流變學第二章

流變學第二章第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日實際材料發(fā)生地變形和受力情況是復(fù)雜的，要找出其應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系十分困難。因此，在流變學中采用一些理想化的實驗，使形變能準確定義和分析。這種理性化的實驗被稱為簡單實驗。在簡單實驗中，材料是均勻的，各向同性的，而材料被施加的應(yīng)力而發(fā)生形變也是均勻和各向同性的。下面討論在這些簡單實驗中的形變的定義。實際物體的形變往往是這些簡單形變的復(fù)雜組合。高分子液體流動中發(fā)生的主要形變方式有剪切、拉伸、壓縮及其組合。第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日①簡單剪切形變

物體內(nèi)一些平行平面彼此作相對移動，相對移動的大小與平面間距成比例，移動方向與平面平行。

圖矩形材料經(jīng)簡單剪切變?yōu)榈捉菫?0-γ的平行四邊形，矩形內(nèi)任一質(zhì)點P（X1，X2，X3）位移到平行四邊形中的P’(x1，x2，x3）點位置，其位置矢量由X變?yōu)閤。由圖可以導(dǎo)出簡單剪切形變的描述方程：第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日②均勻拉伸形變

發(fā)生均勻拉伸形變時，物體在一個或幾個坐標軸方向經(jīng)歷均勻伸縮。若三個坐標軸方向都有伸縮形變，則形變可由如下方程描寫式中λ1、λ2、λ3稱為拉伸比，可為常數(shù)或時間t的函數(shù)，λ的值可以作為拉伸形變的一種度量。

第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日假定在拉伸形變過程中材料的體積保持不變，則有圖給出兩種典型的拉伸形變過程。

a表示一維拉伸形變，其形變度量可記為：λ11,λ2=λ3=1/λ0.5;b表示二維拉伸形變，材料在x2x3兩個方向受到拉伸，形變度量記為：λ21,λ31,λ1=1/λ2λ3第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日各向同性膨脹和壓縮在各向同性膨脹中，任何形狀的試樣都變?yōu)閹缀涡螤钕嗨频叽巛^大地試樣。形變度量記為：λ11，λ21,λ31各向同性壓縮中，任何形狀的試樣都變?yōu)槌叽巛^小的試樣。形變度量記為：λ1<1，λ2

＜1,λ31若λ1=λ2=λ3，則表明物體經(jīng)歷均勻膨脹或壓縮；第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（二）流動與變形新的描述a、所謂物體的形變——實際上可視為該物體在不同時刻，在空間占有不同位形（也稱構(gòu)型）的相互比較。若選擇物體的原形為參考位形，而以后的一系列時刻中，物體在空間分別占有一系列不同的位形，那么可以認為，選擇任一時刻物體的位形與參考位形對比，就是對物體形變的描述。b、所謂物體流動——在一個時間序列中，對物體位形連續(xù)變化的描述。第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日C、流動與變形新描述的特點①是一種與時間有關(guān)的大變形有限形變

②形變時間進程中，這種形變描述始終是針對同一材料元的。

由于粘彈性材料的力學松弛行為，這種跟蹤十分必要，因為當一個材料元經(jīng)歷有限形變時，它對于固定原點的坐標位置會發(fā)生變化，而以往用固定坐標定義的形變度量已失去了意義。第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日③關(guān)于參考位形的選擇，必須指出固體和液體的差別。

對固體而言，它有原始形狀，一般取原始位形作為參考位形。

而液體無原始形狀，因此人們只能根據(jù)現(xiàn)在時刻其占據(jù)的位形加以區(qū)別，故一般選現(xiàn)在時（t）的位形為參考位形，反回去討論以往時刻（t’）的形變情形。第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（三）形變梯度張量

設(shè)在時刻t1，t2物體分別占有空間位形1、位形2;在t1時刻物體內(nèi)的任一線元dX,在t2時刻占據(jù)的空間位置變?yōu)閐x,則定義t1-t2

時刻間，物體內(nèi)發(fā)生的形變梯度為：第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日F形變梯度張量，這是一個二階張量。用分量式展開來寫，記為：

一般來說，F(xiàn)一個非對稱張量，這一性質(zhì)決定了F不是形變的恰當度量。原因：一個好的形變度量應(yīng)該具有無形變時度量不變的性質(zhì)，但F在剛體的純轉(zhuǎn)動中（此時并無形變發(fā)生）也會發(fā)生變化。從應(yīng)力張量的性質(zhì)看，應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量都是對稱張量，由此可見與其相對應(yīng)的形變度量也應(yīng)該是對稱張量。第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日①簡單剪切形變

圖矩形材料經(jīng)簡單剪切變?yōu)榈捉菫?0-γ的平行四邊形，矩形內(nèi)任一質(zhì)點P（X1，X2，X3）位移到平行四邊形中的P’(x1，x2，x3）點位置，其位置矢量由X變?yōu)閤。由圖可以導(dǎo)出簡單剪切形變的描述方程：第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日②均勻拉伸形變

發(fā)生均勻拉伸形變時，物體在一個或幾個坐標軸方向經(jīng)歷均勻伸縮。若三個坐標軸方向都有伸縮形變，則形變可由如下方程描寫第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日F形變梯度張量，這是一個二階張量。用分量式展開來寫，記為：

