數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)全稿

本課程的主要內(nèi)容：三種典型方程的建立＋具體邊界條件不同方程的求 分離變量法(有界)特殊函數(shù) 方程結(jié)果的圖形并結(jié)合PPT作物理解釋.順便復(fù)習(xí)鞏固高數(shù)及普物相關(guān)內(nèi)容.F(x,x,,x,u;

u; x,x,,

x2,) uu(x1x2xn)為多元函數(shù). 二階線性非其次偏微分方程xy2yxu(x,y)xy21x2yF(x)G(2注意：通解所含獨立函數(shù)的個數(shù)＝偏微分方程的階數(shù)L[u]G(x,當(dāng)u為方程的解，則cu(cRL[u1H1xyL[u2H2xyL[u1L[u2H1xyH2xy).若ukL[ufk(k1,2,的解(L偏微分算符), k k k的解；特別地，若uk是方程L[u]0的解，則u k 2ua22uf(x,y,

描述：各項同性的彈性體的波動、振動過程、聲波、電磁波的規(guī)律等拋物型方程：以熱傳導(dǎo)方程為代表ua22u描述：擴散過程、熱傳導(dǎo)過程滿足的規(guī)律

f(x,y,Poisson方程為代表2uf(x,yz;t).當(dāng)f(x,y,z;t)0時，方程為Lace方程描述：穩(wěn)定場方程，如重力場、靜力場、靜磁場“采用法”研究一小段(x,xdx)與外界的相互作用以建立方程.假設(shè)：(1)弦是完全柔軟的，所以張力T沿著弦振動波形的切線方向；；

3 itan3i cosi i而uktands1u)2dx 根據(jù)第二運動定律，在(縱向)水平方向上T(xdx)cos2T(x)cos10T(xdx)T(x)T

Tsin2Tsin1g(ds)(ds)

]g(ds)(ds)uttxf(xdxf(xf'(x)dx T[x2dx]g(ds)(ds)uttTx2gutt

a2

uxx (uxxx2,

T221.1ua2u.

a2uxxf(x, 則(**)f(xt)F(xt通常還是時間t的函數(shù).下面來建立分布于傳輸線上的電壓v(xt)及電流i(xt) x處的電壓及電流分別為v(xt及i(xtv(x,t)v(xdx,t)RdxiLdxi令dx0，則v(xdxtv(xt)vxdx.vRiLi 流總和.另一方面，流經(jīng)分支電容及電導(dǎo)的電流分別為Cdxv及Gdxv.因此 i(x,t)i(xdx,t)CdxvGdx 同樣令dx0，則i(xdxti(xt)ixdxiCvGv0. 由(*)及(**)可以分別得到v(xt)及i(xt)2v 2v v

LC (RC

特別地，當(dāng)信號在無失真線上時(RCLG)，傳輸線2v12v2v

a2t a v(a21,22i12i2i a2t a

ii 它與波動方程具有類似的數(shù)學(xué)形式

象叫做熱傳導(dǎo)現(xiàn)象.支配熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的定律為能量守恒定律及定律.(2).定律在dt時間內(nèi)，通過面積元dS流入小體積元的熱量dQ與沿面元外法線方向的溫度變化率u成正比，也與dS及dtdQkudSdtk(u

dS現(xiàn)在求t時刻，物體內(nèi)各點溫度u(x,y,z;t)應(yīng)滿足的規(guī)律首先，根據(jù)定律，從t1t2時刻，通過曲面S流入體積V的全部熱量Q

ku 1

dS其次，從t1t2時刻，體積V 1

F(x,y,z;t)dV]再次，從t1t2時刻，體積V 1

dV] Q最后，根據(jù)能量守恒定律，得Q1Q2Q3t

t2

c2 kudS]dt

F(x,y,z;t)dt

dV]

kuF(x,y,z;t)dV dV d SS

Ad

AdV.(A udVF(x,y,z;t)dV kuF(xyz;t)cuk2u1F(xyz;t)u ua22u1F(x,y, (a2k u (a2k 在三維直角坐標(biāo)系下，u 靜電場滿足的Poisson方程.考慮在介電常數(shù)為0

Eu，其中u為靜電勢，

2u/u Ef/ 方程2u定義：說明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)u(x,y,z;t)|t0(x,y,u(x,y,z;t)|t0(x,y,u(x,y,z;t) (x,y,z) t 所示，然后放手任其自由振動.寫出它的初始條件2hx,0xl/ u(x, 2h(lx),l/2x t).u(x,y,z;t)|f(x0,y0,z0;t);x0,y0,z0例如：弦的兩端固定，其邊界條件為u(0,t)0,u(lt)第二類邊界條件 ann).給出未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值u(x,y,f(x,y,z;t);u(x,y, 則其邊界條件為kun|xaf(tkun|xa0.第三類邊界條件(Robin).給出未知函數(shù)在邊界上的值與邊界的法向?qū)?shù)值之u(x,y,z;t)ku(x,y, f(x,y,z;t);x,y,z,k

強度kun|xa與溫度差u|xau0ku h(u u)(uku un h 其中u0為周圍介質(zhì)的溫度例2.長為lxc(|xc|的作用.寫出定解條件解：(1)u(0,tu(lt(2)初始條件.u(x0)0.|xc|段，由動量定理p

