理論力學(xué) 動能定理

理論力學(xué)動能定理第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一§13–1力的功§13–2動能§13–3動能定理§13–4功率·功率方程§13–5勢力場·勢能·機(jī)械能守恒定理§13–6動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用第十三章動能定理2第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理用能量法研究動力學(xué)問題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動和其它形式運(yùn)動的橋梁。動能定理建立了與運(yùn)動有關(guān)的物理量—動能和作用力的物理量—功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。動力學(xué)3第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動力學(xué)13-1力的功

力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是代數(shù)量。時,正功；時,功為零；時,負(fù)功。單位：焦耳（Ｊ）；一．常力的功4第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一二．變力的功

動力學(xué)元功：5第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一力在曲線路程中作功為（自然形式表達(dá)式）（矢量式）（直角坐標(biāo)表達(dá)式）動力學(xué)6第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一三．合力的功質(zhì)點(diǎn)M受n個力作用合力為則合力的功動力學(xué)在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。即7第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一四．常見力的功

1．重力的功質(zhì)點(diǎn)系：

質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。動力學(xué)質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：8第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一2．彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內(nèi)k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。。動力學(xué)9第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路徑無關(guān)。動力學(xué)10第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一3．萬有引力的功萬有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。動力學(xué)

4．作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，力偶的功設(shè)在繞z軸轉(zhuǎn)動的剛體上M點(diǎn)作用有力，計算剛體轉(zhuǎn)過一角度時力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。11第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功等于力矩的功。若m=常量,則注意：功的符號的確定。動力學(xué)如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸12第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功(3)滾動摩擦阻力偶m的功

5．摩擦力的功(1)動滑動摩擦力的功N=常量時,W=–f′NS,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。動力學(xué)若m=常量則13第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一五．質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功

只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。動力學(xué)14第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一六．理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。

2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承動力學(xué)3．剛體沿固定面作純滾動1．光滑固定面約束15第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5．柔索約束（不可伸長的繩索）

動力學(xué)拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。16第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一§13-2動能物體的動能是由于物體運(yùn)動而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動強(qiáng)弱的又一種度量。動力學(xué)瞬時量,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。二．質(zhì)點(diǎn)系的動能

一．質(zhì)點(diǎn)的動能

17第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一（P為速度瞬心）1．平動剛體2．定軸轉(zhuǎn)動剛體3．平面運(yùn)動剛體動力學(xué)三．剛體的動能18第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一§13-3動能定理1．質(zhì)點(diǎn)的動能定理：因此動能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得動能定理的積分形式動力學(xué)兩邊點(diǎn)乘以，有19第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一對質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn)：即質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動能定理可寫成以下的形式動力學(xué)對整個質(zhì)點(diǎn)系，有2．質(zhì)點(diǎn)系的動能定理將上式沿路徑積分，可得20第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一[例1]圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)動力學(xué)21第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一解：取系統(tǒng)為研究對象動力學(xué)22第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一上式求導(dǎo)得：動力學(xué)23第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動能定理的應(yīng)用練習(xí)題

1．圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA'，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解：研究OA桿動力學(xué)24第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一由動力學(xué)25第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一2．行星齒輪傳動機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)和角加速度。動力學(xué)解：取整個系統(tǒng)為研究對象26第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動力學(xué)根據(jù)動能定理，得將式對t求導(dǎo)數(shù)，得27第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一3．兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，AB桿B端的速度。動力學(xué)解：取整個系統(tǒng)為研究對象28第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動力學(xué)29第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一§13-4功率·功率方程

一．功率：力在單位時間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時性。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。動力學(xué)30第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一二．功率方程：由的兩邊同除以dt得動力學(xué)分析：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即31第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動力學(xué)機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時，機(jī)械效率是評定機(jī)器質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下＜１。32第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一§13-5勢力場、勢能、機(jī)械能守恒定律

一．勢力場

1．力場：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。動力學(xué)重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。質(zhì)點(diǎn)在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力),如重力、彈力等。2．勢力場：在力場中,如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動路徑無關(guān)，這種力場稱為勢力場。33第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一

二．勢能

在勢力場中,質(zhì)點(diǎn)從位置M運(yùn)動到任選位置M0,有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置M相對于位置M0的勢能，用V表示。M0作為基準(zhǔn)位置，勢能為零，稱為零勢能點(diǎn)。勢能具有相對性。是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。動力學(xué)34第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一等勢面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢能都相等。質(zhì)點(diǎn)系的勢能：動力學(xué)35第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一2.彈性力場：取彈簧的自然位置為零勢能點(diǎn)動力學(xué)1.重力場質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系：3.萬有引力場：取與引力中心相距無窮遠(yuǎn)處為零勢能位置36第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一有勢力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動的始末位置的勢能之差。動力學(xué)在M1位置：

M2位置：M1→M2：三．有勢力的功37第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一對非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12'

,則有動力學(xué)四．機(jī)械能守恒定律

機(jī)械能：系統(tǒng)的動能與勢能的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢力(或同時受到不作功的非有勢力)—機(jī)械能守恒定律作用，則38第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動力學(xué)[例1]長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動力為有勢力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。初瞬時：39第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡后得動力學(xué)任一瞬時：40第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一§13-6動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用

動力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動，而動能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動能量轉(zhuǎn)化問題。

動力學(xué)普遍定理提供了解決動力學(xué)問題的一般方法。動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：

一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開那些無關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。動力學(xué)41第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一

二是對比較復(fù)雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。動力學(xué)求解過程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動分析,提供正確的運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程。舉例說明動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用：42第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一

[例1]兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時的速度。動力學(xué)解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開。研究對象：整體分析受力：，43第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一討論動量守恒定理＋動能定理求解。計算動能時，利用平面運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)關(guān)系。動力學(xué)且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動能定理：44第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一

[例2]均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。動力學(xué)解：選系統(tǒng)為研究對象45第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一動力學(xué)運(yùn)動學(xué)關(guān)系：由動能定理：對ｔ求導(dǎo)，得46第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期一[例3]重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B'點(diǎn)時的速度及支座A的約束反力。解：（1）取圓盤為研究對象，