常系數(shù)高階線性微分方程

常系數(shù)高階線性微分方程1第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法2第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日1、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式3第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設(shè)特解4第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日綜上討論注：上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.①5第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例1.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為6第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為7第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例3.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得所求解為8第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日解例4.則由牛頓第二定律得解得代入上式得9第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日2、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點10第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第一步利用歐拉公式將f(x)變形11第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:12第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為m次多項式.13第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日第四步分析因均為m次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),14第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.15第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例5.

的一個特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解16第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例6.

的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為17第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例7.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:18第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),上節(jié)例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設(shè)時刻t物位移為x(t).(1)自由振動方程：成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.(2)強迫振動方程：19第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例8.求物體的運動規(guī)律.解:問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方程

當p

≠k時,齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為上節(jié)例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④20第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日當干擾力的角頻率p

≈固有頻率k時,自由振動強迫振動

當

p

=k時,非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為21第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡量靠近,或使隨著t的增大,強迫振動的振幅這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p遠離固有頻率k;p

=k.自由振動強迫振動對機械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理.22第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.23第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日思考與練習(xí)時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)24第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日2.

求微分方程的通解(其中為實數(shù)).解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為25第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為26第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日二、歐拉方程歐拉方程常系數(shù)線性微分方程27第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日歐拉方程的算子解法:

則計算繁!28第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:29第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例1.解:則原方程化為亦即其根則①對應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①30第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確定系數(shù),得31第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例2.解:

將方程化為(歐拉方程)

則方程化為即②特征根:設(shè)特解:代入②解得A=1,所求通解為32第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期日例3.解:

由題設(shè)得定