FdtI及pmu(x0)2u(x1 1u(x,0) I |xc|所以 所以 u(x,0) |xc|如果一個問題的解是存在、唯一且穩(wěn)定的，則稱此問題是適定的 0件，才可以實施變量分離 u (0xl,t

u(x,t)|x00,u(x,t)|xl0.(tu(x,t)|t0(x),ut(x,t)|t0(x).(0x用分離變量法求解【解】第一步：分離變量將分離變量形式的試探解u(xtX(xT(t代入齊次范定方程和齊次邊界條件，X(xT''(ta2X''(xT(t0X''(x)T''(t) X X''(x)X(x)范定方程 T''(t)aT(t)齊次邊界條件X(0)T(t0,X(lT(t0(t0X(0)X(lX''(x)X(x)X(0)X(l)分0,0,0三種情形逐一加以分析

①當(dāng)0時.(1)X(xCexCex常數(shù)CC 即X(x)CexCex C1C2 X(0)X(l) CelCel X(x0u(xt0.無意義，不合題意②當(dāng)0時1)X(xC1xC2由邊界條件同樣得到C1C20.X(x)0u(xt)0.無意義，不合題意，也應(yīng)舍去③當(dāng)0時.(1)的通解為X(x)C1cos xC2sin X(x)C1cosxC2sin x C0X(0)X(l)C10,C2 l

lC2 l此時，若 l0C20u(x,t)0.所以一定

l0 ln(nZ)n l Xn(x)

sinnx.

注意：分離變量過程中引入的常數(shù)l

意義的解.常數(shù)的這種特定數(shù)值稱為本征值，相應(yīng)的解稱為本征函數(shù).方程(1)構(gòu)第三步：求解T(t滿足的常微分方程將n

l

代入T''(ta2T(t0T''(t)(na)2T(t)0T(t)C'cosnatD'sinnal 式中CD'

第四步：作特解的線性疊加.u(x,t)X(x)T(t){Csinnx}{C'cosnatD'sinna

u(x,t)

nn第五步：由初始條件確定系數(shù)代入初始條件u(xt|t0(xut(xt|t0(x0xl

(sinnx)l

nn

l

x)(x)l

dx

l .(m,n1, 2用sinmxx0到llC2l(x)sinnxdx.(n1, l u(x,t)(sinnx)(CncosnatDsinnat)Ecos(t)(sinn 式中E ]2,na,

. 因此un(x,t)代表這樣的振動波：在所的弦上各點以同一圓頻率做簡諧振動其振幅為|

lxl (nx ,, l這些點上，振幅為零，這些點稱為波u的n 點xl,3l,(2n1)l這些點上，振幅達到最大值，這些點稱為波u的2n 的介質(zhì)中去，桿內(nèi)初始溫度分布為(x)，求桿內(nèi)溫度隨時間的變化規(guī)律.

ua22u,0xl,t

u(0,t)0,u(l,t)hu(l,t) u(x,0)第一步：分離變量.令u(xtX(x)T(t X''(x)T'(t)X''(x)X(x) X

T'(t)aT(t)X(0)0,X'(l)hX(l)X(0)0,X'(l)hX(l)分0,0,0三種情形逐一加以分析①當(dāng)0時.(1)X(xCexCex常數(shù)CC 即X(x)CexCexC1C21 1X(0)0,X'(l)hX(l) el

elhC

lhCelC1C2

X(x0u(xt0.無意義，不合題意②當(dāng)0時1)X(xC1xC2由邊界條件同樣得到C1C20.X(x)0u(xt)0.無意義，不合題意，也應(yīng)舍去③當(dāng)0時.(1)的通解為X(x)C1cos xC2sin X(x)C1cosxC2sin x C0X(0)0,X'(l)hX(l) lhC2 lC0,C l )0 l 可以看成是曲線y1 l與直線y2 h

交點的橫坐標(biāo)(如圖2.1

Xn(x)C2 0 X第三步：求解T(t)滿足的常微分方程 將n代入T'(t)a2T(t)0中，得nn第四步：作特解的線性疊加.u(x,t)X(x)T(t)

x{Cena2t}Cena2t

u(x,t)

Cena2t n代入初始條件u(xt|t0(x(0xlu(x,0)(x)

Cn nll x xdxL ,L l 用 nC1l(x)n

xdx.(n1,Ln將Cn代回u(xt)的表達式即得定解問題的解數(shù)乘起來成為un(x,t)，這時un(x,t)中還包含著任意常數(shù).“Iu(0,t)u(l,t)X(0)X(l)lux(0,t)ux(l,t)X'(0)X'(l)lu(0,t)ux(l,t)X(0)X'(l)lux(0,t)u(l,t)X'(0)X(l)cos(n1/2)x,n0,1,l到穩(wěn)定狀態(tài)時圓盤內(nèi)的溫度分布 1 1u()220( 自然邊界條件及周期邊界條件： 第一步：分離變量.令u(,R()( R''R' ''

R(0)

()(2()(2

R(0))先解((2)當(dāng)0時，它的解為n()a'ncos b'nsin 且 取n1,2,，則 n()a'ncosnb'nsinn.2R''R'n2R R(0) d CDtCDln ndt

nR0RCentDentCnDn

n u(,)n(acosnbcosn)n(ccosndcosn u(,)uCDln{n(acosnbcosn

u(,)a0n(acosnbcosn).(Ca0

第三步：確定系數(shù)anbn.由于u|0f( f()

n(acosnbcosn 0 0a

na 0 nb

00 將這些系數(shù)代入u(,表達式式即得所求的解.1.解下列定解問題 1 1u222.u|2 a2,a0(n1),b0u(,)2

u(xt) 項按此特征函數(shù)展開，即f(x,t) 例 求解兩端固定弦的強迫振動的規(guī)u f(x,t),0xl,t u(0,t)0,u(l,t)u(x,0)(x),u(x,0) u 0,0xl,t X''(x)X(x) X(x)sin u(0,t)0,u(l,t) X(0)0,X(l) 將u(x,t),f(x,t)按本征函數(shù)系 x;n1,2,}展lu(x,t)T(t)sinn 由{sinnxn1,

f(x,t)

f(t)sinnlnlf(t)2lf(x,t)sinnx l na)2T(t)]sinnxf(tsinnx.再次由{sinln[T''n(t)( ln

lT''(t)(na)2T(t)f n(x)u(x,0)T(0)sinnn (x)u(x,0)T'(0)sinnl l2 T(0)

