2023屆河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2023屆河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)校高三上學(xué)期第二次階段考試

數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

1.已知集合A={x|x=3〃+2,〃eN},8={x|x=5〃+3,〃eN},若xe(AnB),則下列

選項(xiàng)中符合題意的x為()

A.5B.8C.20D.25

【答案】B

【分析】根據(jù)x=5〃+3,〃eN,可得x的個(gè)位數(shù)為3或8,從而代入選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)閤=5〃+3,〃eN,故x的個(gè)位數(shù)為3或8,排除ACD.當(dāng)x=8時(shí)，3〃+2=8,

解得“=2滿足條件.

故選：B

2.當(dāng)xe(O,m)時(shí)，靠函數(shù)y=(/為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.zn=2B.m=-l

C.，〃=—1或6=2D...1±

2

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義和單調(diào)性可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=(>1卜』”3既是幕函數(shù)又是(0,”)的減函數(shù)，

2t

m~—m—\=1

所以解得:m=2.

-5m-3<0

故選:A.

3.已知函數(shù)/(x)=-3(lnx)2+“x,若xe[l,e[時(shí)，/*)在x=l處取得最大值，則實(shí)數(shù)

”的取值范圍是()

A.(口,身B.(-oo,0]C,(0由修微)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意fM"⑴當(dāng)Xe[1,e2]時(shí)恒成立,整理得a(x—1)<3(lnx),,當(dāng)xe[1,e2]

時(shí)，y=a(x—l)在g(尤)=3(lnx>圖像的下方，結(jié)合圖像分析處理.

【詳解】根據(jù)題意得/(x)s/(l)當(dāng)xe[Ie?]時(shí)恒成立

則一3(ln九)2+arK〃,gp?(x-l)<3(lnx)2

.?.當(dāng)xe［l,e］時(shí)，、=。(％-1)在8(力=3(皿幻2圖像的下方

g〈x)=W，則g，⑴=(),則aVO

4.己知函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，且/(x+3)=-/(x),且當(dāng)xw(0,|0寸，f(x)=2x-\,

則/(-2021)+/(2022)+/(2024)的值是()

A.2B.-1C.0D.-3

【答案】A

【分析】先由/(x+3)=-/(x)可得/(x)的周期為6,再結(jié)合/⑺為奇函數(shù)，可得/*)的對(duì)

稱軸，然后對(duì)/(-2021)+f(2022)+/(2024)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)〃x)是R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

由f(x+3)=-/(x)得，f(x+6)=-f(x+3),

所以f(x)=/(x+6)

所以函數(shù)/*)為周期函數(shù)，周期為6,

所以/(-2021)=/(-5)=/(1)=1,八2022)=/(0)=0,/(2024)=/(2),

由函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，得f(x+3)=-f(x)=f(-x),

得函數(shù)fM圖象關(guān)于x=］對(duì)稱，即/(2)=/⑴=1,

所以/(-2021)+/(2022)+/(2024)=2/(1)=2.

故選：A

5.函數(shù)八外二1-a卜osx的圖象大致形狀是()

【分析】根據(jù)/(X)的奇偶性和當(dāng)Xe時(shí)/W>0可選出答案.

【詳解】Sif(x)=[1--^-y^lcosx=Y_7-COSA-,

得f(-x)=---；cos(-x)=?cosx=-f(x)，

1+ee+\

則函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除A,B,

當(dāng)時(shí)/。)>0,排除C,

故選：D.

6.已知命題p:HreR,xlnx<-l：命題q：若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=個(gè)，則x+2y29,

則下列命題中為真命題的是()

A.P八qB.(-./?)AC./2A(-u7)D.->(pv<7)

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究y=xlnx的最值判斷。真假，由2+4=1,利用基本不等式“1”

yx

的代換求x+2y的范圍判斷g的真假，進(jìn)而判斷由它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假.

