2023屆新高考必刷圓錐曲線(xiàn)大題綜合含解析

【2023屆新高考必刷】■■■■大■■臺(tái)

1.(2023春?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知AB為拋物線(xiàn)G：娟=2PMp>0)的弦,點(diǎn)。在拋物線(xiàn)

的準(zhǔn)線(xiàn)/上.當(dāng)AB過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)R且長(zhǎng)度為8時(shí)，4R中點(diǎn)河到y(tǒng)軸的距離為3.

(1)求拋物線(xiàn)G的方程；

(2)若乙4cB為直角，求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

22

2.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模)已知雙曲線(xiàn)(7：與一9=1(&>0,6>0)的左頂點(diǎn)為>1,過(guò)左焦點(diǎn)口的

ab

直線(xiàn)與C交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)PQ_Lz軸時(shí)，|P*=的面積為3.

(1)求C的方程；

(2)證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

3.(2023秋?浙江絡(luò)興?龍三期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)>1(-2,0),5(2,0)，直線(xiàn)PA與直

線(xiàn)P3的斜率之積為-J，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.

4

(1)求曲線(xiàn)C的方程；

⑵若直線(xiàn)=+與曲線(xiàn)C交于A(yíng)/,N兩點(diǎn),直線(xiàn)舷4,NB與y軸分別交于兩點(diǎn)，若瓦5

=3詬，求證:直線(xiàn)，過(guò)定點(diǎn).

4.(2023秋?淅江?高三期末)已知點(diǎn)A(竽，竽)是雙曲線(xiàn)，■一￡=l(a>0,90)上一點(diǎn)，3與

力關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，E是右焦點(diǎn)，/AFB=3

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-4,0),與雙曲線(xiàn)的右支交于點(diǎn)且直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)R,求

圓。的方程.

5.(2023叁?廣東揖用?高三?？茧A盤(pán)練習(xí))已知拋物線(xiàn)￡：/=2*(0>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)

y=^-x-+4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在y軸上.

(1)求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線(xiàn)Z:y=%(；r-2)(kA通)與拋物線(xiàn)E交于4,6兩點(diǎn),線(xiàn)段43的垂直平分線(xiàn)與工軸交于點(diǎn)

C,若。(6,0),求*［的最大值.

6.(2023?湖南邳用?線(xiàn)考二模)已知雙曲線(xiàn)C：￡—方=l(0<a〈10,b〉0)的右頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)

F(-c,0)到其漸近線(xiàn)bx+ay=0的距離為2,斜率為。的直線(xiàn)。交雙曲線(xiàn)C于45兩點(diǎn)，且\AB\

_8V10

3,

(1)求雙曲線(xiàn)。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)T(6,0)的直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)C交于P,Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP,AQ分別與直線(xiàn)/=6相交于N

兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線(xiàn)段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理

由.

7.（2023春?湖南長(zhǎng)沙?商三雅札中學(xué)校才階段練習(xí)）定義:一般地，當(dāng)，>0且1時(shí)，我們把方程，

+1=，3>6>。）表示的橢圓G稱(chēng)為橢圓「+<=13>6>。）的相似橢圓.

⑴如圖，已知E（—VJ,0）,E（g,0）,M為。。：/+才=4上的動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)印11至點(diǎn)N,使得IM7VI=

|尚：|,尸山的垂直平分線(xiàn)與用N交于點(diǎn)P,記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C,求G的方程;

⑵在條件⑴下，已知橢圓G是橢圓C的相似橢圓，M,N是橢圓G的左右頂點(diǎn).點(diǎn)Q是G上異

于四個(gè)頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)/=e"e為曲線(xiàn)。的離心率）時(shí),設(shè)直線(xiàn)QM與橢圓C交于點(diǎn)4,6,直線(xiàn)

QN、與橢圓。交于點(diǎn)D,E，求\AB\+|DE|的值.

8.(2023-湖北武漢?穌考模根fl測(cè))過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓C：(./；+2),-'+y--=3的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為/>

,Q,直線(xiàn)尸。恰為拋物E：婿=2px,(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn).

(1)求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)設(shè)點(diǎn)T是圓。上的動(dòng)點(diǎn),拋物線(xiàn)E上四點(diǎn)滿(mǎn)足：TA=2TM,T§=2前，設(shè)4B中點(diǎn)為

D.

⑴求直線(xiàn)TO的斜率；

(")設(shè)△TAB面積為S,求S的最大值.