(x) dx l l20T'(0)

dxdx l T(t) tf()sinna(t)d

lsinnat.(n1, na0 注意：此方法也可以求解齊次線性偏微分方程 斯變換法:T(t)L1[fn(p) n ].kna p2k p2k p2k 例 用特征函數(shù)法求解非齊次方程的定解問題u Acosxsint,0xl,t u(0,t)0,u(l, u(x,0)(x),u(x,0) 0,0xl,t X''(x)X(x) X(x)cos X(0)0,X(l) 將u(x,t),f(x,t)按本征函數(shù)系 x;n1,2,}展lnu(x,t)T(t)cosnn na ll

)Tn(t)]cos xAcos sint.再次由{cos T''(t)(a)2T(t)Asint;T''(t)(na)2T(t) n1 n(x)u(x,0)T(0)cosnn (x)u(x,0)T'(0)cosnl l結(jié)合余弦系數(shù)，T(0) (x)dxl l

0 (x)dxl l 及T(0)2l(x)cosnxdx l T'(0)2l(x)cosnxdx l

T1(t)a2(a/l)2(sin lsint)1cos a1sinl

.(nll將以上表達式代入u(xt)Tn(tl

x中即可例1.u f(x,t),0xl,t u(0,t)u(t),u(l,t)uu(x,0)(x),u(x,0) 解：第一步：將邊界條件齊次化.為此令u(xt)V(xtW0(xtW0xt使V(xt的邊界條件為齊次的，即V(0,t)V(lt)此式成立，只需W0(0,tu1t),W0ltu2t).而滿足此式的函數(shù)有多種，最簡單的是取W0(xt)x的一次式，即設(shè)W0(x,t)A(t)x W(x,t)u2(t)u1 uW0(0,t)u1(t),W0(l,t)

u2(t) u(xt)V(xtW(xt)V(xtu2(tu1 u(t).而V(xt V f(x,t),0xl,t 定解問題：V(0,t0,V(lt V(x,0)(x),Vt(x,0) (x,t)f(x,t)[u1(t)

u(0) (0)1

u1(0)' u'(0)lu''(x)(x)[u1(0) f(xtf(xu1tC1u2tC2均與t無關(guān)，則可以選取W0xtW0x滿足范定方程及對應(yīng)邊界條件，使得V(xt)滿足的方程與邊界均為齊次的.例 求解定結(jié)問 a2,uttauxx

xl,t lu(0, 0,u(l, u(x,0)0,ut(x,0)解：第一步：設(shè)u(xt)V(xtW(xt

,0xl,t W(0,t)0,W(l,t) 此時W(xt滿足以上三個條件，不妨設(shè)W(xW(xk12

待定系數(shù).將其代入上式，可求得W(xt1x2

)x.

V 0,0xl,tV(0,tV(0,t)0,V(l,t) V(x,0)u(x,0)W(x,0)10

(

數(shù)展開法；非齊次方程＋非齊次邊界先作函數(shù)代換，將邊界條件齊次

ax2bxycy2dxeyf0.b2類比：考慮兩個自變量(x,y

D(x,y)uE(x,y)uA(x,y)G(x,

C(x,y)y2

F(x, 定義1：特征方程特征曲線稱A(dy)2B(dy)C0dy 2為偏微分方程的特征方程，其構(gòu)成的曲線為特征曲線在求解具體特征方程時，需要分三種情況討論判別式B24①B24AC0.(xyC1,(xyC2. 2u uu(x, (x, (,,u,, u再令,221(,u0一維波動方程，比如弦的振動方程，電報方程等都是標(biāo)準(zhǔn)的雙曲型方程 ②B24AC0.特征方程一定有重根 2

(x,yC0.(x,y),(x,y)

(,,u,u,u)(x,y)

稱為拋物型方程，一維輸運方程，比如熱傳導(dǎo)方程等都是標(biāo)準(zhǔn)的拋物型方程③B24AC0.(xyC1,(xyC2. 2u uu(x, (x, (,,u,, u再令,j(222(,u例 討論方程y2uxxx2uyy0(xy0)的類型，并化 解：Ay2,B0,Cx24x2y20.因此，該方雙曲型方程.方程對應(yīng)的特征方y(tǒng)2(dy)2x20(dyx)(dyx)0ydyxdx d(1x21y2)01x21

121y2c

c1,2 特征曲線為1x21y2c,1x21y2c 1x21y2,1x21

u u 2(22) 2(22)例2.將偏微分方程x2uxx2xyuxyy2uyy0(y0)化 ，并求其通解Ax2B2xyCy20，為拋物型方程.x2(dy)22xydyy20(xdyy)0yc 令y,y.x 0 y yF(x例3.判斷偏微分方程uxxuxyuyyux0的類型，并化為解：A1,B1,C10，故所給方橢圓型.特征方(dy)2dy10dy1