【詳解】由y=xlnx且x>0,故V=l+lnx,

當(dāng)0<x<，時(shí)y'<0,y遞減；當(dāng)x>1時(shí)y'>0,y遞增，

ee

所以yN-->-1,故。為假命題；

e

21

由羽y為正實(shí)數(shù)且2%+了=孫，即一+—=1,故

yx

_/_2L2x2y__l2x2y_八

x+2y=(x+2y)x(z—+—)=----1--+5>2-------+5=9,

yxyxyx

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)等號(hào)成立，故4為真命題;

所以為真命題、rg為假命題，

綜上，“4為假，([/?)人q為真，p人(F)為假，->(pvq)為假.

故選：B

7.已知x€(O，W],且ov<sinx<bx恒成立，貝！Jb-a的最小值為(

7171

A.1B.-C.----1D.1—

22

【答案】D

【分析】將恒成立不等式化為。</(x)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)單調(diào)

性，可知〃力>/圖，由此可得“q；由sinxcbx知：h(x)=sinx-bx<0,求導(dǎo)后,

根據(jù)人的范圍討論〃(x)單調(diào)性，進(jìn)而得到此1；由S—，—品ax可求得結(jié)果.

【詳解】由orvsmx,得：a<----；

xcosx-sinx

令“X)..?尸(力=

令g(x)=xcosx-sinx0<x<—?jiǎng)tg'(x)=_xsinx<0,

.?收(%)在"以上單調(diào)遞減，；出(6<8(0)=0,則r(x)<0,

“(X)在(o身上單調(diào)遞減，.??〃力>/圖q,.?々q；

令〃(x)=sinx-Z;x0<x<—,則”(x)=cosx—

Q0<x<—,/.0<cosx<l；

當(dāng)bVO時(shí)，〃(x)>0,在(o,j上單調(diào)遞增，.?.〃(司>〃(0)=0,不合題意;

當(dāng)621時(shí)，〃'(x)<0,.?./?(x)在(0卷)上單調(diào)遞減，\〃(x)<//(0)=0,滿足題意;

當(dāng)0<。<1時(shí)，*{()《)，使得〃'伉)=0,又/◎)在(o,9上單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)工￡(0,m)時(shí)，//(x)>0,

.?/(%)在(0,%)上單調(diào)遞增,則〃⑼=0,不合題意;

綜上所述：b21；

2

(6-4)mi"=￡in—"nw=1-￡

故選：D.

8.在△ABC中，“tanCvcosb”是"△ABC為鈍角三角形''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系與三角函數(shù)性質(zhì)判斷

【詳解】由tanCccosB,若tanC<0,則C為鈍角；

若tanC>0,則0<sinC<cosCcosB<cosB=sin[%-8],此時(shí)B+C〈工,A>工，故充

12)22

分性成立.

△A8C為鈍角三角形，若5為鈍角，則tanCvcosB不成立；

"tanC<cosB”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件.

故選：A.

9.已知函數(shù)〃X)=X2+2COSX,設(shè)〃"(2。2),〃=/(0.2。2),c=/(log0.22),貝I」()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>h>aD.c>a>h

【答案】B

【分析】確定函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，將c=/(logg2)化為

/(log020.5),比較202,0.2。2,唾。20.5的大小關(guān)系即可得答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=x2+2cosx的定義域?yàn)镽,

/(-x)=(-x)2+2cos(-x)=/(x),故/(勸=/+2<：0$工為偶函數(shù),

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=2x-2sinx,令r|a■1II,則g'(x)=2-2cosx20,

即g(x)=2x-2sinx,xw[0,+oo)單調(diào)遞增，故g(x)2g(0)=0,

所以(x)>0,則/(%)=/+2cosx在xe[0,+?))時(shí)單調(diào)遞增，

由于c=/(log022)=/(-log020.5)=/(log020.5)

因?yàn)?°2>1,0<0.202<1,0<log。。o.5<1,

而02"2=#>點(diǎn)=；，I/。205=%I<10gl^=P

即2°2>0.2°2>log。20.5>(),則〃>b>c,

故選：B

10.已知函數(shù)y(x)=]~-+-----------,若不等式/(4-4)+/(2辦)41對(duì)任意xeR恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[―e,0]B.[—2,0]C.[—4,0]D.[-e\。]

【答案】C

【分析】先判斷/*)為R上的增函數(shù)且f(x)+/(l-x)=l,利用這兩個(gè)性質(zhì)可得關(guān)于x不

等式，利用判別式可求參數(shù)的取值范圍，注意分類討論.

