第7章 不等式、推理與證明 第4節(jié)　推理與證明

第七章不等式、推理與證明第4節(jié)推理與證明考試要求1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單演繹推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.4.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn).5.了解反證法的思考過程的特點(diǎn).知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理1.合情推理類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類事物的______對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的______對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理由______到______、由個(gè)別到一般類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(一致)性，推測(cè)一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由______到______部分全部部分整體特殊特殊2.演繹推理 (1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.3.直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的______條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止充分實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示

文字語言因?yàn)椤浴蛴伞谩C……只需證……即證……4.間接證明

間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法. (1)反證法的定義：假設(shè)原命題________

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了____________的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟：①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.不成立原命題成立常用結(jié)論1.合情推理包括歸納推理和類比推理，其結(jié)論是猜想，不一定正確，若要確定其正確性，則需要證明.2.在進(jìn)行類比推理時(shí)，要從本質(zhì)上去類比，只從一點(diǎn)表面現(xiàn)象去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤.3.分析法是執(zhí)果索因，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件；綜合法是由因?qū)Ч?，就是尋找已知的必要條件.4.用反證法證題時(shí)，首先否定結(jié)論，否定結(jié)論就是找出結(jié)論的反面的情況，然后推出矛盾，矛盾可以與已知、公理、定理、事實(shí)或者假設(shè)等相矛盾.×診斷自測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(

) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.(

) (3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”.(

) (4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.(

)

解析(1)類比推理的結(jié)論不一定正確. (3)應(yīng)假設(shè)“a≤b”. (4)演繹推理是在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確.√××C2.(易錯(cuò)題)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理(

)A.結(jié)論正確 B.大前提不正確C.小前提不正確 D.全不正確解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤.A3.(易錯(cuò)題)用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是(

)A.方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根

解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根.4.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，且n∈N*)成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為________________________________________.b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，且n∈N*)解析根據(jù)類比推理的特點(diǎn)可知：等比數(shù)列和等差數(shù)列類比，在等差數(shù)列中是和，在等比數(shù)列中是積，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，且n∈N*).5.(2022·延邊質(zhì)檢)有三張卡片，分別寫有1和2、1和3、2和3，甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”；丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則下列說法中正確的是(

)A.甲的卡片上的數(shù)字是1和3B.甲的卡片上的數(shù)字是2和3C.乙的卡片上的數(shù)字是1和3D丙的卡片上的數(shù)字是1和3A解析由丙說的話可知丙的卡片上的數(shù)字一定不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則乙的卡片上的數(shù)字是2和3，甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則乙的卡片上的數(shù)字是2和3，此時(shí)，甲的卡片上的數(shù)字只能是1和2，不滿足題意.故甲的卡片上的數(shù)字是1和3.解析由題意可得第1組整數(shù)對(duì)的和為3，第2組整數(shù)對(duì)的和為4，第3組整數(shù)對(duì)的和為5，第4組整數(shù)對(duì)的和為6，……，第n組整數(shù)對(duì)的和為n＋2，且各個(gè)數(shù)對(duì)數(shù)字按順序排列，可得第30組整數(shù)對(duì)的和為32，則第30組的第16個(gè)數(shù)對(duì)為(17，15).6.(2021·南充聯(lián)考)將正整數(shù)對(duì)做如下分組，第1組為{(1，2)，(2，1)}，第2組為{(1，3)，(3，1)}，第3組為{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，第4組為{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}，……，則第30組的第16個(gè)數(shù)對(duì)為________.

(17，15)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一合情推理與演繹推理例1

(2021·安徽六校測(cè)試)如圖，第1個(gè)圖形由正三角形擴(kuò)展而成，共12個(gè)頂點(diǎn).第n個(gè)圖形由正n＋2邊形擴(kuò)展而來，其中n∈N*，則第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)角度1歸納推理DA.(2n＋1)(2n＋2) B.3(2n＋2)C.2n(5n＋1) D.(n＋2)(n＋3)解析由已知中的圖形可以得到：當(dāng)n＝1時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為12＝3×4，當(dāng)n＝2時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為20＝4×5，當(dāng)n＝3時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為30＝5×6，當(dāng)n＝4時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為42＝6×7，……由此可以推斷：第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為(n＋2)(n＋3).A.714 B.1870 C.4895 D.4896角度2類比推理C解析將an＋1＝an＋2－an兩邊同乘an＋1，＝1－a2a1＋a10a11＝1－1＋55×89＝4895.例3