G(x3yx yx 3 令

yx 3 yx j() j()2u2u2u 22 33auxxbuxycuyy0,abcR假設(shè)方程具有如下形式的行波解(自變量的線性組合u(xyFyx).

a2bcb24ac0,對應(yīng)于雙曲型方程，有兩個不同的根12u(x,y)F(y1x)G(y2b24ac0,對應(yīng)于拋物型方程，有兩個同根 u(x,y)F(y1x)xG(yb24ac0,對應(yīng)于橢圓型方程，有兩個虛根12u(x,y)F(y1x)G(y2auxxbuxycuyyduxeuyfu0.(a,b,c,d,e,f假設(shè)方程具有如下形式的行波解u(xy)exppxqyap2bpqcq2dpeqfb24ac0,對應(yīng)于雙曲型方程，有兩個不同的根q1pq2pb24ac0,對應(yīng)于拋物型方程，有兩個同根q1pq2pb24ac0,對應(yīng)于橢圓型方程，有兩個虛根q1pq2p例 求uxx2uxy2uyy0的行波解解：根據(jù)a1,b2,c2b24ac0,22201j,1 u(x,y)F(yxjx)G(yx例 求解uxx2uxyuyy2ux2uyua1,b2,c10,q1q21pu(x,y)(c1c2x)exp{p(xy)考慮一維弦的振動問題u u(x,0) (x,t0,au(x,0)容易得到b24ac0,為雙曲型方程.2a20a,au(x,t)F(xat)F(x 確定未知函數(shù).F(x)F(x)

()dF(x)F(x0x0

a F(x)(x) x()d1{F(x)F(x 2a

F(x)(x) x()d1{F(x)F(x 2a u(x,t)1[(xat)(xat)]1xat()d 2a上式稱為，其中,分別為二次及一次可微函數(shù)始條件確定.首先闡明F2(xat)的意義，另一個類似.f(xxxvtxdx0v，假定a0 )形函數(shù)F2(xat)是以常數(shù)度a向x軸正方向的，即它代表一個右行波.于例1.u u(x,0)cosxu(x,0)e

(x,t0,au(x,t)1[cos(xat)cos(xat)]1xatedcosxcosat 2a2.已知初始位移為零，即u(x0)(x)0. u(x,0)(x)0,x(x1,x2 0,x(x,x 的弦振動，求此振動過程位移的分布解： ，可得u(x,t)1xat()d(xat)(x2a (x)

()d

(xx),xxx2a 11 (xx),x ua2(u u) t u (x,y, (x,y,z,t t u (x,y,tt SSu(M,t) 0dS10SS 4a at atSMxyz|x'x)2y'y)2z'z)2at)2MM(xy 假設(shè)0xyz,00，求此定解問題.u(x,y,z;t) 2xyzat(sincossinsincos)(at)2sindd4at0 [at(xyz)2dsinda2t2 (sincos)dsin2a2t2

dsincosdxy u f(x, u(x,0) (x,t0,au(x,0)根據(jù)物理意義，該問題可以等效為求解一些列前后相繼的瞬時沖量f(x,)(0tv v(x,) (x,t,av(x,)f(x,的解v(xt;的疊加.u(x,t)0

v(x,t;)d1t[xa(t)f(,)d]d2a xa(t1.u x u(x,0) (x,t0,au(x,0)解：根據(jù)以上，可 xa(t) xt2 u(x,t)2a0[xa(t)(a)d]d26.u f(x, u(x,0) (x,t0,au(x,0)按照疊加原理，可令其解為uuIuII.而uIuII

2aauI(x0 (xt0,a0)uI(x,0)

f(x,uII(x,0) (x,t0,auII(x,0) 故u(xt)uI(xtuII(x1[(xat)(xat)]1xat()d1t[xa(t)f(,)d]d2.

2a xa(tu x u(x,0)u(x,0)sin

(x,t0,af(xtxat,(x)x,(xsinx.uI1[xatxat1xatsindx1sinatsinx. 2a xa(t) xt2 u(x,t)2a0[xa(t)(a)d]d26.所 u(x,t)

1sinatsinxxt2at3x x①根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換.(,)變換；(0,)變換.③對定解條件取相應(yīng)的變換ODE方程的定解條件⑤對所得解取逆變換，即得原問題的解是連續(xù)的，所求解可表示為對連續(xù)本征值的積分.弦的振動問題結(jié)果與一致(略u f(x,考慮 (x,t0,aF[u(xtU(tFf(xtG(tF[(x(對定解問題作 U(,t)()e2a2ttG(,)e2a2(t)d0 a22tj 1 d exp( )F ] exp( 2 2a

4atF1[F()F()] f(x)f(4a d d4a d du(x,t)

{(x)2 1 t

(x e4a2(t

y'P(xyQ(xyCePx)dxePx)dxeP穩(wěn)定場問題uxxuyyu(x,0) (x,ylimu(x,y)F[u(x,y)]U(,y),F[g(x)]U(,y)2U(,y) U(,y)C()e||y U(,0)G(),limU(,y) e||yejxd1[eyejxd0eyejxd].2 1 ] 2y y (x2y2再利用卷 f(x)f()d，最后得到原問題的解 u(x,y) [(x)2y2u C(有限 u(x,0)0,ut(x,0) (0x,tu(0,t)0,u(x,t)

pODEd2U(x,p)

