2024屆遼寧省錦州市第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆遼寧省錦州市第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)各項均為正項的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項和為，則（）A. B.C.5 D.62．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.3．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項和取得最大值時，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或145．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.6．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（）A. B.C. D.7．已知、，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．如圖，是對某位同學(xué)一學(xué)期次體育測試成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計得到的散點圖，關(guān)于這位同學(xué)的成績分析，下列結(jié)論錯誤的是（）A.該同學(xué)的體育測試成績總的趨勢是在逐步提高，且次測試成績的極差超過分B.該同學(xué)次測試成績的眾數(shù)是分C.該同學(xué)次測試成績的中位數(shù)是分D.該同學(xué)次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)9．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)n的值是（）A. B.C. D.10．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件11．已知、分別是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上一動點，圓C與的延長線、的延長線以及線段相切，若為其中一個切點，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定12．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.72二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將連續(xù)的正整數(shù)填入n行n列的方陣中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對角線上的數(shù)之和為，如圖：，那么的值為___________.14．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.15．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________16．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：，直線過定點.（1）若與僅有一個公共點，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點，直線OA，OB（其中О為坐標(biāo)原點）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運算結(jié)果是否有為定值的？并說明理由.18．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對任意正實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.20．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.21．（12分）如圖，已知圓C與y軸相切于點，且被x軸正半軸分成的兩段圓弧長之比為1∶2（1）求圓C的方程；（2）已知點，是否存在弦被點P平分？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由22．（10分）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為2（1）求實數(shù)p的值；（2）若直線l過C的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出【題目詳解】等價于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故故選：D2、B【解題分析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.3、D【解題分析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【題目詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D4、C【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項求得公差，再由等差數(shù)列前n項和公式求解.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因為，且，，成等比數(shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時，取得最大值，故選：C5、B【解題分析】根據(jù)斜率的取值范圍，結(jié)合來求得傾斜角的取值范圍.【題目詳解】設(shè)傾斜角為，因為，且，所以.故選：B6、B【解題分析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項公式與.【題目詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.7、B【解題分析】設(shè)直線的傾斜角為，利用直線的斜率公式求出直線的斜率，進(jìn)而可得出直線的傾斜角.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式可得，，因此，.故選：B.8、C【解題分析】根據(jù)給定的散點圖，逐一分析各個選項即可判斷作答.【題目詳解】對于A，由散點圖知，8次測試成績總體是依次增大，極差為，A正確；對于B，散點圖中8個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48，B正確；對于C，散點圖中的8個數(shù)由小到大排列，最中間兩個數(shù)都是48，則次測試成績的中位數(shù)是分，C不正確；對于D，散點圖中8個點落在某條斜向上的直線附近，則次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)，D正確.故選：C9、C【解題分析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【題目詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點為，，因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C10、D【解題分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【題目詳解】解：因為：，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.11、A【解題分析】由題意知，圓C是的旁切圓，點是圓C與軸的切點，設(shè)圓C與直線的延長線、分別相切于點、，由切線的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點是圓C與軸的切點，設(shè)圓C與直線的延長線、分別相切于點、，則由切線的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線的性質(zhì)即可，屬于常考題型.12、C【解題分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【題目詳解】解：等差數(shù)列中，所以等差數(shù)列的前6項之和為：故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、34【解題分析】根據(jù)每行數(shù)字之和相等，四行數(shù)字之和剛好等于1到16之和可得.【題目詳解】4階幻方中，4行數(shù)字之和，得.故答案為：3414、【解題分析】首先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步求出兩圓的位置關(guān)系，可得兩圓的公切線條數(shù).【題目詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,故答案為：2.【題目點撥】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題.15、【解題分析】因為，所以，即，故16、【解題分析】當(dāng)時，，可得，可得數(shù)列隔項成等比數(shù)列，即所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，分別求和，即可得解.【題目詳解】因為，，所以，當(dāng)時，，∴，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解題分析】（1）過拋物線外一定點的直線恰好與該拋物線只有一個交點，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問1詳解】過點的直線與拋物線僅有一個公共點，則該直線可能與拋物線的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：當(dāng)直線與拋物線相切時，由于點在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點，分別設(shè)其坐標(biāo)為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：，下面分別說明各項是否為定值：，故運算結(jié)果為定值；，故運算結(jié)果不為定值；，故運算結(jié)果不為定值；，故運算結(jié)果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值18、（1）（2）答案見解析.【解題分析】（1）根據(jù)極值點求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因為對任意正實數(shù)，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極大值為，在時取得極小值為，因為當(dāng)大于0趨近于0時，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，所以當(dāng)，即時，有且只有一個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有三個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有一個零點.綜上所述：當(dāng)或時，有且只有一個零點；當(dāng)或時，有且只有兩個零點；當(dāng)時有且只有三個零點.19、（1）在、上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為【解題分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）可知，函數(shù)在，、上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，求出端點值和極值，比較即可求出最值【小問1詳解】根據(jù)題意，由于，，得到，，在、上是增函數(shù)，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；【小問2詳解】由（1）可知，函數(shù)在，，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，（1），，，在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為20、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值.（2）【解題分析】（1）由當(dāng)，得到，求導(dǎo)，再由，求解；（2）將，轉(zhuǎn)化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，定義域為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因為，即成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.21、（1）.（2）.【解題分析】（1）由已知得圓心C在直線上，設(shè)圓C與x軸的交點分別為E、F，則有，，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，由此求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)存在弦被點P平分，有，由此求得直線AB的斜率可得其方程再檢驗，直線AB與圓C是否相交即可.小問1詳解】解：因為圓C與y軸相切于點，所以圓心C在直線上，設(shè)圓C與x軸的交點分別為E、F，由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2∶1，得，所以，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，所以圓C的方程為；【小問2詳解】解：因為點，有，所以點P在圓C的內(nèi)部，假