2022屆高考文科數(shù)學(xué)考案簡(jiǎn)單不等式的解法

真題探究考綱解讀知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析例題備選命題預(yù)測(cè)基礎(chǔ)拾遺技巧歸納§6.2簡(jiǎn)單不等式的解法

3其他不等式的解法對(duì)于簡(jiǎn)單的分式不等式,會(huì)轉(zhuǎn)化成一元二次不等式的形式去求解.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2含參一元二次不等式會(huì)解決含參一元二次不等式的問(wèn)題.1一元二次不等式的解法會(huì)從實(shí)際背景中抽象出一元二次不等式的模型.通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.會(huì)解一元二次不等式等.會(huì)解決由一元二次不等式的解求參數(shù)的值或范圍的問(wèn)題．

不等式的解法是每年高考的必考內(nèi)容,其命題的要點(diǎn)包括一元

二次不等式的解法、不等式的解法與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合、含參

不等式的解法,通過(guò)近三年高考試題可以看出,解不等式主要涉及一

元二次不等式、分式不等式、指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式等,以一元二次不

等式為主,其他不等式可化為一元二次不等式的形式求解,以不等式

恒成立問(wèn)題為依托求參數(shù)的取值范圍.從命題趨勢(shì)來(lái)看以下三個(gè)問(wèn)

題是高考的熱點(diǎn):(1)以集合為背景考查一元二次不等式的解法;(2)

對(duì)所含參數(shù)的討論一并考查“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)化;(3)與其他知識(shí)交考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選匯考查一元二次不等式的相關(guān)知識(shí).

1.一元一次不等式一元一次不等式可整理為ax>b(a≠0).①當(dāng)a>0時(shí),不等式的解為x>

;②當(dāng)a<0時(shí),不等式的解為x<

;考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.一元二次不等式(1)解一元二次不等式的步驟:①把二次項(xiàng)的系數(shù)a變?yōu)檎?(若a<0,那么在不等式兩邊都乘以-1,

把系數(shù)變?yōu)檎?②解對(duì)應(yīng)的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后

求根)③求解一元二次不等式.(根據(jù)一元二次方程的根及不等式的方向,當(dāng)

a>0且Δ>0時(shí),定一元二次不等式的解集的口訣:“小于號(hào)取中間,大

于號(hào)取兩邊”.)考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選a>0,Δ=b2-4ac

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有兩個(gè)實(shí)根x=x1或x=x2有兩個(gè)相等的

實(shí)根x=x1=x2=-

無(wú)實(shí)根(2)一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選一元二次不等式的解集不等式ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R不等式ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}空集空集考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.簡(jiǎn)單的分式不等式的解法①對(duì)于解

<a或

≥a型不等式,應(yīng)先移項(xiàng)、通分,將不等式整理成

>0(<0)或

≥0(≤0)的形式.②轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,但要注意分母不為零.

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年浙江五校聯(lián)考)已知集合M={x|y=

},N={x|y=log2(x-2x2)},則

R(M∩N)等于

(

)(A)(

,

).

(B)(-∞,

)∪[

,+∞).(C)[0,

].

(D)(-∞,0]∪[

,+∞).【解析】因?yàn)閥=

,所以3x-1≥0,因此x≥

,即M={x|x≥

};考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【答案】B因?yàn)閥=log2(x-2x2),所以x-2x2>0,因此0<x<

,即N={x|0<x<

};所以M∩N={x|

≤x<

},因此

R(M∩N)={x|x≥

或x<

}.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的a的取值范圍為

.【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0?-1<a<2,所以所求a的范

圍為(-1,2).【答案】(-1,2)考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(2011年天津南開(kāi)中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)=

,則使f(x0)>

的x0的取值范圍為

(

)(A)(-∞,1]∪(3,+∞).(B)(-∞,2]∪(4,+∞).(C)(-∞,2)∪(3,+∞).(D)(-∞,3)∪(4,+∞).【解析】當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí),2-x>

即2-x>2-2,解得x<2,因此x≤1;考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),log81x>

即log81x>log81(81

=log813,解得x>3,因此x>3.綜上可得x>3或x≤1.【答案】A考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選4.(2011年陜西西安五大名校一模)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),

則{x|f(x-2)>0}等于

(

)(A){x|x<-2或x>4}.

(B){x|x<0或x>4}.(C){x|x<0或x>6}.

(D){x|x<-2或x>2}.【解析】根據(jù)f(x)=2x-4為偶函數(shù)得f(x)=2|x|-4,因此f(x-2)=2|x-2|-4,令2|x-2|-4>0得2|x-2|>22,因此|x-2|>2,解得x<0或x>4,因此不等式解集為{x|x

<0或x>4}.【答案】B考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1

(1)關(guān)于x的不等式x2-ax-20a2<0任意兩個(gè)解的差不超過(guò)9,則a的最大值與最小值的和是

(

)(A)2.

