【精準(zhǔn)解析】天津市河北區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

河北區(qū)2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末高三年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知集合，根據(jù)交補(bǔ)運(yùn)算求即可.【詳解】由題意知：，而，∴，故選：B2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出二次不等式的解即可根據(jù)集合的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】的解為，設(shè)，，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選：A3.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】試題分析：由配方得，所以圓心為，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點(diǎn)】圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)系時，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．4.某班全體學(xué)生參加一次測試，將所得分?jǐn)?shù)依次分組：，，，，繪制出如圖所示的成績頻率分布直方圖，若低于60分的人數(shù)是18，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A.50 B.54 C.60 D.64【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖計算可得得分低于分的頻率，由頻數(shù)和頻率計算可得總數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖知：得分低于分的頻率為：低于分的人數(shù)是該班的學(xué)生人數(shù)是故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻率和總數(shù)的問題，關(guān)鍵是明確頻率、頻數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過函數(shù)值的正負(fù)可判斷函數(shù)的圖象.【詳解】因?yàn)?，故?dāng)時，，而當(dāng)，，結(jié)合各選項(xiàng)中圖象可得C是正確的，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，一般通過函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)值的符號等來判斷，本題屬于基礎(chǔ)題.6.已知雙曲線C：（，）的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線所過點(diǎn)求出漸近線，設(shè)雙曲線的方程為，再根據(jù)題意求出雙曲線的焦點(diǎn)從而由的關(guān)系求出t即可求得雙曲線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線C的漸近線過點(diǎn)，所以雙曲線C的漸近線為，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，解得，所以雙曲線的方程為.故選：B7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)有，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性有，即可知a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】，，又，∴，故選：D8.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A.為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減 B.最大值為1，圖象關(guān)于直線對稱C.周期為，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】函數(shù)左移后得到.故為偶函數(shù),且在上遞增,最大值為,對稱軸為,故B選項(xiàng)正確,選B.9.已知函數(shù)其中.若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，依題意函數(shù)與直線有三個不同的交點(diǎn)，可得，解之即可．詳解】當(dāng)時，函數(shù)的圖象如圖：時，，要使得關(guān)于的方程有三個不同的根，必須，即，解得，的取值范圍是，故選．【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到是難點(diǎn)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知復(fù)數(shù)，，故答案為：11.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開式中通項(xiàng)，令，即，故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．12.四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB，AC，AD兩兩垂直，且，，，則四面體ABCD的體積為____，球O的表面積為____【答案】(1).1(2).【解析】【分析】①根據(jù)四面體的特征，利用錐體體積公式求解，②利用補(bǔ)圖法可得該四面體的外接球與以AB，AC，AD為長寬高的長方體的外接球相同，求出體對角線長度即直徑，即可得解.【詳解】因?yàn)锳B，AC，AD兩兩垂直，且，，，所以四面體ABCD的體積，該四面體的外接球與以AB，AC，AD為長寬高的長方體的外接球相同，直徑為該長方體的體對角線長球O的表面積為.故答案為：①1，②【點(diǎn)睛】此題考查求錐體體積，解決幾何體的外接球問題，需要積累常見幾何體外接球半徑的求解方法，以便于解題中能夠事半功倍.13.一個袋子中有形狀和大小完全相同的3個白球與2個黑球，每次從中取出一個球，取到白球得2分，取到黑球得3分.甲從袋子中有放回地依次取出3個球，則甲三次都取到白球的概率為___________，甲總得分是7的概率為___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】甲從袋中取出白球的概率為，取出黑球的概率為，由此可求出三次都取到白球的概率；甲總得分是7的組合為取出2次白球1次黑球.【詳解】甲從袋中取出白球的概率為，取出黑球的概率為，所以甲從袋子中有放回地依次取出3個球，三次都取到白球的概率為.甲總得分是7的組合為取出2次白球1次黑球，概率為.故答案為：；14.已知，，且，則的最小值為___________.【答案】10【解析】【分析】巧妙利用“1”將變形為，進(jìn)一步展開化簡利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，的最小值為10.故答案為：1015.如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E在邊上，且，若，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】將作為平面向量的一組基底，再根據(jù)平面向量基本定理用表示出，再由即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵谥校珼是的中點(diǎn)，E在邊上，且，所以,又，所以，即，所以.故答案為：三、解答題：本大題共5小題.共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（1）求角B的大??；（2）若，求的值；（3）若，，求邊a的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求角B.（2）由兩角差、倍角公式展開，根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論即可求值.（3）根據(jù)余弦定理列方程即可求a的值.【詳解】（1）由正弦定理有：，而為的內(nèi)角，∴，即，由，可得，（2），∵，，可得，而，∴，（3）由余弦定理知：，又，，，∴，可得.17.如圖，四棱柱中，底面，底面是正方形，點(diǎn)P為側(cè)棱上的一點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求的長.【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接PO，在△中有，結(jié)合線面平行的判定即可證平面.（2）根據(jù)正棱柱的性質(zhì)求，利用余弦定理求得，再由線面垂直的判定、性質(zhì)可證面面，即知與直線與平面所成角的關(guān)系，進(jìn)而求正弦值.（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令的長為，確定的坐標(biāo)，找到面、面的法向量，由已知二面角余弦值可得，即可求的長.【詳解】（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接PO，如下圖在△中有P、O分別為、AC的中點(diǎn)，所以，又面，面，∴平面；（2）底面，底面是正方形，，，∴，可得，∴，在△中，則有，∵在底面的射影為，而，即，同理，且，∴面，又面，故面面，∴綜上可知：補(bǔ)角為直線與平面所成角，故其正弦值為，（3）構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，則有，若令的長為有，∴，在面上若方向量為，則，令，即，而面上的一個方向量為，∴二面角的余弦值為，有，可得，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定證線面平行.（2）由直棱柱性質(zhì)求有關(guān)角的函數(shù)值，再證明該角所在平面與面垂直，進(jìn)而確定線面角的平面角，即可求正弦值.（3）由已知二面角的余弦值，找到兩個半平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求線段長度.18.已知等差數(shù)列的公差為正數(shù).，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）設(shè)，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）等差數(shù)列的公差d為正數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）由錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可；（3）由，化簡得，由數(shù)列的分組求和與裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則,解得∴，.（2）由（1）得，，兩式相減得，.(3)由(1)知.∴，設(shè)數(shù)列的前2n項(xiàng)和為,∴..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列通項(xiàng)為等差等比數(shù)列乘積的形式，求和一般都要利用兩邊同乘以等比數(shù)列的公比后，兩式作差后求和，即錯位相減法；數(shù)列通項(xiàng)為分式時，可考慮將分式變形為兩項(xiàng)之差，利用相加相消的方法求和，即裂項(xiàng)相消法.19.已知橢圓C：（）的兩個頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作的垂線交于點(diǎn)E.證明：與的面積之比為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓方程，由根據(jù)橢圓的離心率公式可求得c，從而求出b，即可寫出橢圓方程；（2）根據(jù)直線的位置關(guān)系分別求出直線DE與直線BN的斜率及方程，聯(lián)立可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得兩三角形面積之比.【詳解】（1）焦點(diǎn)在x軸上，兩個頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，，，橢圓C的方程為；（2）設(shè)，，可得，直線AM的方程為：，，，直線DE的方程：，直線BN的方程：，直線DE與直線BN的方程聯(lián)立可得，整理為：，即，，計算可得，代入直線DE的方程可得，則，又，所以與的面積之比為定值.20.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明：當(dāng)時，.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算即可得解；（2），對的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可得，再由函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化條件為，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)證明即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，解得；?），①若即，的解為，