《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4矩、協(xié)方差矩陣1數(shù)學(xué)期望3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)2方差學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(求出隨機(jī)變量的分布、列出隨機(jī)變量的函數(shù)、應(yīng)用公式).理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征.單擊此處添加小標(biāo)題差.伍單擊此處添加小標(biāo)題本章介紹隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望和方肆單擊此處添加小標(biāo)題在理論上和應(yīng)用上都是有重要意義的.叁單擊此處添加小標(biāo)題分布特點(diǎn)），貳單擊此處添加小標(biāo)題隨機(jī)變量的數(shù)字特征（即用數(shù)字表示隨機(jī)變量的壹4.1數(shù)學(xué)期望添加標(biāo)題、數(shù)學(xué)期望的概念添加標(biāo)題隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望添加標(biāo)題數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)添加標(biāo)題幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念起源：法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal，1623—1662）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat，1601—1665）法國(guó)軍人德.梅勒（DeMere，1607—1684）分賭本問題:1654年，法國(guó)有個(gè)賭徒向數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了令他苦惱長(zhǎng)久的問題：甲、乙兩人賭技不相上下，各出賭金50法郎進(jìn)行賭博，并約定先勝三局者為勝，取得全部100法郎.假設(shè)每局都不會(huì)出現(xiàn)平局，如果當(dāng)甲贏了兩局、乙贏了一局時(shí)，因故要終止賭博，問這100法郎該如何分才公平？1若統(tǒng)計(jì)100天,可得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為2每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義X3引例6可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，情況？？？5的平均值呢？(假定小張每天至多出三件廢品)4某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察。車工小張可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天,(假定小張每天至多出三件廢品)把這種各個(gè)數(shù)與相應(yīng)頻率相乘的和稱為0、1、2、3的以頻率為權(quán)的加權(quán)平均，而頻率稱為權(quán).由頻率和概率的關(guān)系概率代替頻率，得平均值為，在求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用注：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律為簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X).則稱此級(jí)數(shù)的和為X

的數(shù)學(xué)期望.即級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均值，其與X取值x

k的順序無關(guān)（唯一性），所以要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.一、定義1例1甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出試問哪個(gè)人的射擊水平較高？解甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得：因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好.X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)解設(shè)試開次數(shù)為X,于是

某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.例2例3擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.100