U(x,p) 求函數(shù)U(x,pU(x,p)=Cepx/aCepx/aC/和，即

C0,C2C/p3.U(0,p)0,limU(x,p)有限

U(x,

-Cepx/a p3 t

f(t),tL[ ],L

f(p)]0,t

C[t2(tx)2],tx/ u(x,t)L[U(x,p)]=L p3]

2,tx/

Green設(shè)V為以為邊界的有界區(qū)域，P(xyzQ(xyzR(xyz在V上連續(xù)，在(PQR)dV

AdVAd

uvdS(uv)dVu(v)dVuGreen第一

uvdSu2vdVuvdV SS

v

)dS(u2vv2u)dV 函數(shù)的概念現(xiàn)考慮具有統(tǒng)一邊界條件的泊松方程問題.2u(r)f S[unS

為求解此定解問題，我們定義一個與此問題相應(yīng)的函數(shù)G(r,r0)，它滿足2G(r,r)(rr

.

S ]S 該定理表明：位于r0處的脈沖在一定的邊界條件下在r處所產(chǎn)生的影響(場)，等于沖移至r處在同樣的邊界條件下在r0處產(chǎn)生的影響(場).取vG(r,r0),u (uvvu)dS(u2vv2u)dV中， {u(r)G(r,r0)G(r,r)u(r)}dS {u(r)2G(r,r)G(r,r VV利用函數(shù)的性質(zhì)，有u(r)(rr0dVu(r0 G(r,ru(r) G(r,r)f(r)dV {G(r,r

0

n式稱為泊松方程的基本積分.利用函數(shù)的互易定理G(r,r0)G(r0,u(r) G(r,r)f(r)dV {G(r,r)u(r0)u(r)G(r,r0)}dS 接利用積分求得三類邊值問題的解.但是，當(dāng)我們對函數(shù)提出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件時，上述就可以解決了. 分及其應(yīng)用，現(xiàn)在討論函數(shù)所滿足的各類邊界條件.u(r 相應(yīng)的函數(shù)G(r,r0)滿足如下定解問 0u(r) G(r,r)f(r)dV (r)G(r,r0)dS 00

2u(r)f (r

2G(r,r)(rr

SS SS

[un](rS 2G(r,r)(rr

.

S ]S G[un

SG(r,r [Gnun

u[G(r,r) 0] S S S0 S00u(r) (r)G(r,r0)dS0

VV0其中G(rr滿足2G(rr(rr下面具體討論G(rr的求法 G(r,r) u(r) f(r 0dV 4|rr |rr 取球坐標(biāo)系(r,,)，則G(rr00)G(r)只是r的函數(shù)，則2G(r)(r)1d(r2dG)當(dāng)r0時，其解為G

r2 C1C由于limG0C r

(r)dVdSG(r) 1dS

G(r)dS12 (C1)r2sindd 4C1C1G(r) 若點電荷位于任意點r0G(r,r)

.4|rr0 u(r) f(r) dS0 0ln0 0 |rr0

0|rr00證明：對于二維情形，只需單位長度的圓柱代替上一情形中的球即可 2G(r)dV(r)dV1G(r)dS r rddz1G

G(r)

等式中常數(shù)取為零.所以G(rr1

0二 區(qū)域的解為u(r)0

f(r) |rr0 還在于函數(shù)的本身求解.對于一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的函數(shù)構(gòu)建方法.定義1電像法首先我們來考慮一個具體的物理模型：設(shè)在一個接地導(dǎo)體球內(nèi) 0學(xué)的鏡像原理來構(gòu)建函數(shù)的，所以這種方法稱為電像法或鏡像法.下面通合適的電荷，以滿足邊界條件.以后求解時可直接利用基本函數(shù)求解.2G(r,r)(xx,yy位分布，也即本問題 函數(shù)，即

0G(r,r)1ln 1ln |rr |rr(x(xx0)2(yy0G(x,y|x,y)1

1 1

(xx)2(yyG(x,y|x,y)

(xx0)2(yy0例 考慮泊松問題的第一類邊值問

f(x, x,y0 x,yu(x,y)G(xy|xyf(xy)dx (x dx 0

0

0y0G(x,y|x,y)

1ln[(xx0)2(yy0

(xx0)2(y

y

(

y

0[(xx0)2y20

y

[(xx0)2y2 (xx)2(yy 1 y(xu(x,y) f(x0,y0) 0 02]dx0dy0 24 (xx0)(yy0 [(xx0)y處放置一正單位點電荷，根據(jù)電像法，則虛設(shè)的負(fù)單位點電荷應(yīng)該在G(r,r0)

|rr 4|rr 例2.在上半空間z0內(nèi)求解方程的第一類邊值問2uu z

z2GG G(xx)(yy)(zz 0根據(jù)物理模型可以構(gòu)建函數(shù)如上.因z0

z0z0

2[(xx0)2(yy0)2(zz0)2]3/2代入第一類邊值問題的，0u(x,y,z) 0

,y0

dxdy [(xx)2(yy)2(zz)2]3/ 這個叫做半空間的積分u1ln ln |ρρ0| |ρρ1|當(dāng)觀察點Pa時，應(yīng)該有u01ln[a222acos()]ln[a222acos()]0

4a22acos( 4a22acos( [a222acos()][a222acos()]

1,1 于是圓形區(qū)域的第一類邊值問題(內(nèi)問題)的函數(shù)G(ρ,ρ)1 1 0 0

|ρa2e0 22a42a2cos(G(ρ,ρ) 0 a2[222cos( 其中， x2y2, x2y2 |ρ| u(ρ) |ρ u(ρ) G(ρρf(ρ)dS (G(ρρ0 dl S0 0

