2022屆高考文科數(shù)學(xué)考案簡單不等式的解法

真題探究考綱解讀知識盤點典例精析例題備選命題預(yù)測基礎(chǔ)拾遺技巧歸納§6.2簡單不等式的解法

3其他不等式的解法對于簡單的分式不等式,會轉(zhuǎn)化成一元二次不等式的形式去求解.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2含參一元二次不等式會解決含參一元二次不等式的問題.1一元二次不等式的解法會從實際背景中抽象出一元二次不等式的模型.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.會解一元二次不等式等.會解決由一元二次不等式的解求參數(shù)的值或范圍的問題．

不等式的解法是每年高考的必考內(nèi)容,其命題的要點包括一元

二次不等式的解法、不等式的解法與其他數(shù)學(xué)知識的綜合、含參

不等式的解法,通過近三年高考試題可以看出,解不等式主要涉及一

元二次不等式、分式不等式、指數(shù)和對數(shù)不等式等,以一元二次不

等式為主,其他不等式可化為一元二次不等式的形式求解,以不等式

恒成立問題為依托求參數(shù)的取值范圍.從命題趨勢來看以下三個問

題是高考的熱點:(1)以集合為背景考查一元二次不等式的解法;(2)

對所含參數(shù)的討論一并考查“三個二次”的轉(zhuǎn)化;(3)與其他知識交考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選匯考查一元二次不等式的相關(guān)知識.

1.一元一次不等式一元一次不等式可整理為ax>b(a≠0).①當(dāng)a>0時,不等式的解為x>

;②當(dāng)a<0時,不等式的解為x<

;考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.一元二次不等式(1)解一元二次不等式的步驟:①把二次項的系數(shù)a變?yōu)檎?(若a<0,那么在不等式兩邊都乘以-1,

把系數(shù)變?yōu)檎?②解對應(yīng)的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后

求根)③求解一元二次不等式.(根據(jù)一元二次方程的根及不等式的方向,當(dāng)

a>0且Δ>0時,定一元二次不等式的解集的口訣:“小于號取中間,大

于號取兩邊”.)考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選a>0,Δ=b2-4ac

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有兩個實根x=x1或x=x2有兩個相等的

實根x=x1=x2=-

無實根(2)一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選一元二次不等式的解集不等式ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R不等式ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}空集空集考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.簡單的分式不等式的解法①對于解

<a或

≥a型不等式,應(yīng)先移項、通分,將不等式整理成

>0(<0)或

≥0(≤0)的形式.②轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,但要注意分母不為零.

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年浙江五校聯(lián)考)已知集合M={x|y=

},N={x|y=log2(x-2x2)},則

R(M∩N)等于

(

)(A)(

,

).

(B)(-∞,

)∪[

,+∞).(C)[0,

].

(D)(-∞,0]∪[

,+∞).【解析】因為y=

,所以3x-1≥0,因此x≥

,即M={x|x≥

};考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【答案】B因為y=log2(x-2x2),所以x-2x2>0,因此0<x<

,即N={x|0<x<

};所以M∩N={x|

≤x<

},因此

R(M∩N)={x|x≥

或x<

}.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的a的取值范圍為

.【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0?-1<a<2,所以所求a的范

圍為(-1,2).【答案】(-1,2)考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(2011年天津南開中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)=

,則使f(x0)>

的x0的取值范圍為

(

)(A)(-∞,1]∪(3,+∞).(B)(-∞,2]∪(4,+∞).(C)(-∞,2)∪(3,+∞).(D)(-∞,3)∪(4,+∞).【解析】當(dāng)x∈(-∞,1]時,2-x>

即2-x>2-2,解得x<2,因此x≤1;考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選當(dāng)x∈(1,+∞)時,log81x>

即log81x>log81(81

=log813,解得x>3,因此x>3.綜上可得x>3或x≤1.【答案】A考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選4.(2011年陜西西安五大名校一模)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),

則{x|f(x-2)>0}等于

(

)(A){x|x<-2或x>4}.

(B){x|x<0或x>4}.(C){x|x<0或x>6}.

(D){x|x<-2或x>2}.【解析】根據(jù)f(x)=2x-4為偶函數(shù)得f(x)=2|x|-4,因此f(x-2)=2|x-2|-4,令2|x-2|-4>0得2|x-2|>22,因此|x-2|>2,解得x<0或x>4,因此不等式解集為{x|x

<0或x>4}.【答案】B考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1

(1)關(guān)于x的不等式x2-ax-20a2<0任意兩個解的差不超過9,則a的最大值與最小值的和是

(

)(A)2.

