第二章 一元線性回歸分析

第二章一元線性回歸分析第一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第二章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：

一元線性回歸模型

回歸分析概述一元線性回歸模型的參數(shù)估計一元線性回歸模型檢驗一元線性回歸模型預測實例第二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四§2.1回歸分析概述一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)三、隨機擾動項四、樣本回歸函數(shù)（SRF）第三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四§2.1回歸分析概述（1）確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關(guān)系。（2）統(tǒng)計依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機變量間的關(guān)系。一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

1、變量間的關(guān)系經(jīng)濟變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：第四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四對變量間統(tǒng)計依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlationanalysis)或回歸分析(regressionanalysis)來完成的：例如：

函數(shù)關(guān)系：統(tǒng)計依賴關(guān)系/統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系：第五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)；

②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系；③回歸分析/相關(guān)分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。

④相關(guān)分析對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的?；貧w分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是?！⒁猓旱诹?，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

回歸分析(regressionanalysis)是研究一個變量關(guān)于另一個（些）變量的具體依賴關(guān)系的計算方法和理論。

其用意：在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預測前者的（總體）均值。這里：前一個變量被稱為被解釋變量（ExplainedVariable）或應變量（DependentVariable），后一個（些）變量被稱為解釋變量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）。2、回歸分析的基本概念

回歸分析構(gòu)成計量經(jīng)濟學的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：

（1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟計量模型參數(shù)進行估計，求得回歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；（3）利用回歸方程進行分析、評價及預測。第七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

由于變量間關(guān)系的隨機性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應值的平均值。例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。二、總體回歸函數(shù)

為達到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。第八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同；（2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)該例中：E(Y|X=800)=605分析：第十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元）

第十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四概念：

在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。

相應的函數(shù)：第十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。含義：

函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時:

為一線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。

。第十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

三、隨機擾動項總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。稱i為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochasticdisturbance）或隨機誤差項（stochasticerror）。記第十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例2.1中，個別家庭的消費支出為：

（*）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。（1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分。（2）其他隨機或非確定性（nonsystematic)部分i。即，給定收入水平Xi,個別家庭的支出可表示為兩部分之和:(*)由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學模型，因此也稱為總體回歸模型。第十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；2）變量觀測值的觀測誤差的影響；3）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；4）其它隨機因素的影響。產(chǎn)生并設(shè)計隨機誤差項的主要原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則。第十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

四、樣本回歸函數(shù)（SRF）

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？回答：能例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，

總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。第十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四核樣本的散點圖（scatterdiagram)：

樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines）。記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）。

第十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代則

注意：第十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：

由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。

第二十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。注意：這里PRF可能永遠無法知道。即，根據(jù)

估計第二十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四§2.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計

一、一元線性回歸模型的基本假設(shè)二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）三、參數(shù)估計的最大或然法(ML)四、最小二乘估計量的性質(zhì)五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

第二十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四單方程計量經(jīng)濟學模型分為兩大類：

線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系

一元線性回歸模型：只有一個解釋變量

i=1,2,…,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)，為隨機干擾項第二十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。

估計方法有多種，其種最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。

為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設(shè)。

注：實際這些假設(shè)與所采用的估計方法緊密相關(guān)。

第二十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

一、線性回歸模型的基本假設(shè)

假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量；

假設(shè)2、隨機誤差項具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假設(shè)3、隨機誤差項與解釋變量X之間不相關(guān)：Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布i~N(0,2)i=1,2,…,n第二十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1、如果假設(shè)1、2滿足，則假設(shè)3也滿足;

2、如果假設(shè)4滿足，則假設(shè)2也滿足。注意：

以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

第二十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

另外，在進行模型回歸時，還有兩個暗含的假設(shè)：

假設(shè)5：隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即

假設(shè)6：回歸模型是正確設(shè)定的

假設(shè)5旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spuriousregressionproblem）。假設(shè)6也被稱為模型沒有設(shè)定偏誤（specificationerror）第二十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）

給定一組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標準是：二者之差的平方和最小。第二十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normalequations）。

第二十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四記上述參數(shù)估計量可以寫成：

稱為OLS估計量的離差形式（deviationform）。由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量（ordinaryleastsquaresestimators）。

第三十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四順便指出，記則有

可得

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（**）注意：在計量經(jīng)濟學中，往往以小寫字母表示對均值的離差。

第三十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

三、參數(shù)估計的最大或然法(ML)

最大或然法(MaximumLikelihood,簡稱ML)，也稱最大似然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)。

基本原理：對于最大或然法，當從模型總體隨機抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。第三十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四在滿足基本假設(shè)條件下，對一元線性回歸模型：