0a20

000 0

2a[2a22acos()]a 22a42a2cos(u(,) ln{20 0}f(0)0d0

a[020cos(0(a22)( d0. 2[2a22acos(01rr2rrcos 001rr2rrcos 00u1(14

q)1

其中rr(sincossinsincosr0r0(sin0cos0sin0sin0cos0

P位于球面上即ra處時，若要滿足u0

r1 因此，球形區(qū)域(ra)第一類邊值問題的函數(shù)

1 2u(r)f(r),|r|u(r)( |r|a u(r) G(r,r)f(r)dV u(r) dS

G(r,r

0r0a2r

0

u(r)a2G(r,r)f(r)r2sindrd00 0 2 (a2r2)(,

sindd4 [a2r22arcos]3/ 及球坐標(biāo)系下進行分離變量，也會得到幾類特殊的數(shù)理方程，如方程、勒量法的理論基礎(chǔ)－SL理論.

§5.1方程的引u2u y2u|t0(x,解：用分離變量法求解此問題

x2y2

令u(xy;t)V(x,y)T(t2V

2V)TT' y2.( 由此，可以得到函數(shù)T(t),V(x,y2V2VV0Helmhotz求解Helmhotz方程

1 1x2y2V 2 V0,R 2V x2y2

V|

再令V(,R()().代入Helmhotz由于(為周期是2的周期函數(shù)，所以n2n0,1,2,02R''()R'()(2n2)R()0再作變換r ，則有r2F''(r)rF'(r)(r2n2)F(r) §5.2勒讓德(Legendre)方程的引出考慮球坐標(biāo)系下Lace方程的求解問題 2u2u2u 1 2u (r

) r2 r2sin解：用分離變量法求解此問題令u(r,,R(r)()(

r2sin2以r

1 2 (r )R1 2 r2 r2sin r2sin2d1 2 d (r ) (sin ) R sin sin2d1

2dR) d(sind) R sin sin2d記該常數(shù)為n(n1(r2dR)n(nR d (sin ) n(nsin sin2dr2d

dr22r

n(n1)R0EulerEquationLetrsin 1d

)n(n1)sin2 dR(r)ArnAr1dd

sind(sind)n(n1)sin2 R(rArnAr(n1),(BcosmB d2

d[n(n1)

sin2]nnxcos(1x1，并改記(P(x 2d Pn(x則上式可變?yōu)?1x)dx22xdx[n(n1)(1x2]P若u(r,,與無關(guān)，則m0，此時上式可以進一步簡化為(1x2)d2P(x)2xdP(x)n(n1)P(x) u(r,,)

(Cn,m(Cn,mrnDn,mrn1)P|m|(cos)sin a(x)y''(x)b(x)y'(x)c(x)y(x)y(x)0,axd[k(x)dy(x)]q(x)y(x)(x)y(x)0,axb

取k(x)xq(x)

n2(xxa0,bR則(*)Besselx d2 [x ] yxy0x yxy0. k(x1x2q(x0,(x1,a1,b1,y(1)有界，則(*)式可以轉(zhuǎn)化為Legendred[(1x2)dy]y0(1x2)d2

2xdyy 取k(x)1

mq(x1x2(x1,a1,b1,y(1)有界，則(*)m 2 2d2 [(1x ] yy0(1x) 2x )y

1 1及相應(yīng)的非零解(本征函數(shù)).SL方程通常與三類邊界條件構(gòu)成本征值問題.y(a0,y(by'(ahy(a0,y'(bhy(b0.h y(a)y(b),y'(a)y'(b),k(a)k''()m2()(0)(2 當(dāng)邊界點是核函數(shù)k(x)的一階零點時，則邊界點上存在自然邊界條件.具體地說，在邊界點a有k(a0y(a有界；同理，在邊界點b有k(b0y(b有界.存在自然邊界條件：y(1)有界.又如方程k(x)x，故在邊界點x0存在自然邊界條件；而在邊界點b，因為y(b)0，故就不是自然邊界條件了.在常見的工程和物理問題中，SL型方程的k(x(xq(x在[ab中為實函數(shù)，在(ab內(nèi)k(x0,(x0,q(x0,且k(xk'(x(xq(x在(ab連續(xù)，現(xiàn)存在定理存在無窮多個實的固有值n(n1,2,)，它們對應(yīng)著無窮多個本征函數(shù)yn(x) (n1,2,).n0(n1,ba(x)yn(x)ym(x)dx0,mb如:{sinmx},{eimP(x等均在對應(yīng)區(qū)間滿足定理 f(x在[ab上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿足本征值問題的邊界條件，即可用本征函數(shù)系{yn(x 級數(shù)f(x)fnynfby(x)f(x)(x)dx/by2x) a a立葉系數(shù)，函數(shù)族{yn(x)}(n1,2稱為級數(shù)的展開基注意2：記2by2(x)(x)dx，稱 by2(x)(x)dx為模；對于復(fù)數(shù)的本 a a函數(shù)，為保證模為實數(shù)而定義2by*x