9.(2023*山東?潭坊一中校聯(lián)考模根覆測(cè))已知R為拋物線(xiàn)C-.y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

M為。的準(zhǔn)線(xiàn)/上的一點(diǎn)，直線(xiàn)上"的斜率為-1,2i。網(wǎng)0的面積為1.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作一條直線(xiàn)「，交。于兩點(diǎn)，試問(wèn)在/上是否存在定點(diǎn)N,使得直線(xiàn)NA與NB的斜率

之和等于直線(xiàn)NF斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

10.(2023?山東瘠澤?統(tǒng)考一模)如圖，橢圓。：春■+方=l(a>b>0)的焦點(diǎn)分別為尸|(—一,0)

為橢圓。上一點(diǎn)，△口4丹的面積最大值為一.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若B、D分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn),不垂直坐標(biāo)軸的直線(xiàn)I交橢圓C于P、Q(P在上方，Q在下

方，且均不與盡。點(diǎn)重合)兩點(diǎn),直線(xiàn)PB,QD的斜率分別為如口，且a=-3fc,，求APBQ面積的最

大值.

22

n.(2023?福建泉州?統(tǒng)考三模)已知橢圓C：9+《=1的左、右頂點(diǎn)分別為/I,B.直線(xiàn)/與。相切,

且與圓。:小+才=4交于A(yíng)/,N兩點(diǎn)，A/在N的左側(cè).

(1)若|MN|=￥■，求/的斜率；

D

(2)記直線(xiàn)AM,5N的斜率分別為七七，證明：卜他為定值.

12.(2023*江蘇南通?統(tǒng)考模擬理測(cè))已知4孫/)，B(g,紡)，C(g,%)三個(gè)點(diǎn)在橢圓冬+姬=1,橢圓

外一點(diǎn)P滿(mǎn)足=2而，麗=2爐，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求xxx2+2助紡的值；

(2)證明：直線(xiàn)力。與OB斜率之積為定值.

13.(2023-浙江基興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線(xiàn)C：y-=2m；(?)>()),過(guò)焦點(diǎn)”的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)。于4

B兩點(diǎn)，且=

(1)求拋物線(xiàn)。的方程；

(2)若點(diǎn)P(4,4)，直線(xiàn)PA,P8分別交準(zhǔn)線(xiàn)，于“，N兩點(diǎn),證明：以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

27/2

14.(2023-江蘇連云港?統(tǒng)考模擬覆測(cè))已知橢圓E：。+旨=l(a>b>0)的焦距為2小,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

ao-

P(-V3,y).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)E作直線(xiàn)I與橢圓E相交于46兩點(diǎn)(點(diǎn)力在z軸上方)，過(guò)點(diǎn)4B分別作

橢圓的切線(xiàn),兩切線(xiàn)交于點(diǎn)求的最大值.

\MFX\

22

15.(2023春?江蘇常州?高三校底考開(kāi)學(xué)考試)已知點(diǎn)P(2,-1)在橢圓C：寫(xiě)+?/告=l(a>b>0)上,

ab~

。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4方，直線(xiàn)=+M與。交于A(yíng)6兩點(diǎn)，直線(xiàn)P4PB的斜率之積為

(1)求證：k為定值；

(2)若直線(xiàn)I與力軸交于點(diǎn)Q,求|Q42+IQ4的值.

16.(2023春?江蘇蘇州?商三統(tǒng)才開(kāi)學(xué)才武)已知拋物線(xiàn)y2=a2x的焦點(diǎn)也是離心率為4的橢圓4+

乙Cb

2

^-=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F.

(1)求拋物線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過(guò)尸的直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)于4、交橢圓于C、。，且人在B左側(cè)，。在。左側(cè)，4在。左側(cè).設(shè)

a-\AC\,b=(J\CD\,c=\DB\.

①當(dāng)〃=2時(shí),是否存在直線(xiàn)/,使得a,b,c成等差數(shù)列？若存在，求出直線(xiàn)I的方程；若不存在，說(shuō)明

理由；

②若存在直線(xiàn)I,使得a,b,c成等差數(shù)列，求〃的范圍.

22/2

17.(2023<-江蘇無(wú)得?高三統(tǒng)考期末)已知橢圓G：1+(=l(a>b>())的右焦點(diǎn)F和拋物線(xiàn)C2：

2

y=2pX(p>0)的焦點(diǎn)重合，且G和。的一個(gè)公共點(diǎn)是(弓，2乎卜

⑴求G和G的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)R作直線(xiàn)，分別交橢圓于4B,交拋物線(xiàn)a于P,Q,是否存在常數(shù)，，使--^Q為定

值？若存在，求出1的值;若不存在，說(shuō)明理由.

2

18.(2023我?江蘇?高三統(tǒng)考期末)如圖，已知橢圓號(hào)+娟=1的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)。是橢圓上

異于4g的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)。平行于力。的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)M,N,4。的中點(diǎn)為點(diǎn)O,直線(xiàn)OD與橢

圓交于點(diǎn)P,Q,點(diǎn)P,CM在立軸的上方.