【詳解】/⑶的定義域?yàn)镽,

、Ie-2x-e2t比「/、，，、1I3t1

1,

3+123+13+13+13+1

31n32v-2x2x-2rIn3

/(x)=-----------7+e-A+e口=eA+e=----------------

3+1)-3，+*2，

因?yàn)?、*2*2&+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)戶。等號(hào)成立),

e2x+e-2x>2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號(hào)成立),

故「⑴方*。，所以做為R上的增函數(shù),

故/(加一4)+/(2ax)41可轉(zhuǎn)化為：/(ar2-4)<l-/(2ar),

即轉(zhuǎn)化為：/(奴②-4)<f(-2ax),

所以蘇-44-2如對(duì)任意的xeR恒成立，

故加+2ax-440對(duì)任意的xeR恒成立，

當(dāng)。=0時(shí)，T40恒成立，故。=0符號(hào)，

當(dāng)。<0時(shí)，A=4?2+16a<0.故-44a<0,

當(dāng)。>0時(shí)，y=以2+2辦-4的圖象為開口向上的拋物線，

故0^+2分-440對(duì)任意xeR不恒成立，舍，

故ae[-4,0],

故選：C.

11.若函數(shù)“力=爐+1與g(x)=2?lnx+l的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的最大值為

()

A.-B.eC.yfeD.e~

2

【答案】B

【分析】分別設(shè)公切線與/(x)=V+1和C:g(x)=2alnx+1的切點(diǎn)(小x；+1),

(N^alnw+l),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式，再化簡(jiǎn)可得a=2x；-2x；ln±,再求導(dǎo)分析

h(x)=2X2-2X2Inx(x>0)的最大值即可

【詳解】/'(x)=2x,g'(x)=§，設(shè)公切線與/(力=/+1的圖象切于點(diǎn)(為,片+1),

與曲線C:g(x)=2alnx+1切于點(diǎn)(々,2ahi刊+1),

..?=竺=如3±則=辿=,故”中2,所以2寸汕”小，

x2x2-Xxx2-Xjx2-x{

/.再=2X2-2X2-Inx2,a=xtx2,故〃=Inx2,

設(shè)〃(x)=2x2-2x2Inx(x>0),貝ij〃'(%)=2x(1-2Inx),

在(0,正)上遞增,在(公,+oo)上遞減，；"(x)irax=/zG@=e,

...實(shí)數(shù)”的最大值為e

故選：B.

12.定義在R上的偶函數(shù)/*)滿足/(2-x)=/(x+2),當(dāng)xe[0,2]時(shí)，f(x)=(金)：

若在區(qū)間XW[0,10]內(nèi),函數(shù)g(x)=/(x)-有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是

()

A.(0,log?e)B.(log^ejog,e)

C.(0,logue]U(；」og7e]D.^log,,e,|jo^,log7ej

【答案】C

【分析】由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性可知/(x)是周期為4的函數(shù)，結(jié)合奇偶性和函數(shù)解

析式可得當(dāng)xe[-2,0]的解析式，轉(zhuǎn)化g(x)在[0,10]上有5個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)

與y=(x+l)"'在[0,10]上有5個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，求解即可.

