復變函數(shù)與積分變換課堂第一章

復變函數(shù)與積分變換課堂第一章1第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1復數(shù)及其代數(shù)運算§2復數(shù)的幾何表示§3復數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域§5復變函數(shù)§6復變函數(shù)的極限與連續(xù)性第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日§1復數(shù)及其代數(shù)運算1.復數(shù)的概念2.復數(shù)的代數(shù)運算第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日1.復數(shù)的概念定義：在實數(shù)范圍,方程是無解的.因此引進一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位,規(guī)定為復數(shù),x,y分別稱為z的實部和虛部,記作兩個復數(shù)相等,是指的它的實部和虛部分別相等.復數(shù)z=0,指實部和虛部都是0.且復數(shù)不能比較大小.對于任意二實數(shù)x,y,稱或當時,稱為純虛數(shù)。第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日2.復數(shù)的代數(shù)運算當z1,z2為實數(shù)時,上二式與實數(shù)的運算一致。復數(shù)的加,法和乘法定義為稱上面二式右端為z1,z2的和,差與積。稱滿足的復數(shù)為z1除以z2的商,記作第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日與實數(shù)一樣，復數(shù)運算也滿足交換律,結(jié)合律和分配律:因此第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日共軛復數(shù)把實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個共軛復數(shù)有如下性質(zhì)：如果，那么。復數(shù)稱為共軛復數(shù),與z共軛的復數(shù)記作。第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例1設，求與所以第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例2設，求與所以第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例求滿足下列條件的復數(shù)z:(1)設則由得故(2)則10第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[證]例3設,為兩個任意復數(shù)，或證明第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日§2復數(shù)的幾何表示1.復平面2.復球面第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日1.復平面所以復數(shù)的全體與該平面上的點的全體成一一對應關(guān)系,此時,x軸稱為實軸,y軸稱為虛軸,兩軸所在的平面稱為復平面或z

平面.這樣,復數(shù)與復平面上的點成一一對應,從而使我們能借助幾何語言和方法研究復變函數(shù)從而復數(shù)可以用該平面上的坐標為的點來表示，這是復數(shù)的一個常用表示方法。由一對有序?qū)崝?shù)唯一確定,一個復數(shù)問題。第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日OxyxyqPz=x+iy|z|=r在復平面上,復數(shù)z還與從原點指向點z=x+iy的平面長度稱為z的?；蚪^對值,記作向量一一對應,因此復數(shù)z也能用向量來表示。向量的顯然,還有下列各式成立在z0的情況,以正實軸為始邊,以表示z的向量OP為終邊這時,有稱為z的輻角,記作的角的弧度數(shù)第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日一個,則為任意整數(shù))給出了z的全部幅角,在的幅角中,滿足的稱為Argz的主值,記作幅角不確定。時，argz當其中當時,,可由右邊關(guān)系確定：是其中的有無窮多個幅角,如果任何一個復數(shù)第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日由復數(shù)運算法則,兩個復數(shù)Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加減法一致。如圖(三角不等式),Oxy原點上,還有。一對共軛復數(shù)在復平面內(nèi)和，如果z不在負實軸和Oxy的位置是關(guān)于實數(shù)軸對稱的,因而z1和z2的加減法和相應的向量的第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日利用直角坐標與極坐標的關(guān)系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r可以將z表示成三角表示式：得指數(shù)表示式：