03/41/4因此,若設(shè)隨機(jī)變量為:在甲勝2局,乙勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去的分布律為甲最終所得的賭金,則例4（分賭本問題)甲、乙兩人賭技不相上下，各出賭金50法郎進(jìn)行賭博，并約定先勝三局者為勝，取得全部100法郎.假設(shè)每局都不會(huì)出現(xiàn)平局，如果當(dāng)甲贏了兩局、乙贏了一局時(shí)，因故要終止賭博，問這100法郎該如何分才公平？因而甲期望所得的賭金即為的“期望”值75（法郎）.乙只能得25法郎解分析:設(shè)想再賭下去,只要再賭兩局就可以決定勝負(fù),再賭兩局結(jié)果為以下四種情況之一:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.其中“甲乙”表示第一局甲勝,第二局乙勝,其他情況依此類推.結(jié)合已賭的三局,發(fā)現(xiàn)甲勝的可能性是3/4,乙勝的可能性是1/4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為01簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X).為X的數(shù)學(xué)期望。02單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，請(qǐng)盡量言簡(jiǎn)意賅地闡述觀點(diǎn)。簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X).定義2如果絕對(duì)收斂，即則稱例4（柯西分布）假設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為A求X的數(shù)學(xué)期望.由于B例5添加標(biāo)題已知某電子元件的壽命X服從參數(shù)為01添加標(biāo)題解04添加標(biāo)題的指數(shù)分布(單位：小時(shí)）.02添加標(biāo)題小時(shí).05添加標(biāo)題求這類電子元件的平均壽命E(X).03添加標(biāo)題由定義可得06二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該如何計(jì)算Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望呢？已知X的分布律為解1012例6同理1/41/81/43/81/41/81/43/8014求及的數(shù)學(xué)期望.單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。您的內(nèi)容已經(jīng)簡(jiǎn)明扼要，字字珠璣，但信息卻千絲萬縷、錯(cuò)綜復(fù)雜，需要用更多的文字來表述；但請(qǐng)您盡可能提煉思想的精髓，否則容易造成觀者的閱讀壓力，適得其反。正如我們都希望改變世界，希望給別人帶去光明，但更多時(shí)候我們只需要播下一顆種子，自然有微風(fēng)吹拂，雨露滋養(yǎng)。恰如其分地表達(dá)觀點(diǎn)，往往事半功倍。當(dāng)您的內(nèi)容到達(dá)這個(gè)限度時(shí)，或許已經(jīng)不純粹作用于演示，極大可能運(yùn)用于閱讀領(lǐng)域；無論是傳播觀點(diǎn)、知識(shí)分享還是匯報(bào)工作，內(nèi)容的詳盡固然重要，但請(qǐng)一定注意信息框架的清晰，這樣才能使內(nèi)容層次分明，頁面簡(jiǎn)潔易讀。如果您的內(nèi)容確實(shí)非常重要又難以精簡(jiǎn)，也請(qǐng)使用分段處理，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的梳理和提煉，這樣會(huì)使邏輯框架相對(duì)清晰。1/41/81/43/8單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。您的內(nèi)容已經(jīng)簡(jiǎn)明扼要，字字珠璣，但信息卻千絲萬縷、錯(cuò)綜復(fù)雜，需要用更多的文字來表述；但請(qǐng)您盡可能提煉思想的精髓，否則容易造成觀者的閱讀壓力，適得其反。正如我們都希望改變世界，希望給別人帶去光明，但更多時(shí)候我們只需要播下一顆種子，自然有微風(fēng)吹拂，雨露滋養(yǎng)。恰如其分地表達(dá)觀點(diǎn)，往往事半功倍。當(dāng)您的內(nèi)容到達(dá)這個(gè)限度時(shí)，或許已經(jīng)不純粹作用于演示，極大可能運(yùn)用于閱讀領(lǐng)域；無論是傳播觀點(diǎn)、知識(shí)分享還是匯報(bào)工作，內(nèi)容的詳盡固然重要，但請(qǐng)一定注意信息框架的清晰，這樣才能使內(nèi)容層次分明，頁面簡(jiǎn)潔易讀。如果您的內(nèi)容確實(shí)非常重要又難以精簡(jiǎn)，也請(qǐng)使用分段處理，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的梳理和提煉，這樣會(huì)使邏輯框架相對(duì)清晰。1/41/81/43/8單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。您的內(nèi)容已經(jīng)簡(jiǎn)明扼要，字字珠璣，但信息卻千絲萬縷、錯(cuò)綜復(fù)雜，需要用更多的文字來表述；但請(qǐng)您盡可能提煉思想的精髓，否則容易造成觀者的閱讀壓力，適得其反。正如我們都希望改變世界，希望給別人帶去光明，但更多時(shí)候我們只需要播下一顆種子，自然有微風(fēng)吹拂，雨露滋養(yǎng)。恰如其分地表達(dá)觀點(diǎn)，往往事半功倍。當(dāng)您的內(nèi)容到達(dá)這個(gè)限度時(shí)，或許已經(jīng)不純粹作用于演示，極大可能運(yùn)用于閱讀領(lǐng)域；無論是傳播觀點(diǎn)、知識(shí)分享還是匯報(bào)工作，內(nèi)容的詳盡固然重要，但請(qǐng)一定注意信息框架的清晰，這樣才能使內(nèi)容層次分明，頁面簡(jiǎn)潔易讀。如果您的內(nèi)容確實(shí)非常重要又難以精簡(jiǎn)，也請(qǐng)使用分段處理，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的梳理和提煉，這樣會(huì)使邏輯框架相對(duì)清晰。1014(g為連續(xù)函數(shù))添加標(biāo)題定理1設(shè)添加標(biāo)題絕對(duì)收斂,添加標(biāo)題設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為添加標(biāo)題則g(X)的數(shù)學(xué)期望為添加標(biāo)題若級(jí)數(shù)添加標(biāo)題設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),添加標(biāo)題若添加標(biāo)題絕對(duì)收斂,添加標(biāo)題則g(X)的數(shù)學(xué)期望為設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)例7解設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為例8求E(1/X)。解某公司按季度銷售某商品的量X服從例9（最佳決策）01[2000，4000]上的均勻分布，銷售1公斤獲利3元，屯倉021公斤虧損1元，為獲利最大，該公司應(yīng)進(jìn)貨多少公斤？03解設(shè)S為進(jìn)貨量，則04，獲得利潤(rùn)為05由題意可得06則平均利潤(rùn)為07添加標(biāo)題求S使E(Y)最大添加標(biāo)題可得添加標(biāo)題（公斤）定理2設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,g(X,Y)是二元連續(xù)函數(shù)⑴設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則Z的數(shù)學(xué)期望為⑵設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y),若絕對(duì)收斂,則Z

的數(shù)學(xué)期望為例10已知(X,Y)的分布律為求解解已知的概率密度求同理一般來說，,那么何時(shí)相等？看下面數(shù)學(xué)期望性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;2.若C是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);3.三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明

