離散型隨機(jī)變量的均值與方差

第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差考試要求1.了解離散型隨機(jī)變量的均值與方差的概念；2.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差；3.會(huì)求兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差.知

識(shí)

梳

理1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝

為隨機(jī)變量X的均值或

，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝

. (2)D(aX＋b)＝

(a，b為常數(shù)).3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝

，D(X)＝

. (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝

，D(X)＝

.平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)[常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒]1.D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；2.已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可用均值、方差的性質(zhì)求解；3.如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解.診

斷

自

測(cè)1.判斷下列說(shuō)法的正誤. (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無(wú)關(guān).(

) (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.(

) (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.(

) (4)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.(

)解析均值即期望值刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(選修2－3P68T1改編)已知X的分布列為答案A3.(2020·諸暨期末)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則其數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝(

)ξ123PabaA.1 B.2C.3 D.不能確定解析由分布列得a＋b＋a＝b＋2a＝1，則E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(b＋2a)＝2，故選B.答案B4.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________.

解析有放回地抽取，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，則X～B(100，0.02)，所以D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.

答案

1.965.設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x3，…，x19的公差，隨機(jī)變量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，則方差D(ξ)＝________.答案30d26.已知口袋中裝有n(n>1)個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中任取2個(gè)球(取到每個(gè)球是等可能的)，隨機(jī)變量X表示取到黃球的個(gè)數(shù)，X的分布列為：則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______，方差為_(kāi)_______.考點(diǎn)一一般分布列的均值與方差規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.考點(diǎn)二隨機(jī)變量均值、方差的性質(zhì)【例2】(1)若隨機(jī)變量ξ滿足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，則下列說(shuō)法正確的是(

) A.E(ξ)＝－4，D(ξ)＝4 B.E(ξ)＝－3，D(ξ)＝3 C.E(ξ)＝－4，D(ξ)＝－4 D.E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4 (2)某一口袋有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)球，它們除了標(biāo)號(hào)外完全相同，現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)依次摸出兩球，記兩球的標(biāo)號(hào)和分別為ξ，η，則(

) A.E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＝D(η) B.E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η) C.E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η) D.E(ξ)>E(η)，D(ξ)＝D(η)解析(1)由E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，得1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，則E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4，故選D.(2)由題可知η＝10－ξ，所以D(ξ)＝D(η)，E(η)＝10－E(ξ)，根據(jù)題意可得ξ的分布列如表，則E(ξ)＝5，E(η)＝10－E(ξ)＝5＝E(ξ)，故選A.答案(1)D

(2)A規(guī)律方法具有線性關(guān)系的Y＝aX＋b的兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y的期望、方差的計(jì)算公式為E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).【訓(xùn)練2】(1)隨機(jī)變量X的分布列如下：X－201PpA.9 B.7

C.5 D.3考點(diǎn)三兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值與方差【例3】(1)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X10P2aa則常數(shù)a＝________，X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.(2)(2020·浙江三校三聯(lián))一個(gè)盒子中有大小形狀完全相同的m個(gè)紅球和4個(gè)白球，現(xiàn)從盒子中有放回的摸取6次，每次隨機(jī)摸出一個(gè)球，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為X.若E(X)＝4，則m＝________，D(X)＝________.規(guī)律方法

(1)利用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布