工程力學(xué)下冊(cè)動(dòng)量定理

工程力學(xué)下冊(cè)動(dòng)量定理第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

●8.4功率、功率方程和機(jī)械效率

●8.4.1功率

●8.4.2功率方程

●8.4.3機(jī)械效率

●

8.5普遍定理的綜合應(yīng)用●本章習(xí)題第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●

8.1力的功●

8.1.1力的功的概念

1.常力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在大小和方向都不變的力F的作用下，沿直線走過(guò)一段路程s，力F在這段路程內(nèi)所積累的效應(yīng)用力的功來(lái)量度，以W記之，并定義為式中，為力F與直線位移方向之間的夾角。功是代數(shù)量，其量綱為功在國(guó)際單位制中的單位為焦(J)，1J等于1N的力在同方向1m的路程上做的功。第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.變力的功如圖8.1所示，質(zhì)點(diǎn)M在任意變力F作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，力在無(wú)限小位移dr中可視為常力，小弧段ds可視為直線，dr可視為沿M點(diǎn)的切線。在一無(wú)限小位移中力所做的功稱為元功，以表示。所以力的元功為(8-1)或?qū)懗芍苯亲鴺?biāo)形式(8-2)在一般情況下，上式右邊不表示某個(gè)坐標(biāo)函數(shù)的全微分，所以元功用符號(hào)而不用dW。第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

力在有限路程上的功：力在有限路程M1M2上的功為力在此路程上元功的定積分，即

(8-3)

(8-4)

或由式(8-3)和式(8-4)可知，當(dāng)力始終與質(zhì)點(diǎn)位移垂直時(shí)，該力不做功。

●8.1.2常見(jiàn)力的功1.重力的功如圖8.2所示，質(zhì)點(diǎn)沿軌跡由M1運(yùn)動(dòng)到M2，其重力在直角坐標(biāo)軸上的投影為X=0，Y=0，Z=-mg第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以重力的功為

(8-5)由此可見(jiàn)，重力的功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始和終了位置有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，所有質(zhì)點(diǎn)重力做功之和為由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有由此可得

(8-6)式中，m為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量；為質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)始末位置質(zhì)心的高度差。所以質(zhì)點(diǎn)系重力的功也與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀無(wú)關(guān)。第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.彈性力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受指向固定中心O點(diǎn)的彈性力作用，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的矢徑表示為r

=

rer時(shí)，在彈性限度內(nèi)彈性力可表示為F=-k(r-l0)er式中，k為彈簧的剛度系數(shù)；l0為彈簧的原長(zhǎng)；er為沿質(zhì)點(diǎn)矢徑方向的單位矢量。彈性力在如圖8.3所示有限路程M1M2上的功為因?yàn)榈谄唔?yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是或(8-7)式中，、分別為質(zhì)點(diǎn)在起點(diǎn)及終點(diǎn)處彈簧的變形量。由式(8-7)可知，彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在開(kāi)始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功如圖8.4所示，作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力F的元功為第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是力F在有限轉(zhuǎn)動(dòng)中的功為

(8-8)4.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功如圖8.5所示，剛體上任意一點(diǎn)的無(wú)限小位移可寫(xiě)為式中，drC為質(zhì)心的無(wú)限小位移；driC為點(diǎn)Mi繞質(zhì)心C的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)位移。作用于點(diǎn)Mi上的力的元功為第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日而作用于剛體上的全部力的元功為 (8-9)式中，F(xiàn)R為力系的主矢量；MC為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。在有限路程上的功為

(8-10)可見(jiàn)，平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功就等于力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的力和力偶做功之和。這個(gè)結(jié)論也適用于做一般運(yùn)動(dòng)的剛體，基點(diǎn)也可以是剛體上任意一點(diǎn)。第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能●8.2.1質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，任一質(zhì)點(diǎn)Mi在某時(shí)刻的動(dòng)能表示為，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻動(dòng)能的算術(shù)和稱為該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，以T表示，即(8-11)動(dòng)能是描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的一個(gè)物理量，是一個(gè)標(biāo)量，恒取正值。動(dòng)能的單位與功的單位相同。剛體是由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。剛體做不同的運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度分布不同，剛體的動(dòng)能應(yīng)按照剛體的運(yùn)動(dòng)形式來(lái)計(jì)算。第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●8.2.2平動(dòng)剛體的動(dòng)能

