北京市豐臺區(qū)第12中學2024屆高二數學第一學期期末考試模擬試題含解析

北京市豐臺區(qū)第12中學2024屆高二數學第一學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果，，…，是拋物線C：上的點，它們的橫坐標依次為，，…，，點F是拋物線C的焦點.若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.42．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是A. B.C. D.3．《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺4．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.5．函數在上的最小值為（）A. B.4C. D.6．在等比數列中，，是方程的兩個實根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.37．若圓的半徑為，則實數（）A. B.-1C.1 D.8．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.129．如圖，是函數的部分圖象，且關于直線對稱，則（）A. B.C. D.10．中國明代商人程大位對文學和數學頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風行東亞的數學名著，該書A.76石 B.77石C.78石 D.79石11．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.12．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數有零點，則的取值范圍是___________.14．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現(xiàn)的錯誤有______種15．已知平面的一個法向量為，點為內一點，則點到平面的距離為___________.16．某班有位同學，將他們從至編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是，那么第四位的編號是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在公差不為0的等差數列中，，且構成等比數列的前三項（1）求數列，的通項公式；（2）設數列___________，求數列的前項和請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答18．（12分）在等比數列中，已知，（1）若，求數列的前項和；（2）若以數列中的相鄰兩項，構造雙曲線，求證：雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且橢圓過點，離心率，為坐標原點，過且不平行于坐標軸的動直線與有兩個交點，，線段的中點為.（1）求的標準方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.21．（12分）已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知數列{an}滿足，（1）記，證明：數列{bn}為等比數列，并求數列{bn}的通項公式；（2）記數列{bn}前n項和為Tn，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據拋物線定義得個等式，相加后，利用已知條件可得結果.【題目詳解】拋物線C：的準線為，根據拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【題目點撥】關鍵點點睛：利用拋物線的定義解題是解題關鍵，屬于基礎題.2、C【解題分析】設矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設矩形的面積為,正方形的面積為,設在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是,則，故本題選C.【題目詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.3、C【解題分析】設等差數列，用基本量代換列方程組，即可求解.【題目詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，記為數列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C4、C【解題分析】設出點，,的坐標，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【題目詳解】設，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.5、D【解題分析】求出導數，由導數確定函數在上的單調性與極值，可得最小值【題目詳解】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．故選：D6、B【解題分析】由韋達定理可知，結合等比中項的性質可求出.【題目詳解】解：在等比數列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.7、B【解題分析】將圓的方程化為標準方程，即可求出半徑的表達式，從而可求出的值.【題目詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查圓的方程，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.8、C【解題分析】設兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長的表達式，根據基本不等式求出最小值【題目詳解】拋物線的焦點坐標為，設直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C9、C【解題分析】先根據條件確定為函數的極大值點，得到的值，再根據圖像的單調性和導數幾何意義得到和的正負即可判斷.【題目詳解】根據題意得，為函數部分函數的極大值點，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據導數的幾何意義，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據導數的幾何意義所以.即.故選：C.10、C【解題分析】設出未知數，列出方程組，求出答案.【題目詳解】設甲、乙、丙分得的米數為x+d，x，x-d，則，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故選：C11、A【解題分析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A12、C【解題分析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【題目詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用導數可求得函數的最小值，要使函數有零點，只要，求得函數的最小值，即可得解.【題目詳解】解：，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為函數有零點，所以，解得.故答案為：.14、23【解題分析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現(xiàn)錯誤的情況.【題目詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現(xiàn)錯誤的共有（種）.故答案為：23.15、1【解題分析】利用空間向量求點到平面的距離即可.【題目詳解】，，∴則點P到平面的距離為.故答案為：1.16、29【解題分析】根據給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計算作答.【題目詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個編號相距，所以第四位的編號是.故答案為：29三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）答案見解析【解題分析】（1）設的公差為，根據等比中項的性質得到，即可求，從而求出的通項公式，所以，即可求出等比數列的公比，從而求出的通項公式；（2）若選①：則，利用裂項相消法求和即可；若選②：則，根據等比數列求和公式計算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設的公差為，成等比數列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.18、（1）；（2）證明過程見解析.【解題分析】（1）根據等比數列的通項公式，結合對數的運算性質、等比數列和等差數列前項和公式進行求解即可；（2）根據等比數列的通項公式，結合雙曲線漸近線方程和離心率公式進行證明即可.【小問1詳解】設等比數列的公比為，因為，所以，因此，所以，所以；【小問2詳解】由（1）知，在雙曲線中，，所以得，因此雙曲線的漸近線方程為：，雙曲線的離心率為：，所以雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同.19、（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解題分析】（1）由橢圓所過點及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設出點A，B坐標并列出它們滿足的關系，利用點差法即可作答；（3）設直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達定理求得，，再結合為等邊三角形的條件即可作答.【題目詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標準方程為；（2）設，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點P，由(1)知，設直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點，，因為等邊三角形，即有，，因此，，，從而得，整理得，無解，所以在y軸上不存在點，使得為等邊三角形.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設平面的法向量則，令，則，即，設平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.21、（1）；（2）存在，.【解題分析】（1）設出圓心，根據圓心到直線距離等于半徑列方程求出的值可得圓心坐標，進而可得圓的方程；（2）由題可設直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理及可得，即得.【小問1詳解】由已