【詳解】由題，令x+2替換x,則/[2—(x+2)]=/(-x)=/[(x+2)+2]=〃x+4),

又是偶函數(shù)，所以。(一力=/(力,則〃x+4)=/(x),所以。(x)是周期函數(shù),

7=4,

因?yàn)楫?dāng)xe［0,2］時(shí)，〃力=(五)',則當(dāng)了€［-2,0］,即—xe［0,2］時(shí),

/(一力=(&)、="x)，

因?yàn)間(x)=/(x)-(x+l)”在［0,10］上有5個(gè)零點(diǎn)，

所以y=〃x)與y=(x+i『在［0,10］上有5個(gè)交點(diǎn),

11,

又xe[0,2]，r(x)=]e2，r(0)=-.[(x+l)m]=m(x+l產(chǎn)，

所以當(dāng)小>；時(shí)，g(x)=/(x)-(x+l廣在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn),

7"<e

此時(shí)需要〈,??，所以1。8|不<〃?<10876,

11>e

所以;<〃z<log7e；

當(dāng)機(jī)4；時(shí)，g(x)=f(x)-(x+l)m在［0,2］上有一個(gè)零點(diǎn),

此時(shí)需要(1+10)“(10)=e,BP/M<logNe,所以〃?4logue；

所以加€(0,log“e］U(；,log7e),

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可求解。

注意，可以結(jié)合選項(xiàng)檢驗(yàn)區(qū)間內(nèi)是否存在特殊值不滿足題意.

二、填空題

13.設(shè)函數(shù)f(x)_(x+DF"3,“ER的最大值為M,最小值為〃?，則M+m=

2x2+2

【答案】1

【分析】令g(X)=/(%)1=2》+好3,易判斷g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì),

22X2+2

可得(M-1)+(77?--)=0,即可求出M+〃i的值.

22

【詳解】解：/(X)_(*+1)2+談_工2+2*+1+"_1?2x+ar3,

2X2+22x2+222x?+2

I

令g(x)=f(x)?=2x+d,

2~2X2+2

則g(-X)=-2x-ax：欠(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

2X2+2

所以g(x)的最大最小值分別為M-g,

由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得(M-1)+(，〃-?)=0,

所以M+m=\.

故答案為：1.

14.設(shè)min{p,q,r}表示p,q,,?三者中最小的一個(gè).若函數(shù)/(x)=min{f,2*,-x+2()},則當(dāng)

xe(l,6)時(shí)，“X)的值域是.

【答案】。/6]

【分析】通過(guò)題意得到了(X)為一個(gè)分段函數(shù)，并畫出該分段函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像得到

/(x)的值域

X2,1<X<2

【詳解】xe(l,6)時(shí)，/(x)=min{x2,2v,-x+20}=<2\2<x<4.

-x+20,4<x<6

畫出函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得，

所以當(dāng)XG(1,6)時(shí)，最低點(diǎn)為A點(diǎn)，最高點(diǎn)為C點(diǎn)，

且/⑴=1，〃4)=16

所以/(x)的值域是(1,16].

故答案為：(L16]

15.若指數(shù)函數(shù)y=a、(a＞0且axl)與三次函數(shù)y=V的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

(3\

【答案】3

\7

【解析】根據(jù)題意可得：由兩個(gè)函數(shù)丁=優(yōu)(。＞0且awl)與y=V圖像的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為

方程優(yōu)=/的解，再由方程Ina=弛竺轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)/(x)=Ina與g(x)=迎日?qǐng)D像的交

XX

點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)=的的單調(diào)性及最大值，從而可得到〃x)=lna的取值

X

范圍即可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題意可得：

指數(shù)函數(shù)丁=就(。＞0且"1)與三次函數(shù)y=的圖象

恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

等價(jià)于方程優(yōu)=/有兩個(gè)不同的解，

對(duì)方程優(yōu)=V兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：]n"=]nx，

即x\na=3\nx9

??,1w0,

.31nx

/.\na=------,

x

從而可轉(zhuǎn)化為：/(x)=lna與8(》)=厚上在圖像上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

X

當(dāng)xc(O,e)時(shí)，g'(x)>0,

當(dāng)xw(e,+<?)時(shí)，g'(x)<0,

所以函數(shù)g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,w)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在x=e處取到極大值，也是最大值，最大值為°,

e

又因?yàn)楫?dāng)x?O,l)時(shí)，g(x)<0,

當(dāng)X€(l,+oo)時(shí)，g(X)>0,

所以0</(x)=lna4‘，

e

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,

屬于一般題.

