2024屆湖南長沙市高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆湖南長沙市高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的一個焦點坐標是，則（）A.5 B.2C.1 D.2．已知函數(shù)，.若存在三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知圓與圓相交于A、B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.4．在正方體中，分別是線段的中點，則點到直線的距離是（）A. B.C. D.5．數(shù)列中，，，．當時，則n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.20196．如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是A. B.C. D.7．若數(shù)列等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A. B.C. D.8．某校開展研學活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種9．已知雙曲線左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若線段的中垂線過點，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.10．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④12．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點測得海面上油井在南偏東，向北航行后到達點，測得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達點，則，間的距離是________14．已知正方體,點在底面內(nèi)運動,且始終保持平面,設直線與底面所成的角為,則的最大值為______.15．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.16．如圖，正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且當時，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知點P到點的距離比它到直線的距離小1.（1）求點P的軌跡方程；（2）點M，N在點P的軌跡上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標原點），求面積的最小值.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值（1）求a，b，c的值;（2）求y＝f(x)在區(qū)間[－3，1]上最大值和最小值20．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）等差數(shù)列的前項和記為，已知.（1）求的通項公式：（2）求，并求為何值時的值最大.22．（10分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)題意橢圓焦點在軸上，且，將橢圓方程化為標準形式，從而得出，得出答案.【題目詳解】由焦點坐標是，則橢圓焦點在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點坐標是，則，解得故選：C2、B【解題分析】根據(jù)題意，當時，有一個零點，進而將問題轉(zhuǎn)化為當時，有兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【題目詳解】解：因為存在三個零點，所以方程有三個實數(shù)根，因為當時，由得，解得，有且只有一個實數(shù)根，所以當時，有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，所以令，則，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，因為，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實數(shù)根，則故選：B3、A【解題分析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計算作答.【題目詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A4、A【解題分析】以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，然后，列出計算公式進行求解即可【題目詳解】如圖，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.因為，所以，所以，則點到直線的距離故選：A5、B【解題分析】根據(jù)已知條件用逐差法求得的通項公式，再根據(jù)裂項求和法求得，代值計算即可.【題目詳解】因為，，則,即，則，故，又，即，解得.故選：B.6、A【解題分析】如圖：如圖，取小圓上一點，連接并延長交大圓于點，連接，，則在小圓中，，在大圓中，，根據(jù)大圓的半徑是小圓半徑的倍，可知的中點是小圓轉(zhuǎn)動一定角度后的圓心，且這個角度恰好是，綜上可知小圓在大圓內(nèi)壁上滾動，圓心轉(zhuǎn)過角后的位置為點，小圓上的點，恰好滾動到大圓上的也就是此時的小圓與大圓的切點．而在小圓中，圓心角（是小圓與的交點）恰好等于，則，而點與點其實是同一個點在不同時刻的位置，則可知點與點是同一個點在不同時刻的位置．由于的任意性，可知點的軌跡是大圓水平的這條直徑．類似的可知點的軌跡是大圓豎直的這條直徑.故選A.7、B【解題分析】令、可得等差數(shù)列的首項和第三項，即可求出第五項，從而求出.【題目詳解】令得，令得，所以數(shù)列的公差為，所以，解得，故選：B.8、D【解題分析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理求解即可【題目詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數(shù)原理知有種情況故選：D.9、C【解題分析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【題目詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C10、C【解題分析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【題目詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C11、C【解題分析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點的分布逐項判斷可得正確的選項.【題目詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補角為與所成的角，因為，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【題目點撥】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點與正方體中的頂點的對應關系，本題屬于容易題.12、C【解題分析】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)可得.【題目詳解】因為，，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長，得出,求出的長，由勾股定理可得答案.【題目詳解】海輪向北航行后到達點，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案為：14、【解題分析】畫出立體圖形,因為面面,在底面內(nèi)運動,且始終保持平面,可得點在線段上運動,因為面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【題目詳解】連接和,面面在底面內(nèi)運動,且始終保持平面可得點在線段上運動,面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當最短時,,即最大,即角最大設正方體的邊長為,故故答案為:【題目點撥】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點問題時,應畫出圖形,尋找?guī)缀侮P系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.15、992【解題分析】列舉數(shù)列的前幾項，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項共有個，因為，所以是中的第5項，所以.故答案為：992.16、【解題分析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【題目詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）實數(shù)的取值范圍是【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為令，恒成立，討論二次函數(shù)系數(shù)，結(jié)合根的分布.【題目詳解】解：（1）因為函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，當時，則所以當時所以（2）因為時，在上恒成立等價于即在上恒成立令，則①當時，不恒成立，故舍去②當時必有，此時對稱軸若即或時，恒成立因為，所以若即時，要使恒成立則有與矛盾，故舍去綜上，實數(shù)的取值范圍是【題目點撥】應用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法（1）求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關于的方程(組)，從而得到的解析式；（3）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值；（4）畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.18、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件可得點P到點的距離等于它到直線的距離，再由拋物線定義即可得解.(2)由(1)設出點M，N的坐標，再結(jié)合給定條件及三角形面積定理列式，借助均值不等式計算作答.【小問1詳解】因點P到點的距離比它到直線的距離小1，顯然點P與F在直線l同側(cè)，于是得點P到點的距離等于它到直線的距離，則點P的軌跡是以F為焦點，直線為準線的拋物線，所以點P的軌跡方程是.【小問2詳解】由(1)設點，，且，因，則，解得，S，當且僅當，即時取“=”，所以面積的最小值為.【題目點撥】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關系求解作答.19、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解題分析】（1）求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義列方程組，即可得解；（2）求導，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，再和端點值比較即可得解.【題目詳解】（1）由題意，，因為曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，所以，，又當時，y＝f(x)有極值，所以，所以；（2）由（1）得，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，，，所以在[－3,1]上的最大值為，最小值為.20、（1）證明見解答；（2）【解題分析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面的一個法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點，又是中點，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為21、（1）；（2）當或時，的值最大.【解題分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可