(1)當(dāng)14cl=/時(shí)，求cosZPOM；

(2)求|PQ“MN|的最大值.

19.(2023-淅江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)雙曲線(xiàn)C：￡一￡=1的右焦點(diǎn)為F(3,0),尸到其中一條漸近線(xiàn)

的距離為2.

(1)求雙曲線(xiàn)。的方程；

⑵過(guò)R的直線(xiàn)交曲線(xiàn)。于力，5兩點(diǎn)(其中力在第一象限),交直線(xiàn),于點(diǎn)河，

八十\AF\-\BM\后

⑴求的值1Vl;

⑻過(guò)M平行于04的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)OB、c軸于P,Q,證明：=|PQ|.

20.(2023春?淅江緡興?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：^-+y2=l

(1)設(shè)P是橢圓。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求凡?通的取值范圍；

(2)設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)/交橢圓。于兩點(diǎn),試問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)I，使得

△MBN是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出直線(xiàn)，的方程，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(2023春?淅江?商三開(kāi)學(xué)考武)已知橢圓C："+，=l(a>b>0)的離心率為擊，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

(一2,0),或片為橢圓。的左右焦點(diǎn)，Q(與，例)為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中網(wǎng)>0,記直線(xiàn)QR與橢圓C

在7軸上方的交點(diǎn)為直線(xiàn)與橢圓。在⑦軸上方的交點(diǎn)為B(g,佻).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)①若AF->//BF\，證明：--"I■--=」-；

Vi仇V。

②若|QE|+IQ凡|=3,探究物,外優(yōu)之間關(guān)系.

22.(2023卷?浙江溫州?高三穌考開(kāi)學(xué)考試)如圖，橢圓孚+/=1的左右焦點(diǎn)分別為E，B，點(diǎn)

P5,防)是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)P，E，8的圓與沙軸正半軸交于點(diǎn)力((),汕)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

5(3,0)且與g軸垂直的直線(xiàn)I,與直線(xiàn)4P交于點(diǎn)Q.

(1)求證:物幼=1.

(2)試問(wèn)：上軸上是否存在不同于點(diǎn)B的定點(diǎn)滿(mǎn)足當(dāng)直線(xiàn)MP,MQ的斜率存在時(shí)，兩斜率之積為

定值？若存在定點(diǎn)”,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

-2/

23.(2023卷?廣東?商三校屐耆階盤(pán)練習(xí))已知雙曲線(xiàn)E：章■一方=l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為

4(2,0)，直線(xiàn)I過(guò)點(diǎn)P(4,0),當(dāng)直線(xiàn)I與雙曲線(xiàn)E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到直線(xiàn)I的距離為

2V5

(1)求雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線(xiàn)Z與雙曲線(xiàn)E交于兩點(diǎn)，且立軸上存在一點(diǎn)。(。0),使得AMQP=4VQP恒成立，

求t.

24.（2023?廣東梅州?鈍寺一模）已知?jiǎng)訄AAf經(jīng)過(guò)定點(diǎn)耳（一，^,0）,且與圓K：（立一3）2+/=16內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡。的方程；

（2）設(shè)軌跡。與工;軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A,B,點(diǎn)P為軌跡。上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線(xiàn)x=

4于點(diǎn)T,連結(jié)4r交軌跡。于點(diǎn)Q.直線(xiàn)AP、AQ的斜率分別為卜”、kAQ.

⑴求證：用心心。為定值；

（次）證明直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)2軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

2

25.（2023春?湖北武漢?高三華中苒大一府中校才階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)E：1--靖=1與直線(xiàn)心"=

k力—3相交于46兩點(diǎn)，A7為線(xiàn)段AK的中點(diǎn).

（1）當(dāng)看變化時(shí)，求點(diǎn)A/的軌跡方程；

（2）若，與雙曲線(xiàn)E的兩條漸近線(xiàn)分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)卜,使得4、B是線(xiàn)段CD

的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值;若不存在，說(shuō)明理由.

26.(2023?山東?日展一中?？寄０逖轀y(cè))已知雙曲線(xiàn)C：與一《=l(a>O,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

口,生,斜率為一3的直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)。交于兩點(diǎn)，點(diǎn)河(4,—2g)在雙曲線(xiàn)。上，且|町|?|叱］

=24.

