安徽省馬鞍山中加雙語學(xué)校 2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

安徽省馬鞍山中加雙語學(xué)校2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.62．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓C的短軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C. D.43．若在1和16中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.44．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.C. D.66．若，則（）A.1 B.2C.3 D.47．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).若，點(diǎn)P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.9．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e10．橢圓的兩焦點(diǎn)之間的距離為A. B.C. D.11．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.12．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲乙參加摸球游戲，袋子中裝有3個(gè)黑球和1個(gè)白球，球的大小、形狀、質(zhì)量等均一樣，若從袋中有放回地取1個(gè)球，再取1個(gè)球，若取出的兩個(gè)球同色，則甲勝，若取出的兩個(gè)球不同色則乙勝，求乙獲勝的概率為_____14．下列說法中，正確的有_________（填序號(hào)）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.15．已知圓，過點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為___________.16．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，求函數(shù)的最小值.19．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值21．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22．（10分）某消費(fèi)者協(xié)會(huì)在3月15號(hào)舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動(dòng)，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識(shí)，組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.【題目詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個(gè)，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：B.2、B【解題分析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長(zhǎng).【題目詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長(zhǎng)為.故選：B3、A【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【題目詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.4、C【解題分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【題目詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，，所?故選：C5、C【解題分析】按照空間中點(diǎn)到直線的距離公式直接求解.【題目詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.6、C【解題分析】由二項(xiàng)分布的方差公式即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)?，所?故選：C.7、D【解題分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可得，由點(diǎn)P到直線l的距離不小于可得，進(jìn)而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【題目詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，P為短軸的上端點(diǎn)，連接，如圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點(diǎn)P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.8、A【解題分析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【題目詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問題，屬于中檔題9、D【解題分析】求導(dǎo)，由得出.【題目詳解】，故選：D10、C【解題分析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為,那么可知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此可知兩焦點(diǎn)之間的距離為，故選C考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式，然后結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題11、A【解題分析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長(zhǎng)，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【題目詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A12、C【解題分析】由題意，得，由此可求出答案【題目詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.375【解題分析】先算出有放回地取兩次的取法數(shù)，再算出取出兩球不同色的取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可求得答案.【題目詳解】有放回地取兩球，共有種取法，兩次取球不同色的取法有種，故乙獲勝的概率為，故答案為：14、①【解題分析】根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據(jù)復(fù)合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【題目詳解】①中，當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應(yīng)為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或?yàn)榧?，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①15、或【解題分析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【題目詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.16、【解題分析】根據(jù)拋物線定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積.【題目詳解】由題可得，設(shè)，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【題目詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線關(guān)于直線對(duì)稱，兩直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).18、（1）答案見解析（2）答案見解析【解題分析】（1）函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程的解的個(gè)數(shù)，顯然是方程的一個(gè)解，再對(duì)a分類討論，即得函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，可得，得，再對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分三種情況討論得解.【題目詳解】（1）由，可知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程的解的個(gè)數(shù)，顯然是方程的一個(gè)解；當(dāng)時(shí),方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，有下列幾種情況如下:①當(dāng)時(shí)，方程沒有根，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程的根為，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)且時(shí)，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和；由上知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；當(dāng)且時(shí)，數(shù)的零點(diǎn)為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的最小值為；②當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的最小值為；③當(dāng)，即，此時(shí)函數(shù)最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）12【解題分析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1220、（1）證明過程見解析（2）【解題分析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)?，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量d，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，應(yīng)用累加法、錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】令公差為d，由得：，解得.所以.【小問2詳解】，則，累加整理，得：，①，②②-①得：，又滿足上式，故.22、（1）（2）（3）【解題分析】（1）由頻