(x)dx a by*(x)y(x)(x)dxa b 系數(shù)為：f y*(x)f

2

(x)dx/a|yn(x) utt(x,y,z;t)a22u(x,y,z;t)作時空變量的分離，令u(xyzw(xyz)T(tk2w(x,y,z)T''(t)kw(x,y, 2w(x,y,z)k2w(x,y,z) 2 k0TCcos(akt)D T''(t)akT(t)0k0TC 2w(x,y,z)k2w(x,y,z)0同樣可 22它是亥姆方程2w(x,y,z)k2w(x,y,z)0在k0時的特例，下面只需對其利用球坐標(biāo)系下算符2的表達式，球坐標(biāo)系下亥姆方程的表達 1 2 wkw0

r2

(r ) r2sin

(sin ) kw r2sin2解：①首先，把r與,分開.w(r,,)R(r)Y(,Y1d(r2dR) (sinY) 2Yk2RYr2 r2sin r2sin2r

1 2 2 (r ) (sin ) krR Ysin Y 1 21 2 (r )kr (sin ) ]n(nR Ysin Ysin2d(r2dR)[k2r2n(n1)]R (sin ) n(n1)Y

sin2d(r2dR)[k2r2n(n1)]R0SphereBessel sind(sind)n(n1)sin21d dd(r2dR)[k2r2n(n1)]R0SphereBesselEquation()dr()

BcosBsin BcosBsin cot [n(n1)

]0Legendre2 sin22③討論ODE.稱下式為n階球方 2 2 2d2 2 (r )[krn(n1)]R0r 2r [krn(n1)]R 注：對于k0xkrR(r

y(x)x2d2yxdy[x2(n1)2]y Bessel方程階數(shù)的定義，上述方程即為n1Bessel方程2若k0，方程為方程，通解為R(r)A1rnA2r u0 ( ) 2 解：①首先，令u(,,z)R()()Z(zZ1

dR)RZ1d2Rd 2d d 2d 2Zd2R

Z

1d

Rd2Z d 2d2 2d2RdR2d2Z1d以 乘以上式，移項可得 Rd Rd Z d 2d2RdR2d2Z Rd Rd Zd20()AcosmBsinmd(0)(2)m2(m2d 2d 1d 1 1d

Rd2Rd

m

Rd2

R

2Zdz2 d2R1dR

d

(2 Zd2R1dR EFln,m

d 2 EmFm,m202

Z 當(dāng)0時，作代換r ，d2R1dR( d d 2 dR 2d ddrd

r dr2

m

0

dd2

)d

d

Z0Z(z) 當(dāng)0時，k20，則有 量Bessel方程

2R1dR(k2

d d

2 r

m)R2222rk

d Bessel(r) k2Z0Z(z)CcoskzDsin由前面分析可知，只需要亥姆方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量 uku0 ( ) ku 2 解：令u(,zR()()Z(zd2

d2Z

0 (2 ( Bsinm m Z0Z(z)CcoszDsin d2R

1

k22

( d (

p(x)

q(x)y kp(xq(xxp(xx2q(xx的冪級數(shù)，則(*)ky(xxcaxkk1x2y''(xxy'(xx2n2y(x0為nBessel方程，其中n可以為實yxcaxkaxkca0).將其代入nBessel k k (kc)(kc1)akxkc(kc)axkkcaxkkc2n2akkck k k k [(kc)2n2]akxkcakxkc2k0 k0xxc的系數(shù)為零，推出cn.先討論c系數(shù)遞推.將cn代入(1)式， [(kn)2n2]axknaxkn2k0 k

2k(k2n)akxkn2k k

xkn(12n)ax1n[k(k2n)a ]xkn1k

k(12n)a a1k(k2n)1a 0

a

k k(k

2m(2m2n) 22m(mn) 22mm!(mn)! y(x)axkn x2mn k

22mm!(mn另一個特解.同理，令cn (1) y(x) axkn x2mn 0x2mn k

若在特解y(x)中取常數(shù)a ，便得n階第一 函 J(x)

2 2若在特解y(x)中取常數(shù)a ，便得n階函 J(x)

2 2當(dāng)n整數(shù)時，BesselJn(xJn(x是無關(guān)的

(x)x((

(n

(x)x((

.可見，當(dāng)n整數(shù)時，J(x)與 (n 的行為是完全不同的，是兩個線性無關(guān)的特解.因此，通解為其線性組合可以證明，當(dāng)n為整數(shù)時，Jn(x)Jn(x)是線性相關(guān)的.且數(shù)作為特解，它就是函數(shù)Nn(x).函數(shù)Nn(x)的定義及其微分表達式.定義函數(shù)(第二類Bessel函數(shù))為Jn(xcosnJn(x)nN(x)

J(x)cosn 1J

函數(shù)Nn(x)是Bessel方程的解.(證明略參見編當(dāng)n整數(shù)時,函數(shù)Nn(x)與第一類Bessel函數(shù)Jn(x)線性無關(guān)結(jié)論當(dāng)nNn(xJn(xJn(x的線性組由此可見，無論n是否為整數(shù)，方程的通解均可表示為y(x)C1Jn(x)C2Nn(1)函數(shù)的定H(1)(x)J(x)jN H(2)(x)J(x)jN 它們也是方程的無關(guān)解，它們稱為函數(shù)(第三類函數(shù)).這樣，y(x)CH(1)(x)CH(2) J(x)1[H(1)(x)H(2) N(x)1[H(1)(x)H(2) 2

1/

(x) sinx,

(x) 2222 2m

2mJ1/2(x)

x 2

x 12 2

m0m!(m m0m!(m )()() 2 x2m1 sin2xm0(2m1)!(12注意：(1/2) ,(vk1)(vk)(vk1)(v1)(vx2

J0(x)1

J(x)

2 x1x 2!2 x Jn(x)(n1)2n整數(shù) J(x)