⑴求△ME凡的面積；

⑵若加+而=0(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)N(3,1)，記直線(xiàn)的斜率分別為品，后，問(wèn)：島?上是否

為定值？若是,求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.(2023秋.山東泰安.商三統(tǒng)考期末)已知橢圓&.+〈=1(&>6>0)過(guò)41,三)，同伍冬)

兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知Q(4,0),過(guò)P(l,0)的直線(xiàn)/與E交于N兩點(diǎn)，求證

22

28.(2023?浙江?模擬fl測(cè))已知雙曲線(xiàn)E：。-《=l(a>0,b>0)的焦距為10,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)”(8,3同).

a-b

A,B為雙曲線(xiàn)E的左、右頂點(diǎn)，P為直線(xiàn)工=2上的動(dòng)點(diǎn)，連接P力，P3交雙曲線(xiàn)E于點(diǎn)C,D(不同

于4B).

(1)求雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)直線(xiàn)⑺是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.(2023?湖南?模擬理測(cè))已知橢圓C：套■+，=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)為B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

P(—與0)為橢圓C的長(zhǎng)軸上的一點(diǎn)，若"PO=45°,且△OP6的面積為4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓C與,軸負(fù)半軸交于點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)4的直線(xiàn)AM,AN分別與橢圓。交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)

AM,4V的斜率分別為人如N，且—?如N=T)，求證:直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，求

出△AM7V面積的最大值.

30.(20234k-湖北?龍三鈍才階段練習(xí))已知橢圓C：^+^=][a>b>0)的離心率為二.且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

arb~N

(“)，P,Q是橢圓C上的兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線(xiàn)OP與OQ的斜率之積為一](。為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)。為射線(xiàn)OP上一點(diǎn)，且和=而，若

線(xiàn)段DQ與橢圓。交于點(diǎn)E,設(shè)強(qiáng)=?就(，>0).

⑴求/I值；

(w)求四邊形OPEQ的面積.

【2023屆新高考必刷】■■■■大■■臺(tái)

1.（2023春?江蘇揚(yáng)州-高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知AB為拋物線(xiàn)G：y2=2px（p>0）的弦，點(diǎn)。在拋物線(xiàn)

的準(zhǔn)線(xiàn)，上.當(dāng)AB過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)R且長(zhǎng)度為8時(shí)，中點(diǎn)M到夕軸的距離為3.

（1）求拋物線(xiàn)G的方程；

（2）若乙4cB為直角,求證:直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).

【答案】⑴靖=40（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)公式，以及中點(diǎn)到g軸的距離公式，計(jì)算出P即可；

（2）先設(shè)C（-l,c）,?l（中,劭）,6（生,例），直線(xiàn)的方程：/=如+%聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得功+幼

=43仍佻=一471,

又因?yàn)镹4CB為直角可得手?麗=0,化簡(jiǎn)求解可得n=1,所以得出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1,0）.

\AB\=xA-\-xB+p=8

【詳解】（1）設(shè)力（%,幼1）出38,珈），則由題意得｛孫+翊_,

、--2---1

解得P=2,

所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為才二47

（2）直線(xiàn)43過(guò)定點(diǎn)（1,0）,證明如下：

設(shè)C（—4■，物）,3（號(hào),仇），直線(xiàn)48的方程：x=ty+nf

將力=切+九代入靖=4%得y2—4ty—4n=0,

則△>（）,得嚴(yán)+打>0,

由韋達(dá)定理可得"+例=4。幼仇=一4九，

所以CA=（/+L%—c）,CB=（凈+1,劭-c）,

因?yàn)閆.ACB=90°,所以CA,CB=0,即+1+伊儀-c（劭+劭）+「2=0，

即M+4產(chǎn)+2九+1—4n—4tc4-c2=0,

即（n-1）2+（2±-c）2=0,所以九=1,

所以直線(xiàn)AR過(guò)定點(diǎn)（1,0）.

2.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）已知雙曲線(xiàn)C:套?一（=l（a>0,6>0）的左頂點(diǎn)為4過(guò)左焦點(diǎn)F的

直線(xiàn)與C交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)PQ_L立軸時(shí),\PA\^VW,^PAQ的面積為3.

（1）求C的方程；

（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

【答案】⑴/一（=1（2）證明見(jiàn)解析

(?^-)2+(c-a)2=(Vl0)2

I分析】⑴根據(jù)題意,可得|PF|=（.

手等.(c_a)=3，進(jìn)而求解;

c2=a24-62

⑵設(shè)PQ方程為土=/電/-2,P（如幼）,。但,伊），聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)方程組，可得⑶川一1）姬-12my+9

=0,以PQ為直徑的圓的方程為（力—為）（力—x-2）+3—劭）（y一例）=0,由對(duì)稱(chēng)性知以PQ為直徑的圓必

過(guò)力軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到X2—⑶+g）3++初優(yōu)=0,進(jìn)而求解.

