北京南口機車車輛機械廠職工子弟中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

北京南口機車車輛機械廠職工子弟中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.三棱錐中，平面且是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面，積為(

)A．

B．4π

C.8π

D．20π參考答案：C根據(jù)已知中底面△ABC是邊長為的正三角形，，PA⊥平面ABC，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球

∵△ABC是邊長為的正三角形，∴△ABC的外接圓半徑球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=1.故球的半徑故三棱錐P-ABC外接球的表面積.故選：C．

2.由曲線y=，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為()A.

B．4

C.

D．6參考答案：C3.函數(shù)與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為A．8

B．9

C．16

D．17參考答案：D略4.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，則的零點個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：【知識點】函數(shù)零點的判定定理；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4B9C

解析：∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，所以0是函數(shù)f（x）的一個零點

當x＞0時，令f（x）=ex+x-3=0，則ex=-x+3，

分別畫出函數(shù)y=ex，和y=-x+3的圖象，如圖所示，有一個交點，所以函數(shù)f（x）有一個零點，

又根據(jù)對稱性知，當x＜0時函數(shù)f（x）也有一個零點．

綜上所述，f（x）的零點個數(shù)為3個，故選C．【思路點撥】先由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)確定0是一個零點，再令x＞0時的函數(shù)f（x）的解析式等于0轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判斷兩函數(shù)交點個數(shù)問題，最后根據(jù)奇函數(shù)的對稱性確定答案．5.在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是A．

B．

C．

D．

參考答案：C6.若P(2，-l)為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A略7.若橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，則的值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(

)A．11

B．9

C．7

D．5參考答案：D由三視圖知，該幾何體如圖，它可分成一個三棱錐E－ABD，和一個棱錐B－CDEF，尺寸見三視圖，.故選D.

9.已知函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)，則（

） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1參考答案：B略10.動點在函數(shù)的圖象上移動，動點滿足，則動點的軌跡方程為A．

B．C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足約束條件則的最小值為

．參考答案：－2由x，y滿足約束條件,作出可行域如圖:聯(lián)立，解得B（0，1）．化目標函數(shù)z=x﹣2y為y=x﹣z，由圖可知，當直線y=x﹣z過B（0，1）時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為：0﹣2×1=﹣2．故答案為：﹣2．

12.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，E為CD中點，則

、參考答案：1試題分析：將表示為，然后利用向量的運算法則及數(shù)量積的定義即可求解．在菱形ABCD中，，所以三角形ABD是正三角形，從而故答案為1．考點：平面向量的數(shù)量積．13.二項式展開式中的常數(shù)項是

（用數(shù)字做答）．參考答案：2814.設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m），則該幾何體的體積為__________m3．參考答案：4略15.在集合A=中任取一點P，則點P恰好取自曲線與坐標軸圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為____________．參考答案：16.若變量滿足線性約束條件，則的最大值為_____．參考答案：17.甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有種．參考答案：60【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】間接法：①先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數(shù)，作差可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，采用間接法：①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數(shù)C52C52=100，②兩人所選兩門都相同的有為C52=10種，都不同的種數(shù)為C52C32=30，故只恰好有1門相同的選法有100﹣10﹣30=60種．故答案為60．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）已知，函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）當時，，，所以，.………………2分因此．即曲線在點處的切線斜率為.…………4分又，所以曲線在點處的切線方程為，即．……………6分（Ⅱ）因為，所以．令，得．……………8分①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值．②若，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值．………………10分③若，則當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值．…………………12分綜上可知，當時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．……………13分19.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的單調(diào)區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（i）求a的取值范圍；（ii）設(shè)兩個極值點分別為x1，x2，證明：x1?x2＞e2．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得a的取值范圍；（Ⅱ）（i）求導(dǎo)h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根，方法一：根據(jù)函數(shù)圖象直線y=ax與y=lnx有兩個交點，求得y=lnx的切點，即可求得a的取值范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx﹣ax，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的取值范圍；（ii）由題意可知：x1，x2，分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，則只需證明lnt＞，t＞1，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得g（t）＞g（1）=0，即可證明lnt＞，成立，則x1?x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求導(dǎo)f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，則當f′（x）＞0，解得：x＞1，當f′（x）＜0時，解得：0＜x＜1，∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1）單調(diào)遞減，則g（x）開口向上，對稱軸x=1，則a＞0，∴a的取值范圍（0，+∞）；（Ⅱ）（?。┮李}意，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)h′（x）=lnx﹣ax，則方程h′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根．（解法一）轉(zhuǎn)化為，函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，如圖．可見，若令過原點且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．…6分令切點A（x0，lnx0），則k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；

…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個不同零點，求導(dǎo)g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可見g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，此時g（x）不可能有兩個不同零點．…5分若a＞0，在0＜x＜時，g′（x）＞0，在x＞時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上單調(diào)增，在（，+∞）上單調(diào)減，從而g（x）的極大值，g（x）極大值=g（）=ln﹣1，…6分又在x→0時，g（x）→﹣∞，在x→+∞時，g（x）→﹣∞，于是只須：g（x）極大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分綜上所述，0＜a＜；

…8分（ⅱ）證明：由（i）可知x1，x2，分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨設(shè)x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1?x2＞e2等價于lnx1+lnx2＞2，則a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，則t＞1，ln＞，則lnt＞，…10分設(shè)g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函數(shù)g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所證不等式x1?x2＞e2成立．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，分析法證明不等式成立，屬于中檔題．20.已知點F是拋物線:的焦點，點到F的距離為2.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線AB與曲線相交于A,B兩點，若AB的中垂線與y軸的交點為，求b的值.（Ⅲ）拋物線上是否存在異于點、的點，使得經(jīng)過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的

切線.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）準線：，依拋物線定義可知，，所以拋物線為----3分（Ⅱ）由，所以的中點為，所以AB的中垂線為依題意可知在垂線上，所以----------------------------------7分(2)由（Ⅱ）,假設(shè)拋物線上存在異于點、的點，滿足題意令圓的圓心為，則由得得，（或者用中垂線交點求出圓心坐標）------10分因為拋物線在點處的切線斜率，--------------------------11分又該切線與垂直，所以所以因為，所以.故存在點且坐標為.--------------------------------------13分略21.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，點M是棱AA1上不同于A，A1的動點，(1)證明：;(2)當時，求平面把此棱柱分成的兩部分幾何體的體積之比。參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】(1)在中，利用勾股定，得,再在直三棱柱中，,證得平面,利用線面垂直的性質(zhì)，即可得到；（2）求得四棱錐和直三棱柱的體積，即可求解.【詳解】(1)在中，因為，所以，所以,又在直三棱柱中，,所以平面,又因為平面,所以.（2）設(shè)，則，所以,,因為，所