2

n

(1)函數(shù)Jn(x)的基本遞d[xnJ(x)]xn d

[xJ1(x)]'xJ0 J[0( [xnJ(x)]xn (x)nJn(x)xJ'n(x) nJ(x)xJ'(x) J(x)

(x) (x)]

J0(x),J1(x)J2 J'(x)1 (x)

(x), (x) 1/ 1/ 3/ (2)函數(shù)Nn(x)與函數(shù)HJn(x)的基本遞推類似

(x),

(x)的遞推與函定義 函數(shù)零點稱Jn(x)0的根為函數(shù)的零點.通常用(n)表示n階m函數(shù)的第m正零點.函數(shù)的零點分布特性為(1)函數(shù)零點的分布是關(guān)于原點對稱的，即J((n))J((n))0 )

(x)的最小正零點(n)更小

4.舉 計算積分Ix3J0 d[xnJ

Ix2[xJ0(x)]dxx2d[xJ1(x)]x3J1(x)2x2J1x3J1(x)2d[x2J2(x)]x3J1(x)2x2J2(x)2F''()F'()(2n2)F()0,0F(0) F(a)0orF'(a)為了求解此問題，我們可以作變量替換x ,y(x)y()F()，則上式可以化為n階方程x2y''(xxy'(xx2n2y(x0y(xC1Jn(xC2Nn(x).F()C1Jn()C2Nn(對于不同的邊界條件，函數(shù)將構(gòu)成不同的本征函數(shù)系.在此，我們只討論以C20因此，方程的通解為F(C1Jn(F(a0Jn(a (x)的第m個正零點，即

本征值:(n[(n)(n)

m]a

m1,

()CJ(m

1 F'(a0，則J'(a0.(n)J

(x)的第m個正零點，即n J'((n0

am

m]a

本征函數(shù):F(CJm(n)

1 函數(shù)系{J((n)}(n0,1,2,以為權(quán)在[0,a] aa

J((n))J((n))d0.(mk a[J((n))]2d

若F(a0m

[J'n(m)]2

[Jn1(m)]2

[Jn1(m)]2 2 f(0)f(a0f(f()

A

.

0,1,稱為廣義級數(shù)

}可以看成是廣 級數(shù)的基.式中展n Jn mf()d0

.2.m滿足f(0)，f'(a)0，則f()可展開為絕對且一致收斂的廣 m mm m , 1,n f()

A0AmJm,n n m {0Jn m/a)f()d}/m,m展開系數(shù)為Am{2af()d}/a2,m 階函數(shù)展開為－級數(shù)f(12(01)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿足f(0)，f(1)0，故f()可展開為絕對且一致收斂的廣義級數(shù) f() 1J(0)f()d 21J(0)(3)dAm0

1m1[J

[J

mmI J(0)d (0)xJ m dx [(0)

J(0) m[(0)]2

x]'dx

[(0)

(0)x3J I2

[(0)]4m m

x]'dx3

(0)

x2JxmxJm1m[(0)mxJm1m

[(0)]4 1J 1mm

(0)

(0)x2Jxdx

(0)

m(0)

(0) mm mm

(0)

x2J

m

(0)

[(0)

[(0)

2(II J(0) J(0) A 2

{

J(0) J2(0) J2(0)

4J2

..m [(0)]2J2 12 J(0) m m1[(0)]2J2 例2.1的薄均勻圓盤，邊界上的溫度為零，初始時刻圓盤內(nèi)的u2

a( ru| ru 1r t采用極坐標(biāo)系，考慮到定解條件與無關(guān)，所以溫度u只能是rt

u2 1

a r u 1r t采用分離變量法，令u(rtR(r)T(tr2R''rR'k2r2R0R(r)CJ(kr)CN 1 2 結(jié)合有界條件|u(rt|，可得C20；又由u|r10J0k0.即kJ0的零點.以m(m1,2,J0x的正零點(因為r0，則k

(r,t)Cea22tJ( 22 mT(t)Ce m

mu(r,t)u(r,t)Cea22tJ(mm m由條件u|t01r2定系數(shù)Cm.即1r2

Cm1

J0(0)r112

J(0)從而C 4J2

m

m m1[(0)]2J2(0) . [(0)]2J2

.ea22tJ(m m1[(0)]2J2(0) 1稱(1x2y''(x2xy'(xn(n1)y(x0,1x1.為勒讓德方程.n(n1)為本征值，y(x)為本征函數(shù).yxcaxkaxkc,(a0 k k [(kc)(kc1)n(n1)]akxkc(kc)(kc1)akxkc20k kxxc2的系數(shù)為零，推出c(c1)0c0or系數(shù)遞推將(1)式化簡， [(kc)(kc1)n(n1)]axkc(kc2)(kc1)axkc k

kk (kc)(kc1)n(n1)k (kc2)(kc

(k0,1,不妨先取c0，代入上式，得 (kn)(kn1) (k0,1,k (k2)(k (2mn2)(2mn1) (2mn2)(2mn4)(n)(2mn1)(2mn3)(n1) (2mn1)(2mn3)(n1)(2mn)(2mn2)(n2) y(x)

x2m

ax2m1ay(x)ay 1x2m 0 1 y0xy1x的收斂范圍分別均為1x1,

limy0,1(x)]由遞推式 (kn)(kn1) (k0,1,2,)可見，若n2m為偶數(shù)，則k

(k2)(k y(xx2m0y(x的最高次冪為n2m. 限性，舍去不合理的解，可取常數(shù)a10my(x)ay(x)0 x2maax2 x2m0m0

同理，若n2m1y(xx2m01y(x