(B)1.

(C)0.

(D)-1.題型1簡單不等式的解法考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)已知函數(shù)f(x)=

那么不等式f(x)<0的解集為

.【分析】(1)任意兩個解的差不超過9即不等式解的最大值與最小值

差值不超過9,因此解出不等式即可;(2)分段解出不等式,最后求并集.【解析】(1)方程x2-ax-20a2=0的兩根是x1=-4a,x2=5a,則由關(guān)于x的不

等式x2-ax-20a2<0任意兩個解的差不超過9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤

1,且a≠0.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)當(dāng)x≤0時,由-|x+1|可得x≠-1;當(dāng)x>0時,由x2-1<0得-1<x<1,所以0<x<

1,故不等式的解集為{x|x<-1或-1<x<1}.【答案】(1)C

(2){x|x<-1或-1<x<1}【點評】解不等式的核心問題是將不等式同解變形,由復(fù)雜向簡單

轉(zhuǎn)化,不等式的性質(zhì)是同解變形的理論依據(jù),方程的根、函數(shù)的圖象

和性質(zhì)都會給不等式的求解提供幫助,要注意將它們有機結(jié)合,互相

轉(zhuǎn)化.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練1

(1)不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集為{x|-2<x<1},則函數(shù)y=f

(-x)的圖象是

(

)考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)若不等式

+m<0的解集為{x|x<3或x>4},則m的值為

.【解析】(1)f(x)=ax2-x-c>0解集為{x|-2<x<1},即方程ax2-x-c=0的兩根

為-2,1,∴

∴

∴f(x)=-x2-x+2,∴y=f(-x)=-x2+x+2.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)由

+m<0,得

<0,即當(dāng)1+m>0時,解集在兩根之內(nèi),顯然不合題意;當(dāng)1+m<0時有(x+m-1)(x+m)>0,其大根為1-m,小根為-m.所

以

,得m=-3.【答案】(1)C

(2)-3考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例2

(1)(2011年天津青光中學(xué)期中)已知函數(shù)y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定義域為R,則m的取值范圍是

.題型2三個二次之間的轉(zhuǎn)化(2)若不等式mx2-2x+1-m<0對滿足-2≤m≤2的所有m都成立,則實數(shù)x

的取值范圍是

.【分析】(1)將函數(shù)定義域R為轉(zhuǎn)化為不等式大于零恒成立,然后通

過轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解;考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)將m視為變量,轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造不等式關(guān)

系,得出實數(shù)x的取值范圍.【解析】(1)∵函數(shù)y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定義域為R,∴(m-2)x2

+2(m-2)x+4>0對x∈R成立.∴當(dāng)m=2時,成立;當(dāng)m≠2時,根據(jù)對數(shù)真數(shù)恒大于零,得(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集為

R.∴

即

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選解得

∴m的取值范圍為[2,6).(2)已知不等式可化為(x2-1)m+(1-2x)<0.設(shè)f(m)=(x2-1)m+(1-2x),這是一個關(guān)于m的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù)),從圖

象上看,要使f(m)<0在-2≤m≤2時恒成立,其等價條件是:考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

即

解得

所以,實數(shù)x的取值范圍是(

,

).【答案】(1)[2,6)

(2)(

,

)考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【點評】(1)“三個二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元

二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系,

同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中很

多試題與“三個二次”問題有關(guān),而不等式的解法其核心內(nèi)容也是

一元二次不等式的解法,因此“三個二次”及其關(guān)系的問題一直以

來是高考中的熱點.(2)題是一個關(guān)于x的二次不等式,若將主元看

作m,則變?yōu)殛P(guān)于m的一次函數(shù),從而使問題變?yōu)橐淮尾坏仁?考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)若命題“?a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”為真命題,則實數(shù)x的取值

范圍是

.【解析】(1)∵分母4x2+6x+3的Δ<0,∴4x2+6x+3>0對任意實數(shù)x恒成立.∴原不等式可化為2x2+2kx+k<4x2+6x+3,即2x2+(6-2k)x+3-k>0恒成立.∴