一般來說，F(xiàn)一個非對稱張量，這一性質(zhì)決定了F不是形變的恰當度量。原因：一個好的形變度量應(yīng)該具有無形變時度量不變的性質(zhì)，但F在剛體的純轉(zhuǎn)動中（此時并無形變發(fā)生）也會發(fā)生變化。從應(yīng)力張量的性質(zhì)看，應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量都是對稱張量，由此可見與其相對應(yīng)的形變度量也應(yīng)該是對稱張量。第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（四）、Cauchy-Green形變張量和Finger形變張量

F構(gòu)成一些新的張量，這些張量是對稱張量，它們能正確的描述有限形變。這些張量有Cauchy-Green形變張量，定義為：式中FT為F的轉(zhuǎn)置張量

第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日Cauchy-Green張量分量式記為：利用了張量的性質(zhì)

第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日Finger形變張量，定義為：F-1為F的逆張量

利用了張量的性質(zhì)

第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日Finger張量分量式記為：注意Cauchy張量與Finger張量不是有限應(yīng)變的等值度量。Cauchy張量與Finger張量的不同之處在于其定義不同，形象地說：第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例1簡單剪切形變中形變張量簡單剪切形變：x1=X1+X2tg,x2=X2,x3=X3根據(jù)定義，形變梯度張量為：求逆矩陣的方法：①用定義，當AB=E(或BA=E)且A,B為方陣時，有A-1=B②用伴隨矩陣③用初等變換法第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日形變張量分別記為：可以看出，F(xiàn)確實為非對稱張量，而C和C-1均為對稱張量，后者具有無形變時度量不變的性質(zhì)。第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例2均勻拉伸形變中形變張量均勻拉伸形變：x1=1X1,x2=2X2,x3=3X3根據(jù)定義得到：第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日三、速度梯度

在流動過程中，與流體應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的更重要物理量，往往不是形變的大小，而是形變進行的速率，它與流動場中的速度梯度密切相關(guān)。第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日速度梯度張量定義：設(shè)在某一瞬時位形，流體內(nèi)的流動速度場為v，如下：

速度矢量v和位置矢量x都應(yīng)是同一瞬時位形中的物理量。分量式記為

第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日速度梯度張量L一般為非對稱張量，按張量性質(zhì)，一個非奇異的二階張量總可以分解成一個對稱張量與一個反對稱張量之和。于是可以將L寫成：式中

其中d為對稱張量，稱形變率張量，表征了材料形變的速率。ω為反對稱張量，稱旋轉(zhuǎn)速率張量，與材料的形變無關(guān)。第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例1簡單剪切流場中的形變率張量簡單剪切流場，一律取x1方向為流動方向，X2方向為速度梯度方向，第三個方向X3為中性方向。簡單剪切流場的速度場為：式中稱剪切速率，單位為s-1x1x3x2第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日由此得速度梯度張量：分解L得到形變率張量d和旋轉(zhuǎn)速率張量ω分別為：可以看出，d為對稱張量，ω為反對稱張量。第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例2均勻拉伸流場中的形變率張量

在纖維紡絲、薄膜吹塑等工藝過程以及在一切流道截面積有變化的流場中都有強烈的拉伸流動存在。第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日在拉伸流場中流體的速度方向與速度梯度的方向是相同的，流體的速度方向為x1方向，而速度的梯度方向也同樣在x1方向，v1只是x1坐標的函數(shù)，v1=v1（x1）。第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日一維單軸拉伸流場。設(shè)x1方向為拉伸方向，速度場：v1=v1（x1）模仿簡單剪切流場，拉伸速率同樣用速度梯度定義，為第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日對于不可壓縮流體,若在第1方向受到拉伸,則必然在第2、3方向被反拉伸，而且第2、3方向是對等的，因此有v2=v3≠0。按不可壓縮流體的連續(xù)性方程有：

即有由此得：說明在一維拉伸流場中，材料元只受到拉伸形變，不發(fā)生旋轉(zhuǎn)。第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二維雙軸拉伸流場。設(shè)x1,x2

為拉伸方向，速度場為需要定義兩個方向的拉伸速率

由此得到速度梯度張量和形變率張量為：第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日這是拉伸流場與剪切流場的本質(zhì)區(qū)別，剪切流場中，速度與速度梯度的方向相互垂直；拉伸流場中，速度與速度梯度的方向相互平行。稱二維等幅拉伸流動

稱二維不等幅拉伸流動

第三十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日思考題一、解釋下列名詞1、震凝性流體2、偏應(yīng)力張量3、Weissenberg效應(yīng)二、填空題1、流變學是研究材料

及

的科學，遵從

定律的液體稱為牛頓流體，遵從

定律的固體稱為胡克彈性體。2、按Cauchy應(yīng)力定律，平衡時，物體所受的合外力與合外力矩均等于零，因此單位立方體平衡時剪切應(yīng)力分量Tij=

(i,j=1,2,3)。若靜止液體內(nèi)只有法向應(yīng)力，無剪切應(yīng)力，則應(yīng)力分量