2024屆湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.2．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.83．若，在直線l上，則直線l一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.4．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.5．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學(xué)老師制作了一個(gè)如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均關(guān)于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.6．中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.7．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.曲線上 B.曲線上C.直線上 D.直線上8．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.9．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數(shù)為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)低于乙成績的平均數(shù)10．如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.112．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________14．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)______15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為____________16．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項(xiàng)和______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測點(diǎn)A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（1）試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測點(diǎn)A，B之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時(shí)km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會行駛多長時(shí)間？18．（12分）已知：，:.(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率20．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.21．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號分組頻數(shù)頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試，則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名被甲考官面試，求這2名學(xué)生來自同一組的概率.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計(jì)算的正弦值.【題目詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C2、D【解題分析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【題目詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.3、C【解題分析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【題目詳解】因?yàn)?，在直線l上，所以直線l的一個(gè)方向向量為.故選：C.4、B【解題分析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題5、D【解題分析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點(diǎn)縱坐標(biāo)代入計(jì)算即可求得橫坐標(biāo)得出結(jié)果.【題目詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以可設(shè)雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因?yàn)?，所以的縱坐標(biāo)為18.由，得，故.故選：D.6、D【解題分析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可【題目詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：故選：D7、B【解題分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先化簡，進(jìn)而求出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因此?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，可知其在曲線上.故選：B8、C【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【題目詳解】.故選：C.9、D【解題分析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【題目詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.10、B【解題分析】令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【題目詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知，點(diǎn)線段中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B11、A【解題分析】直接由等差中項(xiàng)得到結(jié)果.詳解】由得.故選：A.12、A【解題分析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【題目詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】計(jì)算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【題目詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.14、##【解題分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【題目詳解】由題意可知：復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)，故答案為：15、【解題分析】根據(jù)拋物線定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積.【題目詳解】由題可得，設(shè)，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.16、【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū)，行駛時(shí)長為半小時(shí)【解題分析】（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再由距離公式得出A，B之間的距離；（2）由三點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組得出經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進(jìn)而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時(shí)長.【小問1詳解】由題意得，∴；【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)樵搱A經(jīng)過三點(diǎn)，∴，得到.所以該圓方程為：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，圓心（6，8）到直線的距離，所以直線與圓相交，即輪船會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū).直線與圓截得的弦長為，行駛時(shí)長小時(shí).即在安全警示區(qū)內(nèi)行駛時(shí)長為半小時(shí).18、(1)；(2).【解題分析】(1)將代入即可求解；(2)首先結(jié)合已知條件分別求出命題和的解，寫出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【題目詳解】(1)由題意可知，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；(2)由，解得或，由，解得，故命題：或；命題：，從而：或，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以或或，從而，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨(dú)立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨(dú)立根據(jù)事件獨(dú)立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義得：甲獲勝的概率為20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到、，即可得到平面，再根據(jù)，即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可得到點(diǎn)，，的坐標(biāo)，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；小問1詳解】證明：連接DE因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，且，所以平面因?yàn)?，所以平面BDE，所以【小問2詳解】解：由（1）可知因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE兩兩垂直以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)．則，，．從而，設(shè)平面BCE的法向量為，則令，得平面ABC的一個(gè)法向量為設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則21、（1），，（2）第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人（3）【解題分析】（1）根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)求出b，c，d的值；（2）三個(gè)組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學(xué)生第三組應(yīng)抽3人，第四組應(yīng)抽2人，第五組應(yīng)抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結(jié)合概率公式得出答案.【小問1詳解】由題意得，，【小問2詳解】三個(gè)組共有60人，所以第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人.【小問3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別