16.已知函數(shù)〃x)=2(a+2)e2-(a+l)xe'+x2有三個(gè)不同的零點(diǎn)不w，W，且

,則2-3

%<0<x2<x3的值為.

【答案】36

【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程2(a+2)-(a+l)W+0的根，令f=W，轉(zhuǎn)化為

2(°+2)-(4+)+*=0有兩個(gè)根22,通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系確定4+占仆2的值,討論

y=4的單調(diào)性,結(jié)合圖象可知3=4,2=與=弓代入原式可求解.

ee'e2e3

【詳解】因?yàn)?(6=2(。+2)，*一(。+1)疣，+工2,

所以/(x)=e?2(。+2)-(。+1)2+［之］，

因?yàn)?、>(),所以2(〃+2)—(a+1)二■+

有三個(gè)不同的零點(diǎn)西,馬,W,

令g(x)吟，則g'(x)=?，

所以當(dāng)XV1時(shí)g'(x)>o,當(dāng)x>l時(shí)g'(x)<o,

即g(x)在(F,l)上單調(diào)遞增，在(1,”)上單調(diào)遞減,

所以g(x)2=g(l)=，，當(dāng)%>。時(shí)=>。，

ee

令f=,貝lJ2(a+2)-(a+l)f+?=()

必有兩個(gè)根4,L，不妨令4<0,0<f2<1，

e

且Z[+，2=4+1,/]42=2(。+2),

YY

即乙==必有一解占<0,右==-有兩解々，事，

ee

且0<々v1<七，

故"-宗)J3)(2一當(dāng)卜(2_柏2-j

=[4-26+切+憫②

=[4-2(a+l)+2(a+2)1=36.

故答案為：36.

三、解答題

fx=2cosa-2sina

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(a為參

[y=cosa+sma

數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，％軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

/7sin],-8)=4夜.

(1)求曲線C和直線/的直角坐標(biāo)方程；

18

(2)過(guò)原點(diǎn)。引一條射線分別交曲線C和直線/于A,8兩點(diǎn)，求所+研的最大

值.

【答案】(1)—+^=1,x+y-8=0;(2)叵.

8216

【分析】(1)消去參數(shù)即可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再由x=0cos。，y=0sin。代

入即可得到直線/的直角坐標(biāo)方程；

,、，、1818

（2）在極坐標(biāo)系內(nèi)，可設(shè)冬月,6）,3（烏，，），則網(wǎng)/0那=百+/，再根據(jù)三角

函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;

[x=2cosa-2sina

【詳解】解：⑴由曲線C的參數(shù)方程尸cosa+sina”為參數(shù)）得:

—+y2=(coscr-sincr)2+(cosa+sina)~=2

22

...曲線C的直角坐標(biāo)方程為三+E=1.

82

又由0sin弓-q=4應(yīng),

pcos0+0sinO=8

將x=/?cose,y=/?sine代入上式,

得直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0.

(2)在極坐標(biāo)系內(nèi)，可設(shè)A(R,0),B〈p?，

則邑竺％+互包If=i,p2cos0+p,sin0=8

82

_L-+」-=-L+J_=c0s*+4sin汨+l+sin29

|OA|2|O5|2夕；8

_7+Vi^sin(2e-夕)7+V13

=16--

(當(dāng)sin(2。-e)=1時(shí)取等號(hào)，符合題意)

的最大值為7

18.已知AABC的內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,(a-c)sinA+csin(A+B)=/?sinB.

(1)求角B；

(2)若b=l,求AABC的面積求AMC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

【答案】(1)B=?