當(dāng)剛體平動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)的速度都相同，可以質(zhì)心速度vC為代表，于是平動(dòng)剛體的動(dòng)能為 (8-12)如果設(shè)想質(zhì)心是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它的質(zhì)量等于剛體的質(zhì)量，則平動(dòng)剛體的動(dòng)能等于此質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能?！?.2.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能當(dāng)剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖8.6所示，其上任一點(diǎn)mi的速度為式中，是剛體的角速度；ri是質(zhì)點(diǎn)mi到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為式中，為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以有(8-13)即繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能，等于剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方的乘積的1/2。如圖8.7所示，質(zhì)心為C的剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為繞通過(guò)速度瞬心P并與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)能可寫(xiě)為●

8.2.4平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理有代入上式得而是質(zhì)心的速度的大小，因此

(8-14)即平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●

8.3動(dòng)能定理●8.3.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能與作用力的功之間的關(guān)系。牛頓第二定律給出，上式兩邊點(diǎn)乘dr得

因于是上式可寫(xiě)為或

(8-15)式中，為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能；為力的元功。第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日式(8-15)稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即作用于質(zhì)點(diǎn)上力的元功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。將式(8-15)積分，得 (8-16)

式中，為作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在有限路程上的功。式(8-16)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中，作用于質(zhì)點(diǎn)上的力做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量。由此可見(jiàn)，力做正功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增加；力做負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能減少。第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●8.3.2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中任意一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，速度為vi，作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力為Fi。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式有

i=1,2,···,nn個(gè)方程相加，得交換微分及求和的次序，有式中，為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的和，稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，常用T表示；為作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和。第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以得出

(8-17)式(8-17)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所做的元功之和。積分得

(8-18)式中，和分別表示質(zhì)點(diǎn)系在任意有限路程的運(yùn)動(dòng)中起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能。式(8-18)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程的運(yùn)動(dòng)中，起點(diǎn)和終點(diǎn)動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段路程中所做功的和。第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●8.3.3理想約束及內(nèi)力做功約束力的元功的和等于零的約束稱為理想約束，即。常見(jiàn)的理想約束有：(1)光滑固定面和輥軸約束。其約束力垂直于作用點(diǎn)的位移，約束力不做功。(2)光滑鉸鏈或軸承約束。由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。(3)剛性連接的約束。這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。(4)連接兩個(gè)剛體的光滑鉸鏈約束。如圖8.8(a)所示，兩個(gè)剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在O點(diǎn)的微小位移dr上的元功之和等于零，即第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日(5)柔性而不可伸長(zhǎng)的繩索約束。如圖8.8(b)所示，繩索兩端的約束力和大小相等，即，由于繩索不可伸長(zhǎng)，所以A，B兩點(diǎn)的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，即，因此不可伸長(zhǎng)的繩索的約束力元功之和等于零，即以上所介紹的理想約束，其約束力的元功之和均等于零。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功之和一般不為零，因此在計(jì)算力的功時(shí)，將作用力分為外力和內(nèi)力并不方便，在理想約束的情形下，若將作用力分為主動(dòng)力與約束力，可使功的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。若約束是非理想的，如需考慮摩擦力的功，在此情形下可將摩擦力當(dāng)作主動(dòng)力看待。第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日試分析當(dāng)自行車爬坡時(shí)，哪些力做功？若車輪只滾不滑，內(nèi)力做功嗎？在特殊情況下，如兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離不變，例如剛體上或剛性桿連接的兩點(diǎn)，則內(nèi)力的元功之和為零，因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零?！纠?.1】卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖8.9所示。鼓輪在恒力偶矩M作用下將圓柱體沿斜面上拉。已知鼓輪的半徑為，鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為，質(zhì)量為，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱體的半徑為，質(zhì)量為，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜面的傾角為，圓柱體沿斜面只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱體中心C的速度與其路程S之間的關(guān)系。第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