隨機抽取n組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）。那么Yi服從如下的正態(tài)分布：于是，Y的概率函數(shù)為（i=1,2,…n）假如模型的參數(shù)估計量已經(jīng)求得，為第三十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四因為Yi是相互獨立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即或然函數(shù)(likelihoodfunction)為：

將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量。第三十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價的，所以，取對數(shù)或然函數(shù)如下：第三十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四解得模型的參數(shù)估計量為：

可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計量與普通最小二乘估計量是相同的。第三十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表2.2.1進行。

第三十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四因此，由該樣本估計的回歸方程為：

第三十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

四、最小二乘估計量的性質(zhì)當模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)；

（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；

（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。第三十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。

這三個準則也稱作估計量的小樣本性質(zhì)。擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。

當不滿足小樣本性質(zhì)時，需進一步考察估計量的大樣本或漸近性質(zhì)：第四十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。第四十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四證：易知故同樣地，容易得出

第四十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第四十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（2）證明最小方差性其中，ci=ki+di，di為不全為零的常數(shù)則容易證明普通最小二乘估計量（ordinaryleastSquaresEstimators）稱為最佳線性無偏估計量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）

第四十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

由于最小二乘估計量擁有一個“好”的估計量所應具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。

第四十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

第四十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第四十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2、隨機誤差項的方差2的估計由于隨機項i不可觀測，只能從i的估計——殘差ei出發(fā)，對總體方差進行估計。

2又稱為總體方差。

可以證明，2的最小二乘估計量為它是關(guān)于2的無偏估計量。

第四十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四在最大或然估計法中，因此，2的最大或然估計量不具無偏性，但卻具有一致性。

第四十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第五十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四§2.3一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗

二、變量的顯著性檢驗

三、參數(shù)的置信區(qū)間

第五十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進行統(tǒng)計檢驗。主要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗及參數(shù)的區(qū)間估計。第五十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

一、擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。

度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？第五十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1、總離差平方和的分解

已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

第五十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四如果Yi=?i即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。第五十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）第五十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四TSS=ESS+RSS

Y的觀測值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS第五十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。第五十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四在例2.1.1的收入-消費支出例中，

注：可決系數(shù)是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對可決系數(shù)的統(tǒng)計可靠性也應進行檢驗，這將在第3章中進行。

第五十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

二、變量的顯著性檢驗

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。

變量的顯著性檢驗所應用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設(shè)檢驗。

計量經(jīng)計學中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。

第六十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

1、假設(shè)檢驗

所謂假設(shè)檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的第六十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2、變量的顯著性檢驗

第六十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

檢驗步驟：

（1）對總體參數(shù)提出假設(shè)H0：1=0，H1：10（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)(4)比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0，接受H1；若|t|

t/2(n-2)，則拒絕H1，接受H0；第六十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗：

在上述收入-消費支出例中，首先計算2的估計值

第六十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；

|t2|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。

第六十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

假設(shè)檢驗可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計。

三、參數(shù)的置信區(qū)間

第六十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。第六十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即第六十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費支出例中，如果給定=0.01，查表得：

由于于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.6345,0.9195)

（-433.32,226.98）

第六十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減小；

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。第七十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四§2.4一元線性回歸分析的應用：預測問題

一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個值Y0的一個無偏估計二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)間

第七十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

對于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預測值?0，可以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個近似估計。

注意：嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。原因:（1）參數(shù)估計量不確定；（2）隨機項的影響第七十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個值Y0的一個無偏估計對總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時

E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計。第七十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四對總體回歸模型Y=0+1X+，當X=X0時于是第七十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)間

1、總體均值預測值的置信區(qū)間

由于

于是可以證明

第七十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四因此

故

其中于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

第七十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2、總體個值預測值的預測區(qū)間

由Y0=0+1X0+知:

于是

式中:從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

第七十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四在上述收入-消費支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為

則在X0=1000處，?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05或

（533.05,814.62）

第七十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四同樣地，對于Y在X=1000的個體值，其95%的置信區(qū)間為：673.84-2.30661.05<Yx=1000<673.84+2.30661.05或(372.03,975.65)總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）個體的置信帶（域）

第七十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四對于Y的總體均值E(Y|X)與個體值的預測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預測精度越高，反之預測精度越低；（2）樣本容量一定時，置信帶的寬度當在X均值處最小，其附近進行預測（插值預測）精度越大；X越遠離其均值，置信帶越寬，預測可信度下降。第八十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四§2.5實例：時間序列問題

一、中國居民人均消費模型

二、時間序列問題

第八十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四一、中國居民人均消費模型

例2.5.1考察中國居民收入與消費支出的關(guān)系。GDPP：

人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（199