第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法

第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四1二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)回顧一階齊次線性方程1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解；第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)1、方程(2)的任意兩個(gè)解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(稱線性無(wú)關(guān)),則上式為(2)的通解.定理1(2)第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法代數(shù)方程(3)稱為微分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).

(3)(2)第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四4故它們線性無(wú)關(guān),

因此(2)的通解為

(3)情形1

第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四5情形2

需要求另一個(gè)特解第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四6情形3

可以證明,是(2)的解，且線性無(wú)關(guān)，所以方程(2)的通解為

第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四7小結(jié)特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根復(fù)根第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四8解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為特征根為第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四9解特征方程為故通解為例3特征根為第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四10對(duì)應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一個(gè)解加上方程(2)的任意一個(gè)解是(1)的解；2、方程(1)的任意兩個(gè)解之差是(2)的解

.定理2那么方程(1)的通解為第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四11問(wèn)題歸結(jié)為求方程(1)的一個(gè)特解.只討論

f

(x)的兩種類型.用待定系數(shù)法求解.對(duì)應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解為定理2第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四12則第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四13情形1

若

r

不是特征根,

即情形2

若

r

是特征方程的單根,即第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四14情形3

若

r

是特征方程的二重根,即第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四15綜上討論設(shè)特解為其中第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四16解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得

第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四17解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解為例5得第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四18解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四19解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例6注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20解例7對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四21此時(shí)原方程的通解為

第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四22可以證明,方程(1)具有如下形式的特解:第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四23解例8所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四24解例9所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四25定理3(非齊次線性方程的疊加原理)

和的特解,的一個(gè)特解,第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四26例10解代入得第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四27解代入得原方程通解為例10第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四28解例11是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,但沒(méi)有原方程的特解,

故(B)也不對(duì)；

二階非齊次線性微分方程

第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四29第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四30解例12求導(dǎo)，原方程改寫(xiě)為再求導(dǎo)，第三十一頁(yè)，共