利用歐拉公式[解]例1將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,。又z在第三象限，則第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日因此，z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為2)顯然,,又故z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以，19第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以，當時，有20第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[證]例2設又為兩個任意復數(shù)，證明：所以兩邊開方，應得到所要證明的三角不等式。第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例3因此，復數(shù)形式的參數(shù)方程為將通過兩點由此得知由取形式的方程來表示。的直線用復數(shù)已知通過點的直線可用參數(shù)方程表示為的直線段的參數(shù)方程可以寫成到，得知線段的中點為第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以，23第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以，當時，有24第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例4設求下列方程所表示的曲線：或1)從幾何上看，方程表示所有與點－i距離為2，方程可變?yōu)橐簿褪堑狞c的軌跡，即中心為－i，半徑為2的圓。也可用代數(shù)方法求出該圓的直角坐標方程。第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日所以，那么軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它的2)從幾何上看，方程表示到兩點距離相等的點的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。3)設從而立即可得所求曲線方程為，這是一條平行于x軸的直線。第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例求下列方程所表示的曲線：點的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它1)從幾何上看，方程表示到兩點距離相等的的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。的點的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，2)從幾何上看，方程表示到兩點距離之和為定值它的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。27第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例求下列方程所表示的曲線：3)從幾何上看，方程表示z到1的距離與z到的點集是實軸上的閉區(qū)間[－1,1]。－1的距離之和為2，而－1到1的距離也為2。因此z只能在線段[－1,1]上，即滿足條件28第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日另一點N。稱N為北極，S為南極。NSOxyPz2.復球面除了復數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復數(shù)。取一個與復平面切于原點的球面,球面上的一點S與原點重合。通過S作垂直于復平面的直線與球面相交于對復平面內(nèi)任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關(guān)系,而N點本身可代表無窮遠點,記作。這樣的球面稱作復球面。第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日于復數(shù)來說，實部、虛部與輻角的概念均無意義，但包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面。不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限平面，或稱復平面。對其模規(guī)定為正窮大，即。對于其它復數(shù)z都有關(guān)于的四則運算作如下規(guī)定：除法：但可為)加法：至于其它運算，不規(guī)定其意義。乘法：減法：第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日§3復數(shù)的乘冪與方根1.乘積與商2.冪與根第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日設有兩個復數(shù)１.乘積與商于是那么

定理一兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。從而有第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日用指數(shù)形式表示復數(shù):q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋轉(zhuǎn)一個角度，如圖所示相當于將z1的模擴大|z2|倍則則定理可以表示為：由定理進一步可證，如果當用向量表示復數(shù)時，第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日

定理二兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。按照商的定義,當時,有由乘積公式有于是由此得如果用指數(shù)形式表示復數(shù)：定理二可簡明地表示為：第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日。根據(jù)復數(shù)乘法，有[解]例1即為所求的頂點已知正三角形的兩個頂點為所以求第三個頂點。如圖，將旋轉(zhuǎn)類似可得Oxy表示繞或得到另一個向量，它的終點或第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日。根據(jù)復數(shù)乘法，有[解]例向量，它的終點即為所求的頂點已知等腰直角三角形的兩個底角的點分別為所以，求頂點。如圖，將旋轉(zhuǎn)類似可得Oxy表示繞或，長度再縮短或得到另一個36第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日2.冪與根則對任意正整數(shù)n,有