(2022·河南名校聯(lián)考)自主招生聯(lián)盟成形于2009年清華大學(xué)等五校聯(lián)考，主要包括“北約”聯(lián)盟，“華約”聯(lián)盟，“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟.調(diào)查某高中學(xué)校學(xué)生自主招生報(bào)考的情況，得到如下結(jié)果：①報(bào)考“北約”聯(lián)盟的學(xué)生，都沒報(bào)考“華約”聯(lián)盟；②報(bào)考“華約”聯(lián)盟的學(xué)生，也報(bào)考了“京派”聯(lián)盟；③報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生，都沒報(bào)考“京派”聯(lián)盟；④不報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生，就報(bào)考“華約”聯(lián)盟.根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)角度3演繹推理DA.沒有同時(shí)報(bào)考“華約”和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生B.報(bào)考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣多C.報(bào)考“北約”聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“卓越”聯(lián)盟D.報(bào)考“京派”聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“北約”聯(lián)盟解析設(shè)該校報(bào)考“北約”聯(lián)盟，“華約”聯(lián)盟，“京派”聯(lián)盟和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生分別為集合A，B，C，D，報(bào)考自主招生的總學(xué)生為U，則由題意，知A∩B＝，B?C，D∩C＝，

?UD＝B，∴A?D，B＝C，B∩D＝.選項(xiàng)A中，B∩D＝，正確；選項(xiàng)B中，B＝C，正確；選項(xiàng)C中，A?D，正確.1.歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào).(2)與式子有關(guān)的推理.觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，注意縱向?qū)Ρ?，找到?guī)律.(3)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?2.類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差與等比數(shù)列類比；運(yùn)算類比(加與乘，乘與乘方，減與除，除與開方).數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等.3.演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提.感悟提升訓(xùn)練1

(1)中國有句名言“運(yùn)算帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌.古代用算籌(一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子)來進(jìn)行運(yùn)算.算籌的擺放有縱式、橫式兩種(如圖所示).當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位數(shù)用橫式表示，依此類推，遇零則置空，例如3266用算籌表示就是

，則8771用算籌應(yīng)表示為(

)C中國古代的算籌數(shù)碼所以8771用算籌應(yīng)表示為解析由算籌的定義，得.C解析從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，可得如下結(jié)論：證明如下：球心到正四面體一個(gè)面的距離即球的半徑r，連接球心與正四面體的四個(gè)頂點(diǎn).

(其中S為正四面體一個(gè)面的面積，h為正四面體的高)考點(diǎn)二直接證明與間接證明例4

已知a，b，c＞0，a＋b＋c＝1.求證：角度1綜合法證明∵a＞0，∴3a＋1＞1，以上三式相加得角度2分析法所以只需證例6

設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；角度3反證法因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，這與公比q≠0矛盾，所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？解當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列，否則2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，這與公比q≠0矛盾.綜上，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列{Sn}不是等差數(shù)列.1.綜合法證題從已知條件出發(fā)，分析法從要證結(jié)論入手，證明一些復(fù)雜問題，可采用兩頭湊的方法.2.反證法適用于不好直接證明的問題，應(yīng)用反證法證明時(shí)必須先否定結(jié)論.感悟提升證明∵a＞0，b＞0，只要證(a＋b)2≥4ab，只要證(a＋b)2－4ab≥0，即證a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，(2)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0.證明假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，即至少有一個(gè)不是正數(shù)，不妨先設(shè)a≤0，下面分a＝0和a＜0兩種情況討論，如果a＝0，則abc＝0與abc＞0矛盾，所以a＝0不可能，如果a＜0，那么由abc＞0可得，bc＜0，又因?yàn)閍＋b＋c＞0，所以b＋c＞－a＞0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，這和已知ab＋bc＋ca＞0相矛盾，因此，a＜0也不可能，綜上所述，a＞0，同理可證b＞0，c＞0，所以原命題成立.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.“對(duì)數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log2|x|是對(duì)數(shù)函數(shù)，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理(

) A.結(jié)論正確 B.大前提錯(cuò)誤 C.小前提錯(cuò)誤 D.推理形式錯(cuò)誤

解析本命題的小前提是f(x)＝log2|x|是對(duì)數(shù)函數(shù)，但是這個(gè)小前提是錯(cuò)誤的，因?yàn)閒(x)＝log2|x|不是對(duì)數(shù)函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的才是對(duì)數(shù)函數(shù).C2.觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝(

) A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)

解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x).D3.觀察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，則式子35是第(

) A.22項(xiàng) B.23項(xiàng) C.24項(xiàng)

D.25項(xiàng)

解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，35是和為8的第3項(xiàng)，所以為第24項(xiàng).CA.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1C即證x2>0，因?yàn)閤>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2解析假設(shè)a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6，C與a＋b＋c＜6矛盾，∴a，b，c都小于2錯(cuò)誤.∴a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.6.《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華文化的基礎(chǔ)，它反映了中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“

”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“

”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤

0000震

0011坎

0102兌

0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“

”表示的十進(jìn)制數(shù)是(

)A.18 B.17 C.16 D.15B解析由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)“

”表示二進(jìn)制數(shù)的010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.7.數(shù)列2，5，11，20，x，…中的x等于________.

解析由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.32…，證明∵a，b，c∈(0，＋∞)，由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得11.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1