⑵(2,&+1)

【分析】（1）根據(jù)內(nèi)角和定理可知sin（4+B）=sinC,結(jié)合條件，利用正弦定理可得

a2+c2-b2=ac,再根據(jù)余弦定理即可求解;

（2）根據(jù)Se0,叁，結(jié)合三角形面積公式可得0<ac<J,根據(jù)余弦定理可得

cosB==[,將6=1代入，貝I」“2+—1=公，即(a+c)2=3ac+1,可得至I」a+c

2ac2

的范圍，即可求解.

【詳解】(1)由內(nèi)角和定理得：sin(A+/?)=sinU-C)=sinC,

(a-c)sinA+csinC=hsinB,

由正弦定理邊角互化得：即一/=℃,

?a2+c2-b11

??cosBD=----------=一,

2ac2

TT

VBe(o,^-),:?B=一

3

(2)由(1),sin8=3,

2

則由題意，S=；acsinBe(o哈],故o<當(dāng)收<*,即0<ac<；,

.2__r2i

由余弦定理可得cos3="+'=1,b=l,則々2+c2—l=ac,故

lac2

(a+c)2=3ac+1G(1,2),

所以l<a+c<0，故2<a+b+cv夜+1，

即AABC的周長(zhǎng)/的取值范圍為(2,夜+1)

19.已知aeR,命題P：函數(shù).f(x)=/-僅有一個(gè)極值點(diǎn)；命題公函數(shù)

g(x)=log2(x2-2ax+5)在(-<?,1)上單調(diào)遞減.

(1)若夕為真命題，求。的取值范圍；

(2)若」(pAq)為真命題，(「0)八夕為假命題，求。的取值范圍.

【答案】(1)(Y,T]U[1,Y);(2)(f,l)u(3，”).

【分析】(1)去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，由二次函數(shù)可知其極值點(diǎn)，分類討論即可

求解；

(2)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出g為真命題時(shí)a的取值范圍，再根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷

出9為假命題，即可得出a的取值范圍.

【詳解】⑴〃x)=x-2,-4=1.

x+2x-2a,x<a.

易知函數(shù)y=f-2x+2。和y=f+2x-2a分另ij在％=1和x=-1處取得極小值.

當(dāng)〃<一1時(shí)；/(%)僅有一個(gè)極小值點(diǎn)尤=1,

此時(shí)。為真；

當(dāng)一l<avl時(shí)，“X)有兩個(gè)極小值點(diǎn)x=l和x=-l,

一個(gè)極大值點(diǎn)x="，

此時(shí)P為假；

當(dāng)時(shí)，“X)僅有一個(gè)極小值點(diǎn)x=-l,

此時(shí)P為真.

的取值范圍是

(2)若命題4為真命題，

函數(shù)8(乂)=/偈:卜2-2以+5)在(7,1)上單調(diào)遞減，

.??函數(shù)丁=/一2奴+5在(—,1)上單調(diào)遞減，且恒大于0,

Jg

"[l2-2axl+5>0,

.'.l<a<3

?.?-i(pAg)為真命題，

p/\q為假命題，

又：(,)人q為假命題，

???為假命題.

由4為假命題可得或〃>3,

二。的取值范圍是(F」)u(3,y).

20.已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且滿足/(x)-g(x)=2=.

⑴若方程時(shí)(x)=[g(x)f+2,〃+9有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑵若力(x)=；"(x)+g(x)]-l,且方程m(x)F-(2k+；卜(x)+k=0有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)

%的取值范圍.

【答案】(DU0，”)

⑵｛砒=0或kN；1

【分析】(1)結(jié)合函數(shù)奇偶性將t代入條件中可得/(-x)+g(_x)=2"x,即可求得/(x),

g(x)的解析式,代入方程中，可得機(jī)(2，+2-')=(4'+4-，-2)+2〃?+9,設(shè)

t=2x+2-x(t>2),換元可得產(chǎn)—皿+2m+5=0,分別討論和￡>2,結(jié)合二次函

數(shù)性質(zhì)即可求解；

(2)由(1),將/⑺，屋”的解析式代入〃3=|2，-1|,作出人(力的圖象，整理方

程為/7(x)-1?m(x)-2k]=0,結(jié)合圖象〃(x)=；有兩個(gè)不等的實(shí)根，則需滿足

/z(x)=2Z有且只有一個(gè)根，根據(jù)圖象即可求解.