設(shè)設(shè)X、Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);添加標(biāo)題01由獨(dú)立性添加標(biāo)題03證明設(shè)添加標(biāo)題02注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立（當(dāng)Xi獨(dú)立時(shí)）（當(dāng)Xi獨(dú)立時(shí)）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。5.（柯西-施瓦爾茲不等式）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立5.（柯西-施瓦爾茲不等式）證明：幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望X為離散型隨機(jī)變量（0—1）分布泊松分布⑶二項(xiàng)分布則X表示n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。02單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。則X表示n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).01若設(shè)則，則所以結(jié)論：任何一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X都可表示相加的形式：n個(gè)服從（0—1）分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。您的內(nèi)容已經(jīng)簡(jiǎn)明扼要，字字珠璣，但信息卻千絲萬縷、錯(cuò)綜復(fù)雜，需要用更多的文字來表述；但請(qǐng)您盡可能提煉思想的精髓，否則容易造成觀者的閱讀壓力，適得其反。2.X為連續(xù)型隨機(jī)變量n個(gè)服從（0—1）分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量均勻分布⑴均勻分布單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。您的內(nèi)容已經(jīng)簡(jiǎn)明扼要，字字珠璣，但信息卻千絲萬縷、錯(cuò)綜復(fù)雜，需要用更多的文字來表述；但請(qǐng)您盡可能提煉思想的精髓，否則容易造成觀者的閱讀壓力，適得其反。⑵指數(shù)分布則則⑶正態(tài)分布PART1已知的分布律為例12求解已知例13求服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，X,Y相互獨(dú)立，解由隨機(jī)變量的性質(zhì)可知例14一民航送客載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求E(X).（設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）.如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車站無人下車,站有人下車.解設(shè)則注:不是相互獨(dú)立的.本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.0103024.2方差方差的性質(zhì)01、方差的定義02幾種重要分布的方差03解比較量個(gè)人射擊的平均環(huán)數(shù)，甲的平均環(huán)數(shù)為

引例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出：試問那個(gè)人的射擊水平較高？X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(環(huán))乙的平均環(huán)數(shù)為＝9.2(環(huán))從平均環(huán)數(shù)上看，甲、乙射擊水平是一樣的.于是需要引入新的量才能判別兩人水平高低引例2:甲、乙兩個(gè)合唱隊(duì)都由5名成員組成,身高如下：1.60、1.62、1.59、1.60、1.591.80、1.60、1.50、1.50、1.60那個(gè)合唱隊(duì)演出效果好？分析：易見，甲乙兩隊(duì)的平均身高都為1.60，但顯然甲隊(duì)比乙隊(duì)整齊，身高相對(duì)集中在1.60米左右，演出效果好.數(shù)學(xué)期望（均值，平均水平）即隨機(jī)變量每一個(gè)取值與均值的偏離程度小效果好.一、方差的概念01用什么衡量X與E(X)的偏離程度呢?0203合理,但是存在正負(fù)相消，不可行;0405帶絕對(duì)值的運(yùn)算，不利于分析;0607在實(shí)際問題中常常關(guān)心隨機(jī)變量與均值的偏離程度，定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若方差刻劃了隨機(jī)變量的取值01若X的取值比較集中，則方02差較?。蝗鬤的取值比較分03散則方差較大.04對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度05方差的算術(shù)平方根06為X的方差。07存在，則稱08稱為均方差或09標(biāo)準(zhǔn)差.10離散型已知X分布律添加標(biāo)題連續(xù)型已知X的概率密度添加標(biāo)題注意：添加標(biāo)題添加標(biāo)題是關(guān)于隨機(jī)變量X的函添加標(biāo)題數(shù)添加標(biāo)題的數(shù)學(xué)期望.添加標(biāo)題證明計(jì)算方差的簡(jiǎn)便公式：2.方差描述了隨機(jī)變量X的取值與其均值的偏離程度.02單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。計(jì)算方差的簡(jiǎn)便公式：01解比較量個(gè)人射擊的平均環(huán)數(shù)，甲的平均環(huán)數(shù)為

例1X

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0.2

0.5

甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出：試問那個(gè)人的射擊水平較高？X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)Y

