第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值

第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值1第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五(1)(2)(3)例1例２例３第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五播放第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五極值的求法（稱駐點）

駐點極值點注意：定理1（必要條件）

問題：如何判定一個駐點是否為極值點？第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五定理2（充分條件）負定正定第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例4解無極值極小值-5極大值31無極值第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五二元函數(shù)的最值若根據(jù)實際問題,目標(biāo)函數(shù)有最大值(或最小值),而在定義區(qū)域內(nèi)部有惟一的極大(小)值點,則可以斷定該極大(小)值點即為最大(小)值點.

設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料A和B，設(shè)A的單價為2，數(shù)量為x；而B的單價為1，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為

例5解且商品售價為5,求最大利潤.

利潤函數(shù)為

第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五令解得惟一駐點

惟一駐點為極大值點，即為最大值點，最大利潤為

第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例6解第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五令第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最??？

二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法實際問題中,目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外,往往還受到一些附加條件的約束,這類極值問題稱條件極值問題.

例7解即表面積最小.

代入目標(biāo)函數(shù),化為無條件極值問題：

xyz第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五內(nèi)部唯一駐點,且由實際問題S有最大值,故做成立方體表面積最小.

這種做法的缺點：

1.變量之間的平等關(guān)系和對稱性被破壞；

2.有時解出隱函數(shù)困難甚至不可能.

第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五拉格朗日乘數(shù)法引入拉格朗日函數(shù)令若這樣的點惟一,由實際問題,可直接確定此即所求的點。第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

令第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最省？

例7解由實際問題,即為最小值點.

xyz第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五三、多元函數(shù)最大值、最小值及其應(yīng)用在實際問題中，經(jīng)常要求某多元函數(shù)在已知區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值.根據(jù)實際情況，我們往往可以判斷最大值或最小值在區(qū)域D的內(nèi)部達到，若函數(shù)在D內(nèi)僅有一個駐點，則可以斷定，該駐點就是最大值點或最小值點.第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例8解解得唯一駐點

即做成正三角形時面積最大.

第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五三角形中,以正三角形面積為最大:

四邊形中,以正方形面積為最大：

第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五解例9先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，解方程組第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五為最小值.第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例10解第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五由由實際問題，此即最佳分配方案.

第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五解法1例11因駐點惟一，且由問題的實際含義可知必有最大利潤，第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例11因駐點惟一，且由問題的實際含義可知必有最大利潤，解法2第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)：P324習(xí)題七第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五第三十一