n個相同復數(shù)z的乘積稱為z的n次冪，記作，即若定義，那么當n為負整數(shù)時上式也成立。時，則有棣莫弗(DeMoivre)公式特別地，當下面用棣莫弗公式求方程的根，其中z為已知復數(shù)。第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日如n為正整數(shù),則一個復數(shù)的n次根不止有一個,而是方根設z為己知,方程的根稱為z的n次根，都記為，即有n個,下面就來求出這個根先不妨令由棣莫弗公式有于是則上式成立，必有第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日由此，可得其中，是算術(shù)平方根，所以時，得到n個相異的根：當?shù)谌彭?，共六十八頁，編輯?023年，星期日當k為其他整數(shù)值代入時，這些根又會重復出現(xiàn)。在幾何上,不難看出：z1/n的n個值就是以原點為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。例如k=n時，第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例2求因為即所以這四個根是內(nèi)接于中心在原點，半徑為的圓的正方形的四個頂點，且有第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例求因為即所以這四個根是內(nèi)接于中心在原點，半徑為的圓的正方形的四個頂點，且有42第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日[解]例求方程因為即所以的所有根。43第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日§4區(qū)域1.區(qū)域的概念2.單連通域與多連通域第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓：dz0內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式所確定的點集為z0的去心鄰域。設G為一平面點集,z0為G中任意一點。內(nèi)點：若存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點開集：如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集。區(qū)域：若平面點集D是一個開集，且是連通的，也就是D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，則稱D為一個區(qū)域。第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點,邊界點：設D為復平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P不屬于D,則點P稱為D的邊界點。區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。邊界：D的所有邊界點組成D的邊界。C3C2zg1g2C1P第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日xyDO如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的。滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點構(gòu)成一個區(qū)域,而且是有界的,區(qū)域的邊界由兩個圓周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2構(gòu)成,稱為圓環(huán)域。若在圓環(huán)域內(nèi)去掉一個(或幾個)點,它仍然構(gòu)成區(qū)域,只是區(qū)域的邊界由兩個圓周和一個(或幾個)孤立的點所構(gòu)成。區(qū)域D與它的邊界一起稱為閉區(qū)域或閉域,記作。z0r2r1第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日無界區(qū)域的例子xyy上半平面：Imz>0角形域：0<argz<xyjxab帶形域：a<Imz<b第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日２.單連通域與多連通域在數(shù)學上,常用參數(shù)方程表示各種平面曲線。若x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù),則方程組代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線。令則此曲線可用一個方程來代表。這就是平面曲線的復數(shù)表示式。且t的每一個值,有這曲線稱為光滑的,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線,稱為按段光滑曲線。都連續(xù),上和如果區(qū)間連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)重點的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線。如果簡單曲線C的起點與終點閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線。設為一條連續(xù)曲線,與分別為C的起點與終點。對于滿足的t1與t2,當而有時,點稱為曲線C的重點。沒有定義：第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日定義：內(nèi)部外部C任意一條簡單閉曲線C把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集,其中除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界。單連通域多連通域復平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任就稱為單連通域,一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域。作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,一條簡單閉曲線的內(nèi)部是單連通域。單連通域B具有這樣的特征：屬于B的任何一條簡單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的的變形而縮成一點，多連通域則無這個特征。第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日§5復變函數(shù)1.復變函數(shù)的定義2.映射的概念第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日1.復變函數(shù)的定義定義如果z的一個值對應著w的一個值,則函數(shù)f(z)是單值的；定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數(shù)z,就有一個或幾個復數(shù)數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù)),記作否則就是多值的。集合G稱為f(z)的定義集合,對應于G中所有z對應的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合。的集合,如果有一個確設G是一個復數(shù)與之對應,則稱復變在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日由于給定了一個復數(shù)實數(shù)x和y,而復數(shù)u和v,所以復變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù).例如,考察函數(shù)令因而函數(shù)w=z2對應于兩個二元函數(shù):就相當于給定了兩個亦同樣地對應著一對實數(shù)于兩個關(guān)系式:，則第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日2.映射的概念定義如用z平面的點表示自變量z的值,而用另一個平面w平面上的點表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可看做是把z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換)。這個映射通常簡稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射。如果G中的點z被映射w=f(z)映射成G*中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象。例如，函數(shù)所構(gòu)成的映射，是一個關(guān)于實軸的對稱映射，把任一圖形映成關(guān)于實軸對稱的全同圖形。再如，函數(shù)所構(gòu)成的映射，可以把z平面上與正實軸交角為的角形域映射成w平面上與正實軸交角為的角形域。如下頁圖。第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2函數(shù)函數(shù)第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個點w必將對應著G中的一個(或幾個)點。按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數(shù)反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射。從反函數(shù)的定義可知,對任意的wG*,有當反函數(shù)為單值函數(shù)時,也有，它稱為函數(shù)w=f(z)的今后，不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換)。若函數(shù)與它的反函數(shù)都是單值的，那么稱函數(shù)是一一的。也稱集合G與G*是一一對應的。第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日§6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性１.函數(shù)的極限２.函數(shù)的連續(xù)性第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日1.函數(shù)的極限作當zz0時,f(z)A。如圖定義：內(nèi)，如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的地必有一正數(shù)則稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限,記作設函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域,相應,使得當時有,或記xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義：z0的充分小的點f(z)就落A的預先給定的鄰域中。應當注意,z趨向于z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A。當變點z一旦進入鄰域時,它的象第五十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日充分必要條件是則[證]必要性:任給，根據(jù)極限的定義有如果,存在,當時，或當這就是說時，因此有定理一

設第六十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日充分性:如果由極限定義，對于任給，總存在，使當時，而則當時，有即第六十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期日定理二定理一將求復變