8

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0.4

0.4

＝9.2(環(huán))乙的平均環(huán)數(shù)為＝9.2(環(huán))甲、乙射擊水平是一樣的.A這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定.但兩人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為：B單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，請(qǐng)盡量言簡(jiǎn)意賅地闡述觀點(diǎn)。這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定.從平均環(huán)數(shù)上看，D(Y)D(X),<由于，設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求D（X）。解單擊此處添加小標(biāo)題設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;單擊此處添加小標(biāo)題若C是常數(shù),則D(CX)=C2D(X);單擊此處添加小標(biāo)題若X與Y獨(dú)立，則單擊此處添加小標(biāo)題方差的性質(zhì)單擊此處添加小標(biāo)題證單擊此處添加小標(biāo)題證其中單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。推廣若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則02推廣若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則4.若X與Y獨(dú)立，且a,b是常數(shù)，則01（0-1）分布參數(shù)為p1三．常見分布的方差2．二項(xiàng)分布其中01相互獨(dú)立。03，且02則由方差的性質(zhì)可得04分布律為參數(shù)為3．泊松分布密度函數(shù)參數(shù)為4．均勻分布密度函數(shù)5.指數(shù)分布6.正態(tài)分布參數(shù)為概率密度注：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量完全由它的數(shù)學(xué)添加標(biāo)題01單擊此處添加小標(biāo)題特別，當(dāng)03單擊此處添加小標(biāo)題期望和方差所決定.02單擊此處添加小標(biāo)題時(shí)04設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布的例3隨機(jī)變量,且，則求隨機(jī)變量服從什么分布？解Z為正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，所以仍然服從正態(tài)分布，且其參數(shù)為故設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布例4的數(shù)學(xué)期望則故單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，請(qǐng)盡量言簡(jiǎn)意賅地闡述觀點(diǎn)。的隨機(jī)變量,則求隨機(jī)變量01的隨機(jī)變量,則求隨機(jī)變量解記02設(shè)X的可能取值為添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題所以解設(shè)X的分布律為，求X的分布律.且例5單擊此處添加小標(biāo)題已知單擊此處添加小標(biāo)題例6單擊此處添加小標(biāo)題求單擊此處添加小標(biāo)題的次數(shù)，添加標(biāo)題對(duì)X獨(dú)立觀察4次，Y表示X的觀察值大于添加標(biāo)題解由題意可知單擊此處添加小標(biāo)題例7單擊此處添加小標(biāo)題設(shè)單擊此處添加小標(biāo)題，且單擊此處添加小標(biāo)題求(X,Y)的聯(lián)合分布律;單擊此處添加小標(biāo)題求X+Y的方差.單擊此處添加小標(biāo)題解⑴X,Y的取值都為-1和1，則01⑵X+Y的分布律為4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義設(shè)二維隨機(jī)變量添加標(biāo)題若添加標(biāo)題存在，添加標(biāo)題協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義添加標(biāo)題則稱它為添加標(biāo)題與添加標(biāo)題的協(xié)方差，記為添加標(biāo)題即添加標(biāo)題稱添加標(biāo)題為隨機(jī)變量添加標(biāo)題的相關(guān)系數(shù).添加標(biāo)題與添加標(biāo)題二、協(xié)方差的性質(zhì)Pf:（協(xié)方差的計(jì)算公式）Pf:Pf:若X,Y相互獨(dú)立，則3.為常數(shù)Pf:7.（柯西-施瓦爾茲不等式）證明：三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)添加標(biāo)題01添加標(biāo)題定理1設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)存在，則02添加標(biāo)題證1)03則Cauchy-Schwarz不等式所以設(shè)隨機(jī)變量命題添加標(biāo)題的線性函數(shù)添加標(biāo)題則求X和Y的相關(guān)系數(shù)添加標(biāo)題證由已知可得添加標(biāo)題所以添加標(biāo)題由添加標(biāo)題可得添加標(biāo)題說明相關(guān)系數(shù)之間線性關(guān)系的一種度量.，X與Y的線性關(guān)系越顯著；，X與Y的線性關(guān)系越不顯著.四個(gè)等價(jià)命題：114頁2）3）4）1）相關(guān)系數(shù)則稱與不相關(guān);不相關(guān)：X與Y之間沒有線性關(guān)系，并不表示它們之間沒有任何關(guān)系.所以，當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0.故但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.獨(dú)立：X與Y之間沒有任何函數(shù)關(guān)系.獨(dú)立不相關(guān)設(shè)隨機(jī)變量01例2添加標(biāo)題02的概率密度為添加標(biāo)題03問X和Y是否相互獨(dú)立，是否不相關(guān)？添加標(biāo)題04解⑴先求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度添加標(biāo)題求X和Y的相關(guān)系數(shù)所以X和Y不相互獨(dú)立.因?yàn)樘砑訕?biāo)題所以添加標(biāo)題不相關(guān)添加標(biāo)題故X和Y不相關(guān).添加標(biāo)題獨(dú)立若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)特例若(X,Y)服從二維正態(tài)分布。是Y與X的相關(guān)系數(shù)。以下畫出取幾個(gè)不同值時(shí)(X,Y)的密度函數(shù)圖.推廣（n維正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)P118）1.設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，則“X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立”“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”“X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立”單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請(qǐng)言簡(jiǎn)意賅地闡述您的觀點(diǎn)。2.X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布a1X1+a2

X2+…+an

Xn均服從正態(tài)分布.對(duì)一切不全為0的實(shí)數(shù)a1,a2,…,an，3.若

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，