第六周卡若圖化簡和組合邏輯電路設(shè)計

第六周卡若圖化簡和組合邏輯電路設(shè)計第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)證明：第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：

例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2.基本規(guī)則

（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式Y(jié)＇，Y＇稱為函數(shù)Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：

對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：注意：在運用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

邏輯函數(shù)化簡的意義：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。

一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式。

一種形式的函數(shù)表達式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。任務(wù)基礎(chǔ)知識四——邏輯函數(shù)的化簡與變換第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四（1）最簡與或表達式

乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最少的與或表達式。最簡與或表達式一、公式法化簡1.邏輯函數(shù)表述式的標準形式和最簡式第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四(2)最簡與非-與非表達式

非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最少的與非-與非表達式。①在最簡與或表達式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉下面的非號(3)最簡或與表達式

括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達式。①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達式第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四(4)最簡或非-或非表達式

非號最少、并且每個非號下面相加的變量也最少的或非-或非表達式。①求最簡或非-或非表達式②兩次取反(5)最簡與或非表達式

非號下面相加的乘積項最少、并且每個乘積項中相乘的變量也最少的與或非表達式。①求最簡或非-或非表達式③用摩根定律去掉下面的非號②用摩根定律去掉大非號下面的非號第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四2.常見的公式法簡化方法（1）并項法

邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四2.吸收法

如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的變量。如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四３.配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四４.消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四例：化簡函數(shù)解：①先求出Y的對偶函數(shù)Y＇，并對其進行化簡。

②求Y＇的對偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達式。第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四1.邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)

（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標準積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8個最小項：

（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應(yīng)的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標i。

3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：二、卡諾圖化簡法第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四（3）最小項的性質(zhì)：①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四2.邏輯函數(shù)的最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標準與或表達式，也稱為最小項表達式

對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋AC來配項展開成最小項表達式。第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC

將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達式。第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四3.卡諾圖的構(gòu)成

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

卡諾圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。每個兩變量的最小項有兩個最小項與它相鄰每個三變量的最小項有三個最小項與它相鄰第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的最上面一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的兩個相鄰最小項可以合并消去一個變量邏輯函數(shù)化簡的實質(zhì)就是相鄰最小項的合并第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四4.邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示

（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。m1m4m3m6m7m11m14m15第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達式給出：先將函數(shù)變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

BCA0001111001111

BCA0001111001例如：Z的卡諾圖：2.卡諾圖與邏輯函數(shù)的其他幾種表示方法之間的互換：1）由真值表畫卡諾圖：例如：1111第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

CDAB00011110000111102）由邏輯函數(shù)與或式畫卡諾圖：例如：1111111111113）由卡諾圖寫與或式：例如：

BCA000111100111111110CBABCA∴Z++==第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四5.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

（1）任何兩個（21個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

（2）任何4個（22個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四ＢＤＢＤBD第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四

（3）任何8個（23個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。B第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四6.化簡的基本步驟(舉例)邏輯表達式或真值表卡諾圖11第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四合并最小項①圈越大越好，但每個圈中標１的方格數(shù)目必須為個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標１的方格。最簡與或表達式ＢＤＣＤＡＣＤ2233將代表每個圈的乘積項相加第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)一、步驟1.將函數(shù)變換為與或式；2.畫出卡諾圖；3.將2n個有1的相鄰小方格圈出（所圈小方格數(shù)是2的整次冪，即：1個、2個、4個、8個……小方格為一個圈），提出公因子；4.將公因子相加。因卡諾圖中的最小項幾何相鄰必定邏輯相鄰，故幾何相鄰的最小項可以提取公因子，而消去不同項，這樣就可以用卡諾圖來化簡邏輯函數(shù)。第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四二、畫圈原則1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。2.圈的個數(shù)越少越好（化簡后的乘積項少）。3.同一個“1”小方格可以被圈多次。4.每個圈中要有新的“1”。5.畫圈時，可先圈大，后圈小。6.不要遺漏任何“1”的小方格；最后還要刪除多余圈。第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四例如：用卡諾圖化簡下列函數(shù)：1.

BCA00011110011111112.

CDAB0001111000011110111111111第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四3.

BCA0001111001111114.

CDAB000111100001111011111111或:多余圈(刪除)第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)、用卡諾圖化簡函數(shù)

解：根據(jù)最小項的編號規(guī)則，得將這四個最小項填入四變量卡諾圖內(nèi)化簡得第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四例2.11

用卡諾圖化簡函數(shù)

解：

從表達式中可以看出此為四變量的邏輯函數(shù)，但是有的乘積項中缺少一個變量，不符合最小項的規(guī)定。因此，每個乘積項中都要將缺少的變量補上：則有將這七個最小項填入四變量卡諾圖內(nèi)化簡得第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)：判斷正確與錯誤正確錯誤（多畫一個圈）例1例2錯誤（圈的面積不夠大）正確

第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四例3錯誤（圈的面積不夠大）正確

例4錯誤（有一個圈無新的1格）正確

第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四三、卡諾圖的性質(zhì)和運算1、全“0”格對應(yīng)Y=02、全“1”格對應(yīng)Y=13、卡諾圖相加、相乘、異或——對應(yīng)格相加、相乘、異或。+=4、卡諾圖反演 “1”格→“0”格 “0”格→“1”格四、用卡諾圖合并最小項的規(guī)律

2個相鄰1格可合并成一個乘積項，消去1個有01變化的變量，保留無變化的變量；

4個相鄰1格可合并成一個乘積項，消去2個有01變化的變量，保留無變化的變量；

8個相鄰1格可合并成一個乘積項，消去3個有01變化的變量，保留無變化的變量；

2i個相鄰1格可合并成一個乘積項，消去i個有01變化的變量，保留無變化的變量。第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、簡化原則（1）圈盡量大； ——變量數(shù)少（2）圈數(shù)盡量少； ——乘積項少（3）每一個“1”格都被圈到，沒有“0”格被圈；（4）全部是必要項，沒有多余項。必要項：對應(yīng)圈中至少有一個“1”格只被圈一次。 ——有新“1”格多余項：對應(yīng)圈中的每一個“1”格都被圈2次或2次以上。2、化簡步驟（1）畫卡諾圖。（2）按簡化原則化簡函數(shù)?！热χ挥幸环N圈法的圈（3）檢查是否全部“1”格被圈，沒有“0”格被圈。（4）寫出相應(yīng)的簡化式。第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四e.g.1Y(A,B,C,D)=∑(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解

第一步：填寫卡諾圖（為了敘述方便，這里填寫最小項的編號，平常應(yīng)該在對應(yīng)最小項方格中填1）。

第二步：畫包圍圈。

第三步：化簡包圍圈。000111100001ABCD

1110111111111第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四Eg2.化簡函數(shù)：1011010010110100ABCD卡諾圖為：11111111用三個圈覆蓋：最簡與或式為：1可重復(fù)使用要圈兩個1(1)第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期四1011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡諾圖如右;圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈籃圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111顯然，紫圈是多