(B)1.

(C)0.

(D)-1.題型1簡(jiǎn)單不等式的解法考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)已知函數(shù)f(x)=

那么不等式f(x)<0的解集為

.【分析】(1)任意兩個(gè)解的差不超過(guò)9即不等式解的最大值與最小值

差值不超過(guò)9,因此解出不等式即可;(2)分段解出不等式,最后求并集.【解析】(1)方程x2-ax-20a2=0的兩根是x1=-4a,x2=5a,則由關(guān)于x的不

等式x2-ax-20a2<0任意兩個(gè)解的差不超過(guò)9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤

1,且a≠0.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)當(dāng)x≤0時(shí),由-|x+1|可得x≠-1;當(dāng)x>0時(shí),由x2-1<0得-1<x<1,所以0<x<

1,故不等式的解集為{x|x<-1或-1<x<1}.【答案】(1)C

(2){x|x<-1或-1<x<1}【點(diǎn)評(píng)】解不等式的核心問(wèn)題是將不等式同解變形,由復(fù)雜向簡(jiǎn)單

轉(zhuǎn)化,不等式的性質(zhì)是同解變形的理論依據(jù),方程的根、函數(shù)的圖象

和性質(zhì)都會(huì)給不等式的求解提供幫助,要注意將它們有機(jī)結(jié)合,互相

轉(zhuǎn)化.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練1

(1)不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集為{x|-2<x<1},則函數(shù)y=f

(-x)的圖象是

(

)考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)若不等式

+m<0的解集為{x|x<3或x>4},則m的值為

.【解析】(1)f(x)=ax2-x-c>0解集為{x|-2<x<1},即方程ax2-x-c=0的兩根

為-2,1,∴

∴

∴f(x)=-x2-x+2,∴y=f(-x)=-x2+x+2.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)由

+m<0,得

<0,即當(dāng)1+m>0時(shí),解集在兩根之內(nèi),顯然不合題意;當(dāng)1+m<0時(shí)有(x+m-1)(x+m)>0,其大根為1-m,小根為-m.所

以

,得m=-3.【答案】(1)C

(2)-3考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例2

(1)(2011年天津青光中學(xué)期中)已知函數(shù)y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定義域?yàn)镽,則m的取值范圍是

.題型2三個(gè)二次之間的轉(zhuǎn)化(2)若不等式mx2-2x+1-m<0對(duì)滿足-2≤m≤2的所有m都成立,則實(shí)數(shù)x

的取值范圍是

.【分析】(1)將函數(shù)定義域R為轉(zhuǎn)化為不等式大于零恒成立,然后通

過(guò)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解;考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)將m視為變量,轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造不等式關(guān)

系,得出實(shí)數(shù)x的取值范圍.【解析】(1)∵函數(shù)y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定義域?yàn)镽,∴(m-2)x2

+2(m-2)x+4>0對(duì)x∈R成立.∴當(dāng)m=2時(shí),成立;當(dāng)m≠2時(shí),根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)恒大于零,得(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集為

R.∴

即

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選解得

∴m的取值范圍為[2,6).(2)已知不等式可化為(x2-1)m+(1-2x)<0.設(shè)f(m)=(x2-1)m+(1-2x),這是一個(gè)關(guān)于m的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù)),從圖

象上看,要使f(m)<0在-2≤m≤2時(shí)恒成立,其等價(jià)條件是:考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

即

解得

所以,實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

,

).【答案】(1)[2,6)

(2)(

,

)考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【點(diǎn)評(píng)】(1)“三個(gè)二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元

二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系,

同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中很

多試題與“三個(gè)二次”問(wèn)題有關(guān),而不等式的解法其核心內(nèi)容也是

一元二次不等式的解法,因此“三個(gè)二次”及其關(guān)系的問(wèn)題一直以

來(lái)是高考中的熱點(diǎn).(2)題是一個(gè)關(guān)于x的二次不等式,若將主元看

作m,則變?yōu)殛P(guān)于m的一次函數(shù),從而使問(wèn)題變?yōu)橐淮尾坏仁?考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)若命題“?a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”為真命題,則實(shí)數(shù)x的取值

范圍是

.【解析】(1)∵分母4x2+6x+3的Δ<0,∴4x2+6x+3>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.∴原不等式可化為2x2+2kx+k<4x2+6x+3,即2x2+(6-2k)x+3-k>0恒成立.∴

,即1<k<3.變式訓(xùn)練2

(1)若關(guān)于x的不等式

<1的解集是一切實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)令m(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,m(a)是關(guān)于a的一次函數(shù),∵命題“?a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”為真命題,∴m(1)>0或m(3)>0,即x2-x-2>0,①或3x2+x-2>0,②由①得x<-1或x>2;由②得x<-1或x>