【詳解】（1）當(dāng)PQ?軸時(shí)，P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為一c,

代入雙曲線(xiàn)方程，可得所。初=一與,即|PF|=。

aaa、yA/

（0+（c-a）2=（VW\pT/

由題意，可得手等.（c-a）=3，K/

c2^a2+b2

解得a=l,b=瓜、c=2,

/.雙曲線(xiàn)。的方程為："一g-=l;

⑵方法一:設(shè)PQ方程為①=zny-2,P⑶,功）,Q（g,仇），

《‘n3（m2g2—4mg+4）-峭=3=（3加—1）必—12?71夕+9=0,

[3x—y—3

以PQ為直徑的圓的方程為（力一皿）（/一力2）+（y-yNy—y。=0,

2

x-Qi+x2）x+x1x2+靖一（仇+他為+y曲=o,

由對(duì)稱(chēng)性知以PQ為直徑的圓必過(guò)N軸上的定點(diǎn)，令y=（）,可得

X2—（X1+/2）1+工何2+幼仇=0,

而電+工2=優(yōu)?+與）-4=J羿[-4=Q?[,

3m—13m—1

電力2=（小幼一2）（m1/2-2）=m2g例-27n（幼+m）+4=二空二4，

—37H?—4

0=>(3m2—l)x2—4c+5—3m2=0

3m2—13m2—13m2—1

n[(3m2-1)T+3m2—5](cc-1)=0對(duì)VmER恒成立，.?.N=1,

???以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0);

方法二：設(shè)PQ方程為0=7ng—2,P(i],gi),Q(g,g2),

fx=my-2,、0

k,,=>(3mo2-l)y-12my+9=0,

[3}x--y~2=35

由對(duì)稱(chēng)性知以PQ為直徑的圓必過(guò)i軸上的定點(diǎn).

設(shè)以PQ為直徑的圓過(guò)E(￡,0),

/.EP-EQ=0=>(第一￡)(g—￡)+%例=0=>的啊一力(丁+g)+#+。曲=0,

而=(m%-2)(館劭-2)=m2yiy-2-27n(劭+幼)+4

912m=~3m2~4

=m2,-2m?+4

3m2—13m之一13m2—1

Xi+x-2m(^/i+j/2)-4=-12^--4=^---

3m—13m—1

.—3m2—4_41,219_口

??3m2—13m2—13m2—1'

(3m2—l)^2—4t+5—3m2=0,即[(3m?-1)亡+3——5](±-i)=0對(duì)VmWR恒成立,

?,?1=1,即以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1,0）.

3.（2023秋?浙江制興?高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)力（-2,0）,5（2,0）,直線(xiàn)PA與直

線(xiàn)的斜率之積為一,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求曲線(xiàn)。的方程；

（2）若直線(xiàn)l:y-kx+m與曲線(xiàn)。交于A(yíng)1,N兩點(diǎn)，直線(xiàn)AM,NB與y軸分別交于E,F兩點(diǎn)、，若EO

=30仇求證:直線(xiàn)，過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）芋+"=1（必#±2）（2）證明見(jiàn)解析

4

【分析】⑴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,由??3=-T可得結(jié)果;

X-t-XZi4

y=kx+m_

⑵設(shè)M（ii,仇）,N（g,仇），聯(lián)立《小得電+g和弋煙，再求出E,F的坐標(biāo)，根據(jù)房=3兩得k

1丁+沙=1

=771,從而可得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（。,沙）,則即與"+y2=lQw±2）,

juI"4Ju/qq

所以曲線(xiàn)。的方程為號(hào)+婿=1（工*土2）.

y=kx-\-m

X2.21，消去g并整理得（4k2+l）"+8kmc+4m2-4=0,

）才+曠=1

由A=64k27n2—4(4fc2+1)(4m2—4)>0,得4fc2+1>m2,

2

所以％]+g=8km4m—4

4fc"+14k+1

MA"普3+2)nE(。，黑),NB5-Q-2)nF(0,言),

因?yàn)樵?=3前,所以一二駕=3?衿等，即點(diǎn)出-2）=3仇⑶+2）,

XI~v￡-乙

(kxi+m)(a?2—2)=3(fcx2+m)+2),

2fcr何2+(2k+3m)(Xi+x2)+4(fc—m)x2+8m=0,

4m2—4+儂+加?黃詈

所以2k?3+4(fc—m)x+8m=0,

4k2+12

所以(fc—m)[4km—2+(4妒+l)x2]=0對(duì)任意也都成立,

k=m,故直線(xiàn)Z過(guò)定點(diǎn)（—1,0）.

4.（2023秋?淅江?商三期末）已知點(diǎn)/（小￡,挈）是雙曲線(xiàn)/—，=1（<2>0,6>0）上一點(diǎn)，B與

4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，b是右焦點(diǎn)，^AFB=j.

