二次函數(shù)的圖像和性質-

數(shù)學是一切知識中的最高形式22.1二次函數(shù)的圖象和性質

22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質問題1：用描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？問題2：我們學過的一次函數(shù)的圖象是什么圖形？那么，二次函數(shù)的圖象會是什么樣的圖形呢？這節(jié)課我們畫最簡單的二次函數(shù)y=ax2的圖象.列表、描點、連線一條直線1知識鏈接x···-3-2-10123···y=x2···9410149···先畫二次函數(shù)y=x2的圖象1.列表：在y=x2中，自變量x可以是任意實數(shù)，列表表示幾組對應值：二次函數(shù)y=ax2的圖象的畫法2探究新知

2.描點：根據(jù)表中x，y的數(shù)值在坐標平面中描點（x，y），3.連線：再用平滑曲線順次連接各點，就得到y(tǒng)=

x2的圖象。369yO-33x369yO-33x可以看出，二次函數(shù)y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃時或擲鉛球時球在空中所經過的路線，只是這條曲線開口向上。

事實上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線，它們的開口或者向上或者向下．一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c.拋物線y=x2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質369yO-33x函數(shù)y=x2的圖象開口______.向上拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。這條拋物線關于y軸對稱，y軸就是它的對稱軸.頂點坐標是________.頂點是圖象的最____點.（0，0）低在拋物線y=x2上任取一點（m，m2），因為它關于y軸的對稱點（-m，m2）也在拋物線y=x2上，所以拋物線y=x2關于y軸對稱。

特征實際上，每條拋物線都有對稱軸，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點.頂點是拋物線的最低點或最高點．369yO-33x當x<0(在對稱軸的左側)時，y隨著x的增大而減小.當x>0(在對稱軸的右側)時，y隨著x的增大而增大.單調性268y4O-22x4-4解：分別填表，再畫出它們的圖象，如圖x···-4-3-2-101234······84.520.500.524.58···x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=2x2···84.520.500.524.58···例1在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)，y=2x2的圖象。y=2x23典例分析268y4O-22x4-4y=2x2一般地，當a>0時，拋物線y=ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越小.歸納-8-4-2y-6O-22x4-4

畫出函數(shù)的圖象，并考慮這些拋物線有什么共同點和不同點．x···-4-3-2-101234···y=-x2···-16-9-4-10-1-4-9-16···x···-4-3-2-101234···y=-2x2···-32-18-8-20-2-8-18-32···x···-4-3-2-101234······-8-20-2-8···y=-2x2y=-x24深化探究-8-4-2y-6O-22x4-4y=-2x2y=-x2開口都向下；對稱軸都是y軸；a值越小，拋物線的開口越?。旤c都是原點(0，0)，頂點是拋物線的最高點；增減性相同：

當x<0時，y隨x增大而增大；當x>0時，y隨x增大而減小.共同點和不同點一般地，當a<0時，拋物線y=ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越小.1.二次函數(shù)的圖象都是拋物線.2.拋物線y=ax2的圖象性質:（2）當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點;當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點;|a|越大，拋物線的開口越小.（1）拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點.y=-2x2y=-x2268y4y=2x2-8-4-2-6O-22x4-45歸納小結數(shù)形結合二次函數(shù)y=ax2的實際應用二次函數(shù)y=ax2是刻畫客觀世界許多現(xiàn)象的一種重要模型.主要有以下幾個實例：（1）g表示重力加速度，當物體自由下落時，高度h與下落時間t之間的關系是（g為定值）；（2）某物體的質量為m，它運動時的能量E與它的運動速度v之間的關系是

（m為定值）；（3）導線的電阻為R，當導線中有電流通過時，單位時間所產生的熱量Q與電流I之間的關系是Q=RI2（R為定值）.6加深應用出題角度二次函數(shù)y=ax2與不等式的綜合運用已知正方形的周長為Ccm，面積為Scm2，（1）求S與C之間的二次函數(shù)關系式；（2）畫出它的圖象；（3）根據(jù)圖象，求出當S=1cm2時，正方形的周長；（4）根據(jù)圖象，求出C取何值時，S≥4cm2.注意自變量的范圍解：（1）∵正方形的周長為Ccm，∴正方形的邊長為cm，∴S與C之間的關系式為S=；（2）作圖如右：（3）當S=1cm2時，C2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8cm.1.函數(shù)y=2x2的圖象的開口_______，對稱軸是_______，頂點是________

.向上y軸（0，0）a=2>0基礎鞏固7課堂練習（1）其中開口向上的是________（填序號）；（2）其中開口向下且開口最大的是______（填序號）；（3）有最高點的是_______（填序號）.2.已知下列二次函數(shù)①y=-x2；②y=x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.②①①③⑤④a>0a<0，|a|越大，開口越小.開口向下a<03.分別寫出拋物線y=4x2與

的開口方向、對稱軸及頂點坐標.解：拋物線y=4x2的開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標（0，0）；拋物線的開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標（0，0）.yOxyOxyOx4.在同一直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象：x···-3-2-10123······303···x···-3-2-10123······-30-3···5.已知一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)是y=ax2，其中a≠0，b<0，則下面選項中，圖象可能正確的是（）C綜合應用y=ax+b與y軸交點（0，b）b<0交點在y軸負半軸，故B、D錯；a>0，y=ax+b單調遞增故A錯；y=ax2開口向上a<0，y=ax+b單調遞減故C對.y=ax2開口向下×√××6.

m為何值時，函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線？解：由題意得解得m=-1∴當m=-1時，函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線.x2a<0二次函數(shù)二次函數(shù)與一次函數(shù)性質的綜合應用7.如圖，直線AB過x軸上的點B（4，0），且與拋物線y=ax2交于A、C兩點，已知A（2，2）.（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）求拋物線的函數(shù)解析式；（3）如果拋物線上有點D，使S△OBD=S△OAC，求點D的坐標.y=ax+b（2，2）（4，0）DD拓展延伸解：（1）設直線表達式為y=ax+b，∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的圖象上，∴直線AB的函數(shù)解析式為：y=-x+4.（2）∵點A（2，2）在y=ax2的圖象上，∴代入可得，∴拋物線的函數(shù)解析式為.（2，2）（4，0）（3）聯(lián)立得解得：∴點C的坐標為（-4，8），設D∵S△OBD=S△OAC，∴x2=12，∴D點坐標為或.（2，2）（4，0）DD（-4，8）二次函數(shù)y=ax2的性質根據(jù)圖形填表：拋物線y=ax2（a>0）y=ax2（a＜0）