解:(1)以鼓輪和圓柱體組成的整個(gè)系統(tǒng)作為分析對(duì)象。(2)分析系統(tǒng)的受力并計(jì)算力的功：主動(dòng)力有重力和以及主動(dòng)力偶矩M；約束力有，及，，如圖8.9所示。因?yàn)镺點(diǎn)的位移為零，所以，的功為零，而圓柱體沿斜面只滾不滑，輪緣上與斜面的接觸點(diǎn)為瞬心，法向約束力與靜滑動(dòng)摩擦力也不做功。因此所分析的系統(tǒng)為具有理想約束的一個(gè)自由度系統(tǒng)。主動(dòng)力的功為(3)分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)并計(jì)算動(dòng)能。系統(tǒng)的動(dòng)能式中，，分別為鼓輪對(duì)于中心軸O，圓柱體對(duì)于過(guò)質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，有第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日分別為鼓輪和圓柱體的角速度，有如下關(guān)系代入后得(4)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理并求解。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理所以第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

【例8.2】質(zhì)量為m的物塊，自高度h處自由落下，落到有彈簧支撐的板上，如圖8.10所示。彈簧的剛性系數(shù)為k，不計(jì)彈簧和板的質(zhì)量。求彈簧的最大變形。解：分為兩個(gè)階段。(1)重物由位置Ⅰ落到板上。在這一過(guò)程中，只有重力做功，應(yīng)用動(dòng)能定理，有(2)物塊繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，物塊速度逐漸減小，當(dāng)速度等于零時(shí)，彈簧被壓縮到最大變形。在這一過(guò)程中，重力和彈性力均做功。應(yīng)用動(dòng)能定理，有第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解得由于彈簧的變形量是正值，因此取正號(hào)，即上述兩個(gè)階段，也可以合在一起考慮，即

解得的結(jié)果與前面所得相同。上式說(shuō)明，在物塊從位置Ⅰ到位置Ⅲ的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重力做正功，彈性力做負(fù)功，恰好抵消，因此物塊運(yùn)動(dòng)始末位置的動(dòng)能是相同的。顯然，物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能是變化的，但在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)不必考慮始末位置之間動(dòng)能是如何變化的。第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●8.4功率、功率方程和機(jī)械效率●8.4.1功率在工程中，一部機(jī)器單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱為功率，用P來(lái)表示。功率用來(lái)衡量機(jī)器做功的快慢程度，是衡量機(jī)器性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)。功率的數(shù)學(xué)表達(dá)式為因?yàn)?，因此功率可?xiě)成 (8-19)

式(8-19)表明：功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。每臺(tái)機(jī)床、每臺(tái)機(jī)器能夠輸出的最大功率是一定的，因此用機(jī)床加工時(shí)，如果切削力較大，必須選擇較小的切削速度。又如汽車上坡時(shí)，由于需要較大的驅(qū)動(dòng)力，這時(shí)駕駛員必須換用低速擋，以求在發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定的條件下，產(chǎn)生大的驅(qū)動(dòng)力。第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日力矩或轉(zhuǎn)矩M的元功為則作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為

(8-20)式(8-20)表明：力矩或轉(zhuǎn)矩的功率等于力矩與物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的乘積。國(guó)際單位制中，功率的單位是焦耳/秒(J/s)，稱為瓦(W)

工程中若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度用轉(zhuǎn)速n(單位為r/min)給出，轉(zhuǎn)矩的單位為N·m，則可改寫(xiě)為常用的形式