【詳解】⑴因?yàn)闉榕己瘮?shù)，g(x)為奇函數(shù),由已知可得/(r)+g(-x)=2R即

〃x)-g(x)=2~J〃x)=2'+2T

f(x)+g(x)=2『所以,“x)+g(x)=2"，’財(cái)力g(x)=2、_27’

由時(shí)(x)=[g(x)F+2m+9可得W(2'+2-')=(4v+4-r-2)+2m+9,

令，=2'+2TN242匚27=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，則『=4、+4一'+2,故有

/一團(tuán)/+2m+5=0,其中，之2,

令下⑺=/一儂+2m+5,其中d2,則函數(shù)尸⑴在⑵+oo)上有零點(diǎn),

①當(dāng)今42時(shí)，即當(dāng)加44時(shí)，則尸⑺在⑵內(nèi))上單調(diào)遞增，所以，F(xiàn)(r)>F(2)=9>0,

不合乎題意；

②當(dāng)萬(wàn)>2時(shí)，即當(dāng)機(jī)>4時(shí)，則有△=〃r!-8，〃-20N0,解得〃，210,此時(shí)函數(shù)尸⑺在

[2,e)上有零點(diǎn).

綜上所述，實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是U0,”)；

(2)〃(x)=g[/(x)+gW]-l=|2VT=；：：：；;，作出函數(shù)人(X)的圖象如圖所示：

由“2(x)f—(2k+；J%(x)+k=0可得力(1)一；[h(x)-2k]=0t

由圖可知，方程人(X)=g有兩個(gè)不等的實(shí)根，由題意可知，方程/?(x)=2Z有且只有一個(gè)

根，故2A=0或2無(wú)21，解得％=0或

因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是卜|%=0或kN：}.

21.已知函數(shù)/(6=加—e*.

⑴若函數(shù)/(x)的圖像與直線y=-x+1相切，求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)+x-1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

e2—1

【答案】⑴a=」

4

e2-]

⑵(0,-~-)

4

【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而列出關(guān)于a的方程

組，解之即可；

(2)由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)x=0時(shí)不符合題意，故x*0,利用分離參數(shù)法可

得

a=—^+=h(x},根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)以?的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.

x-

【詳解】(1)/'(6=2公一爐，設(shè)切點(diǎn)為(XoJ(x。))，

則［/5)=-與+1.［屋-e*=-Xo+l

'［尸(%)=-1「I2/-”=-1

。=0時(shí)，，顯然不成立，，。工。

消去〃得(與-2乂e&+1)=0

?_e2-l

??x(\-2,ci一；

4

(2)令g(%)=o,即/+X-1-e，=0有且只有一個(gè)解,

當(dāng)x=0時(shí)，顯然/+了一1一？1=。不成立，

?ne'—x+lA,/\e'—x+1

.?xw0,a=---——，令〃(x)=------；——，

...y=a與/=有且只有一個(gè)交點(diǎn),

-\］x2-2x(ex-x+11(x-2乂e*+1)

,*'h'^x)=--------------------------------=-------------------,

當(dāng)xc(口,0)時(shí)，〃(x)>0,6(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?0,2)時(shí)，”(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(2,+oo)時(shí),/if(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

又當(dāng)Xf-co時(shí)，h(x)—>0,當(dāng)x—>00寸，力(%)f+8

p2—1..

當(dāng)x=2時(shí)，/?(2)=—,當(dāng)xf+oo時(shí)，.+8,

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，

常化為不等式恒成立問(wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不

等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

22.已知函數(shù)/'(x)=xlnx

⑴求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-f(x)-1，若不等式g(x)>0對(duì)任意的xe(0,內(nèi))