二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題回歸教材回歸教材考點(diǎn)聚焦考向聚焦歸類探究歸類探究

二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合在一起運(yùn)用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，互相滲透．存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問題．解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)．第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動(dòng)探究考點(diǎn)聚焦歸類探究探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合回歸教材例1

如圖41－1，對(duì)稱軸為直線x＝－1的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，0)．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材圖41－1第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析

(1)拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，能求出B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

(2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三個(gè)條件試一試；考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材

(3)根據(jù)S△POC＝4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值；

(4)如何用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式？

(5)D點(diǎn)的坐標(biāo)怎么用x來表示？

(6)QD怎樣用含x的代數(shù)式來表示？

(7)QD與x的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材解題方法點(diǎn)析

以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)存在性問題是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某些關(guān)于點(diǎn)的條件時(shí)，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、線段、三角形等類型之分．這類試題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變．第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合例2

如圖41－2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于C(0，－3)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)連接PO、PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形POP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材例題分層分析

(1)圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；圖41－2第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材解題方法點(diǎn)析

求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差．

(2)畫出四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

(3)由于△ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即求△BPC的最大面積．第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合例3

如圖41－3，拋物線y＝ax2－2ax＋c(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材

(3)在(2)的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖41－3第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材例題分層分析

(1)將____________代入y＝ax2－2ax＋c，求出拋物線的解析式；

(2)根據(jù)________的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；

(3)根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)和PM的長(zhǎng)？

(4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對(duì)應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PFC∽________，②△PFC∽________．第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材解題方法點(diǎn)析此類問題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏解．第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材探究四二次函數(shù)與圓的結(jié)合例4

如圖41－4，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)M為(1)中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(3)試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考點(diǎn)聚焦歸類探究回歸教材例題分層分析

(1)已知拋物線上的哪兩個(gè)點(diǎn)？設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式是y＝a(x－4)(x＋1)，如何求出C點(diǎn)坐標(biāo)？

(2)怎么求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)？

(3)若直線MC與⊙P相切，如何去求證？解題方法點(diǎn)析

用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．第4