(8-21)或?qū)憺檗D(zhuǎn)矩的表達(dá)式

(8-22)第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●8.4.2功率方程任何機(jī)器工作時(shí)必須輸入一定的功，用表示，機(jī)器做了有用功，用表示，同時(shí)機(jī)器要克服無(wú)用阻力，消耗一部分功，用表示。根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式，有將上式兩邊除以對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔dt，并以、、分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)輸入的功率、有用阻力消耗的功率和無(wú)用阻力消耗的功率，則(8-23)式(8-23)稱為機(jī)器的功率方程，它表示任一機(jī)器輸入、輸出功率和機(jī)器動(dòng)能變化率之間的關(guān)系。第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)機(jī)器啟動(dòng)或加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，，故要求，即輸入功率要大于輸出功率；當(dāng)機(jī)器停止運(yùn)轉(zhuǎn)或負(fù)荷突然增加時(shí)，機(jī)器做減速運(yùn)動(dòng)，，此時(shí)，即輸入功率小于輸出功率；當(dāng)機(jī)器勻速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，，，即輸入功率和輸出功率相等，稱為功率平衡?！?.4.3機(jī)械效率

機(jī)械效率是指機(jī)械在穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，有用輸出功率與輸入功率之比，用表示，即 (8-24)機(jī)械效率說(shuō)明機(jī)械對(duì)于輸入能量的有效利用程度，是評(píng)價(jià)機(jī)械質(zhì)量的指標(biāo)之一。它與機(jī)械的傳動(dòng)方式、制造精度和工作條件有關(guān)，一般情況下。第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

【例8.3】車床電動(dòng)機(jī)的功率P=4.5kw，當(dāng)穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)主軸的轉(zhuǎn)速為n=42r/min，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由于摩擦而損耗的功率是輸入功率的30%，工件的直徑d=100mm，求此轉(zhuǎn)速下的切削力。解：車床穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，，輸入功率與輸出功率相等。即而，代入上式得表示切削力的功率，即第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日●

8.5普遍定理的綜合應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理。它們以不同的形式建立了質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理分別建立了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量和動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之間的關(guān)系，它們是矢量形式的。動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與作用于質(zhì)點(diǎn)系上的力的功之間的關(guān)系，是標(biāo)量形式的。作用在系統(tǒng)上的力在動(dòng)量和動(dòng)量矩定理中一般按外力和內(nèi)力分類。在動(dòng)能定理中力一般按主動(dòng)力和約束力分類，在理想約束的情形下約束力的功之和為零。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系普遍定理可以解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于具有理想約束的一個(gè)自由度系統(tǒng)，經(jīng)常用動(dòng)能定理解決已知力求運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律確定后，一般用動(dòng)量或動(dòng)量矩定理求未知約束力。第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例8.4質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的固定大圓槽內(nèi)做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。試列寫(xiě)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：(1)以圓柱體為分析對(duì)象。(2)圓柱體的受力圖如圖8.11所示，在只滾不滑的情形下，摩擦力F及正壓力不做功，只有主動(dòng)力mg做功，所以為理想約束的情形。(3)選為廣義坐標(biāo)，正方向如圖所示。系統(tǒng)的動(dòng)能第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日代入上式后得(4)應(yīng)用動(dòng)能定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系。動(dòng)能定理的微分形式給出在理想約束的情形下，為主動(dòng)力的元功之和。圖中為廣義坐標(biāo)的微小增量，正方向如圖所示。圓柱體質(zhì)心C的微小位移為，重力的元功為。代入上式得第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日兩邊同除以dt，得由此得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