（1）求雙曲線(xiàn)的方程；

（2）己知圓心在,軸上的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（—4,0）,與雙曲線(xiàn)的右支交于點(diǎn)且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)F,求

圓。的方程.

【答案】⑴導(dǎo)一邛=1（2）x2+（y±2V6）2=40

o4

【分析】（1）由已知條件列方程求出a,b,c,即可求出雙曲線(xiàn)的方程;

（2）討論直線(xiàn)A/N的斜率不存在時(shí)不滿(mǎn)足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kz+?n,聯(lián)立雙曲

線(xiàn)的方程，由韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及。的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理有CN2=CP=GQ2+

（京亞）：代入解方程即可得出答案.

［（呼+。挈）?（呼-挈）=。

4a2=8

【詳解】（1）由已知條件得：?323,<b2=4

3一萬(wàn)一c=2V3

02

a2+62=c2

雙曲線(xiàn)方程為：笈一芻-=1.

04

（2）若直線(xiàn)MN的斜率不存在，則圓。的圓心不在g軸上，因此不成立.

設(shè)直線(xiàn)7VW的方程為g=fcr+7n,

y=fc（x—2A/3）

由，x2y2_消元得：（2爐―1）/—（24爐+8）=。=

,"8T=1

2fc2-1^0

△=32(fc2+l)>0

xl+x2=^^-,yi+y2=k(xl+x.2)-4^k=-^^-4V3k=^^

???MN的中羔Q的坐標(biāo)為(白吟，怒號(hào)).

\2k~—12fc—17

設(shè)C((),m),直線(xiàn)CQ：y=-^x+m,得0(0,盥咚),

&\2K-17

8V2-V-8A:2+4+12fc24V2(fc2+l)

又|MZV|=Sfe2+l?

|8fc2-4||2送一1|'

根據(jù)勾股定理有CN2=CP=CQ'1+(yMV)2

2222

.(6V3A:\,A2-{(4V3A:A,f2V3fc6V3A：\1J2/(卷+1)\2

+4=IA^T)-?

化簡(jiǎn)得2火一5M2+2=0

解得取=2或卜2=專(zhuān)(舍)

<7(0,±276)，二圓C的方程為"+⑨土2V6)2=40.

5.（2023春?廣東橋相?高三?？茧A我練習(xí)）已知拋物線(xiàn)￡：2/2=222（「＞0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)

y=+；的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在y軸上.

（1）求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線(xiàn)Z：,=k（x-2）（fc^V6）與拋物線(xiàn)E交于4,5兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與工軸交于點(diǎn)

C,若。（6,0）,求第的最大值.

【答案】（1）娟=4立（2）邛［

【分析】⑴由題意得尸（參0）,設(shè)9關(guān)于直線(xiàn)y=梟+今的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F'（o,m）,根據(jù)題意列出方程組，解

之即可求解；

（2）將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，并求得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為u—

2_1/2^+2）耕石尸刎隊(duì)B|_

fc—一一丁）,進(jìn)而付到兩.22+——塞----，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

t+平-12

【詳解】⑴由題意得F（卷0）,設(shè)尸關(guān)于直線(xiàn)y=4/+等的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為斤'（0,恒），則

m=p=2y

:,拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

⑵由2）可得卜2c2—（4奴+4）2+4妒=0,設(shè)力（11,仇），仇），則Zi+g=或￥，,4煙=

y=4/k~

4,

2

\AB\=V1+fc2?限1—x-i\=V1+fc2?J(型+三)？一4%網(wǎng)=V1+fc2I—16=

4/2淡」+3奴+1

2fc2

功+y=k（x+x）-4k=^,：.線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，v），則線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為V

2}2凡'KAvlt

_菅=_關(guān)("一"髻)，令y=。，得工=4+卷故0(4+譽(yù),0),

又。(6,0),得|CD|=4+-r—6=2-.

，曙==—T叱私

則人舁+1),94-圖=2產(chǎn)不存與^=2尸石，

易知函數(shù)/(t)=t+平在［41,+8)上單調(diào)遞增，.-.當(dāng)t=41時(shí)，/⑴取得最小值，

此時(shí)用=述，故卷臺(tái)的最大值為2,2+36■-玲，=綽L.