.所以所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是x<-1或x>

.【答案】(1)1<k<3

(2)x<-1或x>

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例3汽車(chē)在行駛中,由于慣性的作用,剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,我們稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是

分析事故的一個(gè)重要因素.在一個(gè)限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行,發(fā)現(xiàn)情

況不對(duì),同時(shí)剎車(chē),但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離

略超過(guò)12m,乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m,又知甲、乙兩種車(chē)型的剎

車(chē)距離s(m)與車(chē)速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=

0.05x+0.005x2.問(wèn):甲、乙兩車(chē)有無(wú)超速現(xiàn)象?【分析】判斷兩車(chē)是否超速,可以通過(guò)剎車(chē)距離確定該車(chē)速度,因此,

根據(jù)速度與剎車(chē)距離的函數(shù)關(guān)系,確定兩車(chē)速度范圍即可.題型3不等式解法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【解析】由題意知,對(duì)于甲車(chē),有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0,解

得x>30或x<-40(不合實(shí)際意義,舍去),這表明甲車(chē)的車(chē)速超過(guò)30km

/h.但根據(jù)題意剎車(chē)距離略超過(guò)12m,由此估計(jì)甲車(chē)車(chē)速不會(huì)超過(guò)限

速40km/h.對(duì)于乙車(chē),有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不

合實(shí)際意義,舍去),這表明乙車(chē)的車(chē)速超過(guò)40km/h,超過(guò)規(guī)定限速.【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)函數(shù)與不等式的綜合,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能

力,在解題過(guò)程中要特別注意函數(shù)的定義域.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練3某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有

關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái)),其總成本為G(x)(萬(wàn)元),

其中固定成本為2萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成

本=固定成本+生產(chǎn)成本);銷(xiāo)售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足:R(x)=

,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡,那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)要使工廠有贏利,產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使贏利最多?【解析】依題意,G(x)=x+2,設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x),則f(x)=

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)要使工廠有贏利,即解不等式f(x)>0,當(dāng)0≤x≤5時(shí),解不等式-0.4x2+

3.2x-2.8>0,即x2-8x+7<0,得1<x<7,∴1<x≤5.當(dāng)x>5時(shí),解不等式8.2-x>0,得x<8.2,∴5<x<8.2.綜上所述,要使工廠贏利,x應(yīng)滿足1<x<8.2,即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于

100臺(tái),小于820臺(tái)的范圍內(nèi).(2)0≤x≤5時(shí),f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選故當(dāng)x=4時(shí),f(x)有最大值3.6.而當(dāng)x>5時(shí),f(x)<8.2-5=3.2,所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí),贏利最多.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

1.解不等式的基礎(chǔ)是一元一次不等式和一元二次不等式,解決其他

類(lèi)型的不等式的關(guān)鍵就是要善于利用有關(guān)的性質(zhì)或定理,通過(guò)等價(jià)

轉(zhuǎn)換,變成一元一次、二次不等式(組).2.簡(jiǎn)單的分式不等式要通分之后轉(zhuǎn)化為整式不等式,而不要盲目地去分母.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年廣東卷)不等式2x2-x-1>0的解集是

(

)(A)(-

,1).

(B)(1,+∞).(C)(-∞,1)∪(2,+∞).

(D)(-∞,-

)∪(1,+∞).【答案】D【解析】2x2-x-1>0?(2x+1)(x-1)>0,解得x<-

或x>1,故選D.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.(2011年遼寧卷)設(shè)函數(shù)f(x)=

則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是

(

)(A)[-1,2].

(B)[0,2].(C)[1,+∞).

(D)[0,+∞).【答案】D【解析】原不等式等價(jià)于

或

,解不等式組,可得0≤x≤1或x>1,即x≥0.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(2011年江西卷)若f(x)=x2-2x-4lnx,則f'(x)>0的解集為

(

)(A)(0,+∞).

(B)(-1,0)∪(2,+∞).(C)(2,+∞).

(D)(-1,0).【答案】C

【解析】因?yàn)閒'(x)=2x-2-

=

,原函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),所以由f'(x)>0可得x2-x-2>0,解得x>2,故選C.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1(2011年江蘇徐州高三第一次調(diào)研)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,則b的取值范圍是

.【解析】將c=9-a-b代入ab+ac+bc=24,并化簡(jiǎn),構(gòu)造關(guān)于a的一元二次

方程:a2+a(b-9)+b2-9b+24=0,該方程有解,則Δ=(b-9)2-4(b2-9b+24)≥0,

解得1≤b≤5.【答案】[1,5]考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題