①討論：本題也可用機(jī)械能守恒定律求解，設(shè)圓柱體的初始位置在質(zhì)心位于最低位置處，此時(shí)圓柱體的動(dòng)能為，即給圓柱體一初始速度，勢(shì)能。第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例8.5均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受到微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛達(dá)到地面時(shí)的角速度和地面約束力。解：(1)以直桿為分析對(duì)象。(2)直桿的受力圖如圖8.12所示，由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，倒下過(guò)程中質(zhì)心沿鉛直下落。正壓力不做功，只有主動(dòng)力mg做功，所以為理想約束的情形。第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)設(shè)桿左滑于任意角度，如圖8.12(a)所示，P為桿的瞬心。由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，桿的動(dòng)能為由動(dòng)能定理當(dāng)＝0時(shí)(4)剛到地面時(shí)，受力如圖8.12(b)所示，由剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程，可得第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日點(diǎn)A的加速度aA為水平，由質(zhì)心守恒，aC應(yīng)為鉛垂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知沿垂直方向投影，得故

第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題8-1作為物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的兩種度量，動(dòng)量和動(dòng)能二者有何異同？8-2對(duì)于單個(gè)力來(lái)說(shuō)，當(dāng)它做功為零時(shí)，它的沖量是否為零？對(duì)力系來(lái)說(shuō)，當(dāng)它的沖量為零時(shí)，它的功是否也一定為零？8-3設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力系的主矢和主矩都等于零。試問(wèn)該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能及質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)不會(huì)改變？為什么？試舉一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例加以說(shuō)明。在什么情況下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能不會(huì)改變？8-4運(yùn)動(dòng)員起跑時(shí)，什么力使運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)心加速運(yùn)動(dòng)？什么力使運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能增加？產(chǎn)生加速度的力一定做功嗎？第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日8-5三個(gè)質(zhì)量相同的質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)由點(diǎn)A以大小相同的初速度v0拋出，但其方向各不相同，如圖8.13所示。如果不計(jì)空氣阻力，這三個(gè)質(zhì)點(diǎn)落到水平面H－H時(shí)，三者速度的大小是否相等？三者重力的功是否相等？三者重力的沖量是否相等？8-6均質(zhì)圓輪無(wú)初速的沿斜面純滾動(dòng)，輪心降落同樣高度而到達(dá)水平面，如圖8.14所示。忽略滾動(dòng)摩擦和空氣阻力，問(wèn)到達(dá)水平面時(shí)，輪心的速度v與圓輪半徑是否有關(guān)？當(dāng)輪半徑趨于零時(shí)，與質(zhì)點(diǎn)滑下結(jié)果是否一致？輪半徑趨于零，還能只滾不滑嗎？第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日8-7兩個(gè)均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量相同，半徑不同，靜止平放于光滑水平面上。如在此二盤(pán)上同時(shí)作用有相同的力偶矩，在下述情況下比較二圓盤(pán)的動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能的大?。?1)經(jīng)過(guò)同樣的時(shí)間間隔；(2)轉(zhuǎn)過(guò)同樣的角度。習(xí)題8-1如圖8.15所示，坦克的覆帶質(zhì)量為m，兩個(gè)車輪的質(zhì)量均為m1。車輪被看成均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為R，兩車輪軸間的距離為。設(shè)坦克前進(jìn)速度為v，試計(jì)算此質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。8-2長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以球鉸鏈O固定，并以等角速度繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖8.16所示。如桿與鉛直線的交角為，求桿的動(dòng)能。第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日8-3如圖8.17所示，平面機(jī)構(gòu)由兩勻質(zhì)桿AB，BO組成，兩桿的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為l，在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。在桿AB上作用一不變的力偶矩M，從圖示位置由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦，試求當(dāng)A即將碰到鉸支座O時(shí)A端的速度。8-4如圖8.18所示，鏈條全長(zhǎng)l=1m，單位長(zhǎng)的質(zhì)量為,懸掛在半徑為R=0.1m，質(zhì)量m=1kg的滑輪上，在圖示位置自靜止開(kāi)始下落(給以初始擾動(dòng))。設(shè)鏈條與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪為均質(zhì)圓盤(pán)，求鏈子離開(kāi)滑輪時(shí)的速度。第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日8-5在如圖8.19所示的滑輪組中懸掛兩個(gè)重物Ⅰ和Ⅱ，其中Ⅰ的質(zhì)量為m1，Ⅱ的質(zhì)量為m2