22

6.(2023?湖南邳用?統(tǒng)考二模)已知雙曲線(xiàn)C:和-=l(0<a<10,6)0)的右頂點(diǎn)為力，左焦點(diǎn)

F(-c,0)到其漸近線(xiàn)bx+ay=()的距離為2,斜率為；,的直線(xiàn)。交雙曲線(xiàn)。于46兩點(diǎn)，且\AB\

_8V10

-3,

(1)求雙曲線(xiàn)。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)7(6,0)的直線(xiàn)2?與雙曲線(xiàn)C交于P,Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP,AQ分別與直線(xiàn)x=6相交于河，N

兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線(xiàn)段4W為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo):若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】(1)〈一4=1(2)以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(6—2一,0)和(6+2g,0).

y4

【分析】⑴根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解b=2,進(jìn)而聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解

a=3>

(2)聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可判斷若有定點(diǎn)則在力軸上，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系

得向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.

【詳解】⑴:雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)F(—c,0)到雙曲線(xiàn)。的一條漸近線(xiàn)歷:+ag=0的距離為d=—7==-=

var+b

b,而d=2,:.b=2.

雙曲線(xiàn)C的方程為名■一彳~=1(0VQV10).

QT

依題意直線(xiàn)。的方程為g=—a).

區(qū)-止=1,

由|/1I消去"整理得：(36—a^a^+Za%—a“a2+36)=0,

依題意：36—。2#0,A>0,點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,

Q2(Q,+36)

則孫磔=

cr—36

a(a2+36)

,**x=a,：.x=-2-方―.

ABa—36

???IAB|=J]+嗎)2M一*二書(shū)九4一調(diào)=8A,???I孫一g|=8.

即a---〈—"=8,解得a=3或a=12(舍去)，且a=3時(shí)，△>0,

//一3h

/.雙曲線(xiàn)c的方程為4—=1.

y4

(2)依題意直線(xiàn)，2的斜率不等于0,設(shè)直線(xiàn)。的方程為。=my+6.

x=my+6,

由，x2y2_消去”整理得：(4mr‘-9)靖+48mg+108=0,

,"9T=L

4m2—9W0,A|>0.

48,7

設(shè)PQi,0)，Q(g,納)，則yi+y>=.-,Q,必佻=[吁0.

4m—94m—9

直線(xiàn)AP的方程為？=心方3—3),令c=6得：片以l，

X[oX\o\X\o/

同理可得N(6,1%).由對(duì)稱(chēng)性可知，若以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在z軸上，

設(shè)該定點(diǎn)為A(t,0),則詢(xún)=(6—t,普至)，麗=(6—力普可)，

故時(shí)前=(6—t)±一鬻

31-3)(62-3)

=(6*+:耨

(my1+3)(zny2+3)

=俗一療+_______也?_______

/獨(dú)仇++功)+9

9x108

二(6-八2+4--9

fm2y108_3mX48m,0

4m2—94m2—9

=(6-t)2-12=0.

解得t=6—2V3或t=6+2V3.

故以線(xiàn)段MM為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(6—2V3,0)和(6+2V3,0).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可判斷定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算

化簡(jiǎn)求解就可，對(duì)計(jì)算能力要求較高.

2

7.(2023春?湖前長(zhǎng)沙?高三雅札中學(xué)?？茧A及練習(xí))定義:一般地，當(dāng)0且1￥1時(shí),我們把方程寫(xiě)

a

222

+2=，(￡1>/>>0)表示的橢圓。稱(chēng)為橢圓耳+去=13>6>0)的相似橢圓.

ba~b-

⑴如圖，已知E(--,O),E(V^O),封為G)O：/+必=4上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)E"至點(diǎn)N,使得|MV|=

|MFJ，EN的垂直平分線(xiàn)與尺N交于點(diǎn)P,記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C,求。的方程；

⑵在條件⑴下，已知橢圓G是橢圓C的相似橢圓，M3是橢圓C-的左右頂點(diǎn).點(diǎn)Q是G上異

于四個(gè)頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)一=e?(e為曲線(xiàn)。的離心率)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)QM與橢圓C交于點(diǎn)直線(xiàn)

QN、與橢圓C交于點(diǎn)求|45|+\DE\的值.

2

【答案】(l)*+d=l(2)5

【分析】(1)由圖可知是的中位線(xiàn)，由此可得EN長(zhǎng)為定值，因?yàn)辄c(diǎn)P在RN的垂直平分線(xiàn)上,

所以廬園+|P￡|=|P園+|PN|,根據(jù)橢圓定義求解析式即可；

(2)假設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示直線(xiàn)QM與直線(xiàn)QN的斜率，并找出兩斜率關(guān)系，最后表示出兩直線(xiàn)方程，分

別與橢圓C聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理求出\AB\+\DE\的值.

【詳解】(1)連接OM,易知OMII打加且\OM\=^-\F2N\,

.?.|￡凹=4,又點(diǎn)。在用乂的垂直平分線(xiàn)上，

：.\PF.\=\PN\,

：.|P/^|+\PF2\=|P同+|PN|=I版I=4>2向,滿(mǎn)足橢圓定義，

a=2,c=V3,6=1,

2

曲線(xiàn)。的方程為-r+y2=1.

