2021-2022學年湖南省張家界市一鳴實驗中學高三數(shù)學文上學期期末試題含解析

2021-2022學年湖南省張家界市一鳴實驗中學高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，集合，則M∪N=（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】求解出集合，根據(jù)并集的定義求得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查集合運算中的并集運算，屬于基礎題.2.在中,角的對邊分別為,且.則

A． B． C． D．參考答案：A3.已知則的值等于

A.

B.

C.

D.參考答案：D因為所以，兩邊平方得，解得，選D.4.若雙曲線的離心率是，則實數(shù)的值是A.

B.

C.

D.參考答案：D5.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：B略6.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2=（）A.-4

B.-6

C.-8

D.-10參考答案：B略7.已知x，y滿足，若z=4x﹣y的最大值為，則a的值為（）A．7 B．6 C．5 D．4參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，和目標函數(shù)取得最大值時的直線方程求出交點坐標A，利用A也在直線y=3x﹣a上，代入求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：∵z=4x﹣y的最大值為，∴作出z=4x﹣y=的圖象，由圖象知z=4x﹣y=與y=x+，相交于A，由得，即A（，），同時A也在y=3x﹣a上，則=3×﹣a，即a=4，故選：D8.若，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵，∴，故選：C．9.設為虛數(shù)單位，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.若復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，且，則復數(shù)（

）A．－1

B．1

C．

D．參考答案：C，所以，故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a，b＞0，且，則（a+1）（b+2）的最小值為．參考答案：【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由題意可得ab=（2a+b），展開代入可得（a+1）（b+2）=（2a+b）（）+2=（4++）+2，由基本不等式可得．【解答】解：∵a，b＞0，且，∴=3，∴ab=（2a+b），∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=（2a+b）+2=（2a+b）（）+2=（4++）+2≥（4+2）+2=，當且僅當=即a=且b=時取等號．故答案為：．【點評】本題考查基本不等式求最值，整體代換是解決問題的關鍵，屬中檔題．12.已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，都存在唯一的實數(shù)，使，則實數(shù)m的最小值是

．參考答案：函數(shù)，若對任意的實數(shù)，則：f（α）∈[﹣，0]，由于使f（α）+f（β）=0，則：f（β）∈[0，]．，，β=，所以：實數(shù)m的最小值是．故答案為：

13.已知冪函數(shù)過點（2，），則此函數(shù)f(x)＝________.參考答案：略14.cos=

．參考答案：【考點】運用誘導公式化簡求值．【專題】計算題；函數(shù)思想；三角函數(shù)的求值．【分析】直接利用誘導公式化簡求解即可．【解答】解：cos=cos（3π﹣）=﹣cos=．故答案為：【點評】本題考查誘導公式的應用特殊角的三角函數(shù)值的求法，是基礎題．15.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：第1組：，2個；第2組：，3個；第3組：，4個；第4組：，5個；第5組：，4個；第6個：，2個。則樣本在區(qū)間上的頻率為_________.參考答案：0.3略16.拋物線的焦點為，過焦點傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，點，在拋物線準線上的射影分別是，，若四邊形的面積為，則拋物線的方程為____

參考答案：略17.已知向量滿足，則___________.參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如果函數(shù)y=f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”；（1）判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，試寫出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請說明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，當x≤0時，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）設函數(shù)y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當﹣≤x≤時，g（x）=|x|，求：當x∈R時，函數(shù)g（x）的解析式，若y=g（x）與y=mx（m∈R）交點個數(shù)為1001個，求m的值．參考答案：【考點】分段函數(shù)的應用；抽象函數(shù)及其應用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）根據(jù)題意先檢驗sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可檢驗y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”（2）由y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)可得f（x）=f（﹣x），結合x≤0時的函數(shù)解析式可求x≥0的函數(shù)解析式，結合t的范圍判斷函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值（3）由題意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），據(jù)此遞推關系可推斷函數(shù)y=g（x）的周期，根據(jù)交點周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的m，以及g（x）的解析式【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，根據(jù)誘導公式得a=2kπ+π（k∈Z）．∴y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．（2）∵y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，∴f（x）=f（﹣x）．設x≥0，則﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2∴f（x）=當t≤0時，∵y=f（x）在[0，1]遞增，∴x=1時ymax=（1﹣t）2，當0＜t＜時，y=f（x）在[0，t]上遞減，在[t，1]上遞增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，∴x=1時ymax=（1﹣t）2，當t≥時，∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，∴x=0時，ymax=t2，綜上所述：當t＜時，ymax=f（1）=（1﹣t）2，當t≥ymax=f（0）=t2，（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），從而得到y(tǒng)=g（x）是以2為周期的函數(shù)．又≤x≤設，則﹣≤x﹣1≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再設n﹣≤x≤n+（n∈z），當n=2k（k∈z），則2k﹣≤x≤2k+，則﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；當n=2k+1（k∈z），則2k+1﹣≤x≤2k+1+，則≤x﹣2k≤g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴g（x）=∴對于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），∴y=g（x）是周期為1的函數(shù)．①當m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有1001個交點，只要y=mx與y=g（x）在[0，500）有1000個交點，而在[500，501]有一個交點．∴y=mx過（，），從而得m=②當m＜0時，同理可得m=﹣③當m=0時，不合題意．綜上所述m=±【點評】本題考查周期函數(shù)，著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，綜合考察構造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題19.(本小題滿分13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.參考答案：本小題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望、互斥事件的概率加法公式等基礎知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分．KS5U（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機變量X的分布列為

X0123P

隨機變量X的數(shù)學期望．（ii）解：設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．

20.（本小題滿分12分）已知拋物線上的一點（m，1）到焦點的距離為.點是拋物線上任意一點（除去頂點），過點與的直線和拋物線交于點，過點與的直線和拋物線交于點.分別以點，為切點的拋物線的切線交于點P′.（I）求拋物線的方程；（II）求證：點P′在y軸上.參考答案：（Ⅰ）由題意得

，

所以拋物線的方程為…………4分（II）設

，

因為

則以點為切點的拋物線的切線方程為

又，所以……………6分

同理可得以點為切點的拋物線的切線方程為

由解得………8分

又過點與的直線的斜率為

所以直線的方程為

由得所以，即……10分

同理可得直線的方程為

由得

所以，即

則，即P′得橫坐標為0，

所以點P′在y軸上………………12分21.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：（a為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為．（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）過點M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之積．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）利用參數(shù)的幾何意義，即可求點M到A，B兩點的距離之積．【解答】解：（1）曲線C：（a為參數(shù)），化為普通方程為：，由，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直線l的直角坐標方程為x﹣y+2=0．（