年湖北省鄂州市梅川中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年湖北省鄂州市梅川中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+3x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】找出其導(dǎo)函數(shù)看其函數(shù)值與0的關(guān)系，即可得結(jié)論．【解答】解：由題知f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2的值恒大于或等于零，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故選

A．2.復(fù)數(shù)1+2i的共軛復(fù)數(shù)是（A）2+i

（B）－1+2i

（C）1－2i

（D）－1－2i參考答案：C3.已知點(diǎn)P（1，﹣），則它的極坐標(biāo)是（）A．(2，) B．(2，) C．(2，－)D．(2，－)參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．【分析】根據(jù)點(diǎn)的直角坐標(biāo)求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，從而求得點(diǎn)P的極坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，結(jié)合所給的選項(xiàng)，可取θ=﹣，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，），故選C．4.命題：的否定是（

）Ａ、

Ｂ、Ｃ、

Ｄ、參考答案：A略5.下列等式中，使M,A,B,C四點(diǎn)共面的個(gè)數(shù)是

（

）①②③④

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B6.已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的

（A）重心外心垂心

（B）外心重心垂心

（C）重心外心內(nèi)心

（D）外心重心內(nèi)心參考答案：B略7.“”是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的

（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：C略8.在長(zhǎng)為2的線段AB上任意取一點(diǎn)C，以線段AC為半徑的圓面積小于π的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】設(shè)AC=x，根據(jù)圓的面積小于π，得到0＜x＜1，然后結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)AC=x，若以線段AC為半徑的圓面積小于π，則πx2＜π，則0＜x＜1，則對(duì)應(yīng)的概率P=，故選：B．9.曲線y=在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．【解答】解：y=的對(duì)數(shù)為y′==﹣，可得在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為﹣1，則所求切線的方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即為x+y﹣2=0．故選：B．10.已知直線y=kx是y=lnx的切線，則k的值是（）A．e B．﹣e C． D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】欲求k的值，只須求出切線的斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm），得切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)（m，lnm）處的切線方程為：y﹣lnm=×（x﹣m）．它過(guò)原點(diǎn)，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.840和1764的最大公約數(shù)是

。參考答案：略12.若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是

.參考答案：（-∞,-1]【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減即可得到答案．【解答】解：由題意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，13.若直線l過(guò)點(diǎn)A（2，3）且點(diǎn)B（﹣3，2）到直線l的距離最大，則l的方程為．參考答案：5x+y﹣13=0【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】直線l過(guò)點(diǎn)A（2，3）且點(diǎn)B（﹣3，2）到直線l的距離最大，可得l⊥AB時(shí)滿足條件．利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出．【解答】解：kAB==．∵直線l過(guò)點(diǎn)A（2，3）且點(diǎn)B（﹣3，2）到直線l的距離最大，∴l(xiāng)⊥AB時(shí)滿足條件．∴kl=﹣5．∴直線l的方程為：y﹣3=﹣5（x﹣2），化為：5x+y﹣13=0．故答案為：5x+y﹣13=0．14.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______________.參考答案：9略15.若雙曲線的漸近線方程式為，則等于參考答案：116.若復(fù)數(shù)(1＋bi)(2＋i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b是實(shí)數(shù))，則b等于

．參考答案：217..已知函數(shù)，則從小到大的順序?yàn)?。參考答案?lt;<略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到頻率分布直方圖（如圖所示），（1）求分?jǐn)?shù)在[70，80）中的人數(shù)；（2）若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）的學(xué)生中共抽取5人，該5人中成績(jī)?cè)赱40，50）的有幾人？（3）在（2）中抽取的5人中，隨機(jī)選取2人，求分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）各1人的概率．參考答案：（1）30；（2）2；（3）【分析】（1）由頻率分布直方圖先求出分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的概率，由此能求出分?jǐn)?shù)在[70，80）中的人數(shù)．（2）分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有10人，分?jǐn)?shù)在[50，60）的學(xué)生有15人，由此能求出用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）的學(xué)生中共抽取5人，抽取的5人中分?jǐn)?shù)在[40，50）的人數(shù)．（3）用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）的學(xué)生中共抽取5人，抽取的5人中分?jǐn)?shù)在[40，50）的有2人分?jǐn)?shù)在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）各1人的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖知小長(zhǎng)方形面積為對(duì)應(yīng)區(qū)間概率，所有小長(zhǎng)方形面積和為1，因此分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的概率為：1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分?jǐn)?shù)在[70，80）中的人數(shù)為：0.3×100=30人．（2）分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有：0.010×10×100=10人，分?jǐn)?shù)在[50，60）的學(xué)生有：0.015×10×100=15人，用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）的學(xué)生中共抽取5人，抽取的5人中分?jǐn)?shù)在[40，50）的人有：（3）分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有10人，分?jǐn)?shù)在[50，60）的學(xué)生有15人，用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）的學(xué)生中共抽取5人，抽取的5人中分?jǐn)?shù)在[40，50）的有2人，設(shè)為，分?jǐn)?shù)在[50，60）的有3人，設(shè)為，，5人中隨機(jī)抽取2人共有n=10種可能，它們是：，，，，，，，，，分別在不同區(qū)間上有m=6種可能．，，，，，所以分?jǐn)?shù)在[40，50）和[50，60）各1人的概率P==．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．19.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，且|MF|=．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，設(shè)MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長(zhǎng)公式，求出MN，PQ，推出四邊形MPNQ的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求四邊形MPNQ面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故拋物線C的方程為：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）設(shè)MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四邊形MPNQ的面積：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)等號(hào)成立）∴四邊形MPNQ的面積的最小值為2．…20.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求A的大?。?/p>

（2）若，，求a．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】三角函數(shù)的求值；解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0求出sinA的值，即可確定出A的度數(shù)；（2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值即可．【解答】解：（1）由b=asinB，根據(jù)正弦定理得：sinB=sinAsinB，∵在△ABC中，sinB≠0，∴sinA=，∵△ABC為銳角三角形，∴A=；（2）∵b=，c=+1，cosA=，∴根據(jù)余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=6+4+2﹣2××（+1）×=4，則a=2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．21.（本題滿分15分）如圖，已知，在空間四邊形中，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面⊥平面；（2）若,求幾何體的體積；（3）若為△的重心，試在線段上找一點(diǎn)，使得∥平面.參考答案：（1）證明：∵BC=AC，E為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CE.又∵AD=BD，E為AB的中點(diǎn)∴AB⊥DE.∵∴AB⊥平面DCE∵AB平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，∴CD⊥BD，在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，∴CD⊥AD，∵∴CD⊥平面ABD.所以線段CD的長(zhǎng)是三棱錐C-ABD的高。又在△ADB中，DE=∴VC-ABD=（3）在AB上取一點(diǎn)F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE取DC的中點(diǎn)H，連A