,即1<k<3.變式訓(xùn)練2

(1)若關(guān)于x的不等式

<1的解集是一切實數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是

.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)令m(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,m(a)是關(guān)于a的一次函數(shù),∵命題“?a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”為真命題,∴m(1)>0或m(3)>0,即x2-x-2>0,①或3x2+x-2>0,②由①得x<-1或x>2;由②得x<-1或x>

.所以所求實數(shù)x的取值范圍是x<-1或x>

.【答案】(1)1<k<3

(2)x<-1或x>

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例3汽車在行駛中,由于慣性的作用,剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是

分析事故的一個重要因素.在一個限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情

況不對,同時剎車,但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離

略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m,又知甲、乙兩種車型的剎

車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=

0.05x+0.005x2.問:甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象?【分析】判斷兩車是否超速,可以通過剎車距離確定該車速度,因此,

根據(jù)速度與剎車距離的函數(shù)關(guān)系,確定兩車速度范圍即可.題型3不等式解法在實際問題中的應(yīng)用考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【解析】由題意知,對于甲車,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0,解

得x>30或x<-40(不合實際意義,舍去),這表明甲車的車速超過30km

/h.但根據(jù)題意剎車距離略超過12m,由此估計甲車車速不會超過限

速40km/h.對于乙車,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不

合實際意義,舍去),這表明乙車的車速超過40km/h,超過規(guī)定限速.【點評】本題通過函數(shù)與不等式的綜合,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能

力,在解題過程中要特別注意函數(shù)的定義域.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練3某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有

關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺),其總成本為G(x)(萬元),

其中固定成本為2萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成

本=固定成本+生產(chǎn)成本);銷售收入R(x)(萬元)滿足:R(x)=

,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡,那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)要使工廠有贏利,產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時,可使贏利最多?【解析】依題意,G(x)=x+2,設(shè)利潤函數(shù)為f(x),則f(x)=

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)要使工廠有贏利,即解不等式f(x)>0,當(dāng)0≤x≤5時,解不等式-0.4x2+

3.2x-2.8>0,即x2-8x+7<0,得1<x<7,∴1<x≤5.當(dāng)x>5時,解不等式8.2-x>0,得x<8.2,∴5<x<8.2.綜上所述,要使工廠贏利,x應(yīng)滿足1<x<8.2,即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于

100臺,小于820臺的范圍內(nèi).(2)0≤x≤5時,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選故當(dāng)x=4時,f(x)有最大值3.6.而當(dāng)x>5時,f(x)<8.2-5=3.2,所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時,贏利最多.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

1.解不等式的基礎(chǔ)是一元一次不等式和一元二次不等式,解決其他

類型的不等式的關(guān)鍵就是要善于利用有關(guān)的性質(zhì)或定理,通過等價

轉(zhuǎn)換,變成一元一次、二次不等式(組).2.簡單的分式不等式要通分之后轉(zhuǎn)化為整式不等式,而不要盲目地去分母.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年廣東卷)不等式2x2-x-1>0的解集是

(

)(A)(-

,1).

(B)(1,+∞).(C)(-∞,1)∪(2,+∞).

(D)(-∞,-

)∪(1,+∞).【答案】D【解析】2x2-x-1>0?(2x+1)(x-1)>0,解得x<-

或x>1,故選D.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.(2011年遼寧卷)設(shè)函數(shù)f(x)=

則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是

(

)(A)[-1,2].

(B)[0,2].(C)[1,+∞).

(D)[0,+∞).【答案】D【解析】原不等式等價于

或

,解不等式組,可得0≤x≤1或x>1,即x≥0.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(2011年江西卷)若f(x)=x2-2x-4lnx,則f'(x)>0的解集為

(

)(A)(0,+∞).

(B)(-1,0)∪(2,+∞).(C)(2,+∞).

(D)(-1,0).【答案】C

【解析】因為f'(x)=2x-2-

=

,原函數(shù)的定義域為(0,+∞),所以由f'(x)>0可得x2-x-2>0,解得x>2,故選C.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1(2011年江蘇徐州高三第一次調(diào)研)已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,則b的取值范圍是

.【解析】將c=9-a-b代入ab+ac+bc=24,并化簡,構(gòu)造關(guān)于a的一元二次

方程:a2+a(b-9)+b2-9b+24=0,該方程有解,則Δ=(b-9)2-4(b2-9b+24)≥0,

解得1≤b≤5.【答案】[1,5]考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題