4

(2)由(1)知橢圓。方程為亨+娟=1,

則離心率e=乎=>/1=4>

*'?槁圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為巧-+

O3=1,

設(shè)Q(g,%)為橢圓G異于四個(gè)頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)。焰,QN斜率初如兒網(wǎng),

n。

貝”kQM,kQN\=

的+V3x（）—V3—3

又學(xué)+粵■=1今%=](3_就),

，=-1(如必片)'

設(shè)直線(xiàn)QM的斜率為k,則直線(xiàn)的斜率為一圭.

直線(xiàn)QM、為y=k（c+V3）,

y=k（x+V3）,

由《7得（1+4k2）/+8/奴0+12妒-4二0,

［丁+4=1,

,幾"\D/\nt?—8,\/3fc~12fc~—4

校431,?。?（12,例），則傷+力2=］+4依，］逆2=］+4爐>

2

\AB\=Vl+k\xx-X2\=+12=（力1+%2）2-48］力2=>

同理可得四|=好器,

4（1+A:2）1+16A;2

\AB\+\DE\1+4奴+1+4A?

8.（2023-湖北式漢?統(tǒng)考?模擬圾測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C：（c+2）2+y2=3的兩條切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)為P

,Q,直線(xiàn)尸Q恰為拋物￡：才=2眸⑺>0）的準(zhǔn)線(xiàn).

（1）求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T是圓。上的動(dòng)點(diǎn),拋物線(xiàn)E上四點(diǎn)4B,M,N滿(mǎn)足：元彳=2亍必,屈=2曲,設(shè)46中點(diǎn)為

D.

⑴求直線(xiàn)TD的斜率；

（沅）設(shè)△T4B面積為S,求S的最大值.

【答案】⑴娟=2工⑵⑴0;（劫48

【分析】⑴設(shè)直線(xiàn)PQ與工軸交于冗（苫,0）,由幾何性質(zhì)易得：|CP『=|次?|8|,即可解決；⑵設(shè)

7（小物）,力（為須）,5（%㈤，⑴中，由于7M中點(diǎn)M在拋物線(xiàn)E上，得（%⑨y=2?%型,將小如幼）

,B（g,納），代入聯(lián)立得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為駕改=渙，即可解決；（ii）由⑴得點(diǎn)0（3.彳4費(fèi),%）,s=

*|TD|?版一納|=挈?J（*—2g）3，又點(diǎn)T在圓。上，得%=一就一4比一1,可得：S=挈?

/［一（?）+31+8『即可解決.

【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)PQ與x軸交于R（一另0）.

由幾何性質(zhì)易得：△CPR與△OCP相似,

_|8|

所以?xún)蒚-阿'

\CP\2=\CP?\-\CO\,

即：3=（-與+2）?2,解得:p=1.

所以?huà)佄锞€(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2x.

⑵設(shè)7（曲,他）,431，%）出3，筑）

⑴由題意，TA中點(diǎn)M在拋物線(xiàn)E上，即（%也丫=2?日色,

又Vi=2cl，將代入,

得：憂(yōu)-2級(jí)財(cái)+4%一婿=0,

同理：諼-2?他2+4割一%=0,

+他=2切yi+y-i

有此時(shí)。點(diǎn)縱坐標(biāo)為=y,

I防陰=4%-*2tt

所以直線(xiàn)TD的斜率為0.

/-、山*電+電研+吠⑻+優(yōu)產(chǎn)一2%優(yōu)3蜻一4”。

所以點(diǎn)D（%也.），

此時(shí)s=[im4%fi,

\TD\=二仇2均-x0=y|yo-2xa\,

\yi-y-2\=4(%+m)2—4仇仇=J8(端一2/0),

所以S=3好-2力0廠(chǎng),

又因?yàn)辄c(diǎn)T在圓。上，有(見(jiàn))+2)2+*=3,即需=一就一4竊一1,代入上式可得:

3

S—?V(―Xo—6T0—I)=3f?J[-(的+3>+8『，

由—2—V3&g&-2+V3,

所以3=—3時(shí)，S取到最大價(jià)岑2?而=48.

所以S的最大值為48.

9.（2023-山東?潭坊一中校才模擬覆測(cè)）已知尸為拋物線(xiàn)C-.y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

A/為C的準(zhǔn)線(xiàn)/上的一點(diǎn),直線(xiàn)的斜率為-的面積為1.

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)R作一條直線(xiàn)1，交C于兩點(diǎn),試問(wèn)在I上是否存在定點(diǎn)N,使得直線(xiàn)NA與NB的斜率

之和等于直線(xiàn)